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2013学年第二学期高三数学练习卷四



2013 学年第二学期高三数学练习卷四
内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 1 ? 2x ? 8 的解是 2.计算 lim
n ??

2014.2

一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 . .

2 ? 3 ?? ? n ? n(n ? 2)

3.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 3 , a4 ? 5 ,则 a13 ? 4.已知复数 z ?

. .

i ( i 为虚数单位) ,则 z ? z ? 2 ?i

开始 输入 a,b,c a?b b? c a? b 否 否

5.已知两条直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 , l 2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 . 若 l1 的一个法向量恰为 l 2 的一个方向向量,则 a ? 6.函数 y ? cos x ? 3 sin x cos x 的最小值为
2

. .

a?b
是 b? c

7.设二项式 (3 3 x ? ) 的展开式的各项系数的和为 p ,所
n

1 x

a?b
是 输出 a 结束

有二项式系数的和为 q , 且 p ? q ? 272 , 则 n 的值为



,b ? 2,c ? ?4 ,则执行该 8.如右图,若输入的 a ? ?5.5
程序框图所得的结果是 . x
P(? ? x)
*

9. (理)已知随机变量 ? 的分布列如下表,则 随机变量 10? ? 1 的均值是 .

1 a

2 0.4

3 0.2

4 0.1

5 0.2

(文)已知大小、形状、颜色完全相同的 n ( n ? N )个乒乓球中有 5 个是次品,从中随机 抽取 5 个加以检验,若至少抽到 3 个次品的概率是 P(0 ? P ? 1) ,则至多抽到 2 个次品的概 率是(用含 P 的式子表示) .

10. (理) 极坐标系中, 点 A(1, ? ) 到曲线 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 上的点的最短距离是 (文)已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值是



x?3 ? ?



? ?x ? y ? 1 ? 0

11. (理)设 P 为双曲线 最小值为 .

x ? y 2 ? 1 虚轴的一个端点,Q 为双曲线上的一个动点,则 PQ 的 2 a

2

1

(文)设 P 为双曲线 小值为 .

x2 ? y 2 ? 1虚轴的一个端点, Q 为双曲线上的一个动点,则 PQ 的最 3
2 2
x

12. (理)已知曲线 C : x ? y ? 9 ( x ? 0, y ? 0) 与函数 y ? ln x 及函数 y ? e 的图像分 别交于点 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 x1 ? x 2 的值为
2 2
2 2



( 文 ) 已 知 曲 线 C : x ? y ? 9 ( x ? 0, y ? 0) 与 直 线 x ? y ? 4 相 交 于 点

A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 x1 y2 ? x2 y1 的值为



13 . ( 理 ) 问 题 “ 求 方 程 3x ? 4x ? 5x 的 解 ” 有 如 下 的 思 路 : 方 程 3x ? 4x ? 5x 可 变 为

(3) x ? (4) x ? 1 ,考察函数 f (x) ? (3) x ? (4) x 可知, f (2) ? 1 ,且函数 f (x) 在 R 上单调 5 5 5 5 递减,∴原方程有唯一解 x ? 2 .
仿照此解法可得到不等式: x ? (2 x ? 3) ? (2 x ? 3) ? x 的解是
6 3 2



( 文 ) 问 题 “ 求 不 等 式 3x ? 4x ? 5x 的 解 ” 有 如 下 的 思 路 :不 等 式 3x ? 4x ? 5x 可 变为

(3) x ? (4) x ? 1 , 考 察 函 数 f (x) ? (3) x ? (4) x 可 知 , 函 数 f (x) 在 R 上 单 调 递 减 , 且 5 5 5 5 ,∴原不等式的解是 x ? 2 . f (2) ? 1
仿照此解法可得到不等式: x ? (2 x ? 3) ? (2 x ? 3) ? x 的解是
3 3



14 . 若 f ( x) ?

x ,n ? N* ? , 则 , f1 ( x) ? f ( x) , f n(x) ? f n ?1 ? f ? x ?? ? n ? 2 x ?1 . f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ? 2012? ? f1 ?1? ? f 2 ?1? ? ? ? f 2012 ?1? =


二、选择题(每个 5 分,共 20 分) 15、在△ABC 中, “ c cos B ? b cosC ”是“△ABC 是等腰三角形”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

? 2n ? ?1 ? 2 n 16、 (理) 数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ? 2 Cn ? ? ? ?2n ? 1??n ? 1? 1 (A)1 (B) 4

n ? 100
il , 则m

n ? 100 (n ? N )
*

n??

a n ?( )

(C )1 或

1 4

(D)不存在

(文)将图所示的一个直角三角形 ABC(∠C=90°)绕斜边 AB 旋转一周,所得到的几何 体的正视图是下面四个图形中的( )

(A)

(B)

(C )

(D)

2

P 17. (理)如图,三棱锥的四个顶点 P、、、 A B C 在同一个球面上, 顶点 P 在平面 ABC 内的射影是 H ,若球心在直线 PH 上,则点 H 一定是 ?ABC 的 ( ) (A) 重心. (B) 垂心. (C) 内心. (D) 外心. (文)如图几何体由前向后方向的正投影面是平面 EFGH, 则该几何体的主视图是 ( )

A H E F B

C H G

(A) 18.方程

(B)

(C)

(D)

x| x| y| y| ? ? ?1 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图像,对于函数 y ? f ( x) ,有如下 16 9 结论: ① f ( x) 在 R 上单调递减; ②函数 F(x) ? 4 f (x) ? 3x 不存在零点; ③函数 y ? f ( x) 的 值 域 是 R ; ④ 若 函 数 g(x) 和 f ( x) 的 图 像 关 于 原 点 对 称 , 则 y ? g(x) 由 方 程 y| y| x| x| [答]( ) ? ? 1 确定.其中所有正确的命题序号是 16 9
(A) ①③. (B) ①④. (C) ①③④. (D) ①②③.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (理) 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为 A1 B1 , CD 的中点. (1)求直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角的大小; (2)求二面角 E ? AF ? B 的大小.

(文) 如图, 设计一个正四棱锥形冷水塔, 高是 0.85 米, 底面的边长是1.5 米. (1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积;
0.85 S

(2)制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板? (精确到 0.01 米 )
2

O 1.5

E

(第 19 题图)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

3

如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于

? ,半径为 2 , 3

在半径 OA 上有一动点 C ,过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点

P.
(1)若 C 是 OA 的中点,求 PC ; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 周长的最大值及此时 ? 的值.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . (理)已知函数 f ( x) ? x ? a .
2

(1)若 F ( x) ? f ( x) ? 范围;

2 是偶函数,在定义域上 F ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值 bx ? 1

(2)当 a ? 1 时,令 ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ,问是否存在实数 ? ,使 ? ( x) 在 ?? ?,?1? 上 是减函数,在 ?? 1,0? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由.

x2 y2 ? 1. (文)已知椭圆 ?: ? 12 4
(1)直线 AB 过椭圆 ? 的中心交椭圆于 A、B 两点, C 是它的右顶点,当直线 AB 的斜率 为 1时,求△ ABC 面积; (2) 设直线 l:y ? kx ? 2 与椭圆 ? 交于 P、Q 两点, 且线段 PQ 的垂直平分线过椭圆 ? 与

y 轴负半轴的交点 D ,求实数 k 的值.

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分.

x2 y 2 已知椭圆 ? ? 1的两焦点分别为 F1、F2 , P 是椭圆在第一象限内的一点,并满足 4 2 ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. (1)求
4

P 点坐标 ;
(2)当直线 PA 经过点 (1 , 2) 时,求直线 AB 的方程; (3)求证直线 AB 的斜率为定值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. (理)已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a ( a ? 3 ), a n ?1 ? S n ? 3 ,设
n

bn ? S n ? 3 n , n ? N ? .

(1)求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)若 a n?1 ≥ a n , n ? N ? ,求实数 a 的最小值; (3)当 a ? 4 时,给出一个新数列 ?en ? ,其中 en ? ?
?

?3 , n ? 1 ,设这个新数列的前 n 项 ?bn , n ? 2

和为 C n , 若 C n 可以写成 t p ( t , p ? N 且 t ? 1, p ? 1 )的形式, 则称 C n 为“指数型和”. 问

?C n ? 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明
理由. (文)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2 , nan ?1 ? S n ?

n(n ? 1) .从 {a n } 中 3

抽出部分项 a k1 , a k 2 ,?, a k n , ? , (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a k n } 是等比数列,设 该等比数列的公比为 q ,其中 k1 ? 1, n ? N .
*

(1)求 a 2 的值; (2)当 q 取最小时,求 {k n } 的通项公式; (3)求 k1 ? k 2 ? ? ? k n 的值.

5

答案: 一、 (第 1 题至第 14 题) 1.?0, 3? ; 5. 3 ; 6. ? 2. ; 7.文 16,理 4;

1 2

3. 23;

4. ; 3

1

1 ; 2

8. 2 (或 b ) ;

9 ,理 2 ;11.文 15 ,理 a 2 ? 1 ? 1 ;12.9; 2 a2 ? 1 2 13.文 x ? ?3 ,理 x ? ?1 或 x ? 3 ; 14. 2012 .
9.文 1 ? P ,理 30 ;10.文 15-18 A B D D 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (文)解: (1)如图正四棱锥底面的边长是 1.5 米,高是 0.85 米 S 所以 V ?

1 1 (5 分) sh ? ? 1.5 ? 1.5 ? 0.85 ? 0.6375 m 3 ????? 3 3
O 1.5 E

0.85

(2)如图, 取底面边长的中点 E , 连接 SE , SE 2 ? SO2 ? EO 2

1 S侧 ? 4 ? ? 1.5 ? 0.85 2 ? 0.75 2 ? 3.40 m 2 ????????????(12 分) 2
(理)

19. (1) (理)解法一:建立坐标系如图 平面 B1 BCC 1 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0)

?????????(1 分) ?????????(2 分)

因为 E (2,1,2) C (0,2,0) ,? EC ? (?2,1,?2) , 可知直线 EC 的一个方向向量为? d ? (?2,1,?2) .???????(3 分) 设直线 EC 与平面 B1 BCC1 成角为 ? , d 与 n1 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos? ?

n1 ? d n1 d

?

1 9 ?1

?

1 3

6

1 故EC与平面B1BCC 1成角大小为arcsin ?????????(5 分) 3
19(1)解法二: EB1 ? 平面 B1 BCC 1 ,即 B1C 为 EC 在平面 B1 BCC 1 内的射影,故

?ECB 1 为直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角,?????????(2 分)
在 Rt ?EB 1C 中, EB 1 ? 1, B1C ? 2 2

故 tan ?ECB1 ?

EB1 1 2 ? ? B1C 2 2 4

?????????(4 分)

故EC与平面B1 BCC 1成角大小为arctan
19(2) (理科)

2 4

?????????(5 分)

解法一:建立坐标系如图.平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) ????(7 分) 设平面 AEF 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,因为 AF ? ( ?2,1,0) , AE ? (0,1,2) 所以 ?

?? 2 x ? y ? 0 ,令 x ? 1,则 y ? 2, z ? ?1 ? n2 ? (1,2,?1) ?????(9 分) ? y ? 2z ? 0
n1 ? n2 n1 n2 ? ?1 1? 4 ?1 ? 6 ?????????(11 分) 6
6 .?????(12 分) 6

cos? ?

由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角,故其大小为 arccos

19(2)解法二:过 E 作平面 ABC 的垂线,垂足为 E ? , ?EGE? 即为所求??(8 分)

E ? ? AB ,过 E ? 作 AF 的垂线设垂足为 G , ?ADF ∽ ?AGE
G ?E AD GE ? 2 2 ? ? ? 即 GE ? ? AE ? AF 1 5 5
在 Rt?EE ?Q 中 tan ?EGE ? ? ?????????(10 分)

EE ? ? 5 GE ?

?????????(11 分)

所以二面角 E ? AF ? B 的大小为 arctan 5 .

?????????(12 分)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 20(1)解: (1)在△ POC 中, ?OCP ? ????????????(1 分)
7

2? , OP ? 2, OC ? 1 3

2? ??????(3 分) 3 ? 1 ? 13 2 得 PC ? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ? .?????(6 分) 2 ? (2)∵ CP ∥ OB ,∴ ?CPO ? ?POB ? ? ? ,??????????(7 分) 3
由 OP ? OC ? PC ? 2OC ? PC cos
2 2 2

在△ POC 中,由正弦定理得

2 CP OP CP ? ? ,即 2? sin ? sin ?PCO sin ? sin 3

∴ CP ?

4 3

sin ? ???????????????(9 分)



OC sin( ? ? ) 3

?

?

CP 4 ? ? OC ? sin( ? ? ) .???????????(10 分) 2? 3 3 sin 3

(文)记△ POC 的周长为 C (? ) ,则

C (? ) ? CP ? OC ? 2 ?

4 3

sin ? ?

4

sin( ? ? ) ? 2 3 3

?

=

? 4 ? 3 1 4 ?? ? cos ? ? sin ? ?2? sin ? ? ? ? ? 2 ???????????(13 分) ? ? ? ? 2 3? 3? 2 3 ? ?

∴? ?

?
6

时, C (? ) 取得最大值为

4 3 ?2. 3

???????????(14 分)

(理)记△ POC 的面积为 S (? ) ,则 S (? ) ?

1 2? CP ? OC sin , 2 3

? ?

1 4 4 ? 3 4 ? ? sin ? ? sin( ? ? ) ? ? sin ? ? sin( ? ? ) 2 3 3 2 3 3 3 4 3 sin ? ( 3 1 2 cos? ? sin ? ) ? 2 sin ? cos? ? sin 2 ? 2 2 3

? sin 2? ?

3 3 2 3 ? 3 ? (sin 2? ? ) ? cos 2? ? ??????????(13 分) 3 6 3 3 3 3 . 3
???????????(14 分)

∴? ?

?
6

时, S (? ) 取得最大值为

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文)解:(1)依题意, a ? 2 3 , C (2 3,0) ,???????????(2 分)

8

? x2 y 2 ?1 ? ? 由 ?12 ,得 y ? ? 3 , ???????????( 4 分) 4 ?y ? x ? 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) ,? OC ? 2 3

1 1 OC ? y1 ? y 2 ? ? 2 3 ? 2 3 ? 6 ;?????????(6 分) 2 2 y ? kx ? 2 ? ? 2 2 (2)如图,由 ? x 2 y 2 得 (3k ? 1) x ? 12kx ? 0 , ? ?1 ? ?12 4 2 ? ? (12 k ) ? 0 ??????????????????????(10 分) 依题意, k ? 0 ,设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,线段 PQ 的中点 H ( x0,y0 ) , x ? x2 ?6k 2 则 x0 ? 1 , y0 ? kx0 ? 2 ? 2 , D (0, ? 2) ,??????(12 分) ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 2 ?2 2 由 k DH ? k PQ ? ?1,得 3k ? 1 ? k ? ?1 , 6k ? 2 3k ? 1
∴ S ?ABC ? ∴k ? ?

3 ???????????(14 分) 3

(理)解:(1) F ( x) ? x 2 ? a ? 即 F ( x) ? x ? a ? 2 , x ? R
2 2

2 是偶函数,? b ? 0 bx ? 1

???????(2 分)

???????????(3 分)
2

又 F ( x) ? ax 恒成立即 x ? a ? 2 ? ax ? a( x ? 1) ? x ? 2 当 x ? 1时 ? a ? R 当 x ? 1时, a ? ???????????(4 分) ???????(5 分)

x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ? 2 ,a ? 2 3 ? 2 x ?1 x ?1 x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ?2, x ?1 x ?1

当 x ? 1 时, a ?

a ? ?2 3 ? 2 ???????(6 分)
???????????(7 分)

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2
4 2

(2) ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ? x ? (2 ? ? ) x ? (2 ? ? ) ?????????(9 分)

?? ( x) 是偶函数,要使 ? ( x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数在 ?? 1,0? 上是增函数,即 ? ( x) 只要满
足在区间 ?1,?? ? 上是增函数在 ?0,1? 上是减函数.???????????(10 分) 令 t ? x 2 ,当 x ? ?0,1? 时 t ? ?0,1? ; x ? ?1,??? 时 t ? ?1,??? ,由于 x ? ?0,?? ? 时,

9

t ? x 2 是增函数记 ? ( x) ? H (t ) ? t 2 ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) ,故 ? ( x) 与 H (t ) 在区间 ?0,???
上有相同的增减性, 当二次函数 H (t ) ? t ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) 在区间 ?1,?? ? 上是增函数在
2

?0,1?上是减函数,其对称轴方程为 t ? 1 ? ? 2 ? ?
2

? 1 ? ? ? 4 .???????(14 分)

22. [ 解 ] ( 1 ) 由 题 可 得 F1 ( ? 2, 0) , F2 ( 2, 0) , 设 P0 ( x0 , y 0 ) ( x0 ? 0, y 0 ? 0) 则

???? ???? ???? ???? PF1 ? (? 2 ? x0 , ? y0 ) , PF2 ? ( 2 ? x0 , ? y0 ) ,∴ PF1 ? PF2 ? x0 2 ? y0 2 ? 2 ? 1 , (1 分)

x0 2 y0 2 (2 分)解得点 P 的坐标为 ( 2,1) . (4 分) ? ? 1, 4 2 (2)当直线 PA 经过点 (1 , 2) 时,则 PA 的斜率为 ?1 ,因两条直线 PA、PB 的倾斜角互 补,故 PB 的斜率为 1 , ? ? y ? 1 ? ?x ? 2 由 ? x2 y 2 ? 3x 2 ? 4( 2 ? 1)x ? 2 ? 4 2 ? 0 得, x1 ? 2, x2 ? 2 ? 4 3 ? ?1 ? ?4 2 2 ? 4 ,故 y ? 2 2 ? 1 , 2 ? 4 , y ? ? 2 2 ? 1 (4 分) 即 xA ? (2 分)同理得 xB ? A B 3 3 3 3 2 x?2 ∴直线 AB 的方程为 y ? (6 分) 2 3 (3) 依题意,直线 PA、PB 的斜率必存在,不妨设 BP 的方程为: ? ? y ? 1 ? k(x ? 2) 得 y ? 1 ? k(x ? 2)(k ? 0) .由 ? x 2 y 2 ? ?1 ? ?4 2 2 2 (2k ? 1) x ? 4k ( 2k ? 1) x ? 4k 2 ? 4 2k ? 2 ? 0 , (2 分)设 B( xB , y B ) ,则
∵点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则

4k ( 2k ? 1) 2 2k 2 ? 4k ? 2 2 2k 2 ? 4 k ? 2 x ? x ? , ,同理 , B A 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 4 2k 8k 则 xA ? xB ? ,同理 y A ? yB ? ?k ( xA ? xB ? 2 2) ? .(4 分) 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 y ? yB 2 ? 所以: AB 的斜率 k AB ? A 为定值. (6 分) x A ? xB 2 2 ? xB ?
23.(文)解: (1)令 n ? 1得 1 ? a 2 ? a1 ?

1? 2 2 ,即 a 2 ? a1 ? ;????(2 分) 3 3

又 a1 ? 2 ? a 2 ?

8 3

?????????????????????(4 分)

n(n ? 1) ? nan ?1 ? S n ? , 2 ? ? 3 (2)由 a 2 ? a1 ? 和 ? n(n ? 1) 3 ? (n ? 1)a n ? S n ?1 ? ? 3 ?

10

? nan?1 ? (n ? 1)a n ? a n ?

2 2n ? an?1 ? a n ? , ?????????(6 分) 3 3
2 2 为公差的等差数列,所以 a n ? (n ? 2) .?(7 分) 3 3

所以数列 {a n } 是以 2 为首项,

解法一: 数列 {a n } 是正项递增等差数列, 故数列 {a k n } 的公比 q ? 1 , 若 k2 ? 2 , 则由 a 2 ? 得q?

8 3

a2 4 4 32 32 2 10 ? , 此 时 a k3 ? 2 ? ( ) 2 ? ,由 ? (n ? 2) 解 得 n ? ? N * , 所 以 a1 3 3 9 9 3 3

k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ;若 k 2 ? 4 ,则由 a4 ? 4 得 q ? 2 ,此时 a kn ? 2 ? 2 n ?1 组成等比数列,
所以 2 ? 2
n ?1

?

2 (m ? 2) , 3 ? 2 n?1 ? m ? 2 ,对任何正整数 n ,只要取 m ? 3 ? 2 n?1 ? 2 ,即 3

a k n 是数列 {a n } 的第 3 ? 2 n?1 ? 2 项.最小的公比 q ? 2 .所以 k n ? 3 ? 2 n ?1 ? 2 .???(10
分) 解法二: 数列 {a n } 是正项递增等差数列,故数列 {a k n } 的公比 q ? 1 ,设存在

a k1 , a k2 ,?, a kn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a k n } 是等比数列,则

2 ?2 ? 2 2 ak ? a ? a ( k ? 2 ) ? 2 ? (k 3 ? 2) ? ?k 2 ? 2 ? ? 3?k 3 ? 2 ? ,即 k k 2 2 1 3 ?3 ? 3 ? ?
因为 k 2、k 3 ? N * 且k 2 ? 1 所以 k 2 ? 2 必有因数 3 ,即可设 k 2 ? 2 ? 3t , t ? 2, t ? N ,当数 列 {a k n } 的公比 q 最小时,即 k 2 ? 4 , ? q ? 2 最小的公比 q ? 2 .所以 k n ? 3 ? 2
n ?1

2

? 2.

??????????????????????????????????(10 分) (3)由(2)可得从 {a n } 中抽出部分项 a k1 , a k 2 ,?, a k n , ? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的 数列 {a k n } 是等比数列,其中 k1 ? 1 ,那么 {a k n } 的公比是 q ?

k2 ? 2 ,其中由解法二可得 3

k 2 ? 3t ? 2, t ? 2, t ? N .

??????????????????(12 分)

a kn ? 3 ? (

k 2 ? 2 n?1 2 k ? 2 n?1 ) ? (k n ? 2) ? k n ? 3 ? ( 2 ) ?2 3 3 3

? kn ? 3 ? (

3t ? 2 ? 2 n?1 ) ? 2 ? k n ? 3 ? t n ?1 ? 2 , 3

t ? 2, t ? N ????????????????????(16 分)
所以 k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3(1 ? t ? t ? ? ? t
2 n ?1

) ? 2n ? 3 ? t n ? 2n ? 3 ????(18 分)

11

(理)解: (1) a n ?1 ? S n ? 3 ? S n ?1 ? 2S n ? 3 , bn ? S n ? 3 n , n ? N ? ,当 a ? 3 时,
n n

bn ?1 S n ?1 ? 3n ?1 2S n ? 3n ? 3n ?1 ? ? =2,所以 ?bn ? 为等比数列.???????(2 分) bn S n ? 3n S n ? 3n

b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? (a ? 3) ? 2 n ?1 .???????????????(4 分)
(2) 由(1)可得 S n ? 3 n ? (a ? 3) ? 2 n ?1

a n ? S n ? S n ?1 , n ? 2, n ? N ?

??????????????????(6 分)

a n ?1 ? an ? ? ; ????????????????(8 分) n ?1 n?2 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2

? a 2 ? a1 a n ?1 ?a n , ? ?a n ?1 ? a n n ? 2

, a ? ?9 ??????????????(9 分)

所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为 ? 9 ????????(10 分) (3)由(1)当 a ? 4 时, bn ? 2 n ?1
n 当 n ? 2 时, C n ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? 1 , C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 C n ? 2 n ? 1.
?

???????(12 分)

由 t p ? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t , p ? N 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数. ???????(13 分)
p p

①当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n ,
p p

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数,
p p

所以存在正整数 g , h ,使得 t 2 ? 1 ? 2 g , t 2 ? 1 ? 2 h ,

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,相应的

n ? 3 ,即有 C 3 ? 3 2 , C 3 为“指数型和”;
②当 p 为奇数时,t ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
p 2 p ?1

???????(16 分)

) ,由于1 ? t ? t 2 ? ? ? t p ?1 是 p 个奇
2 p ?1

数之和,仍为奇数,又 t ? 1 为正偶数,所以 (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t 时没有“指数型和”.

) ? 2 n 不成立,此

???????(18 分)

12



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