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同角三角函数基本关系式2



§1.2.2同角三角函数的基本关系

复习与回顾 1.任意角的三角函数的定义

设?是一个任意角 , ?的终边与单位圆的

y x (1) sin ? ? ___; ( 2 ) cos ? ? ___; y (3) t an? ? ___; x

交点P( x, y), 那么:

1

§1.2.2同角三角函数的基本关系

复习与回顾 2.三角函数的定义域

sin ?

cos ?
tan ?
{? | ? ? R且? ?

R R

?
2

? k? , k ? Z }

2

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

复习与回顾 3.三角函数值的符号

? ?
o

y

? ?
sin ?

x

? ? ? ? x x o o ? ? ? ?
cos?

y

y

tan?

3

4

问题探究(一)

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

计算下列各式的值: 1.sin2 90? ? cos2 90? ;

2.sin 30 ? cos 30 ;
2 ? 2 ?

问题 : 如果把上面具体的数据 改为一般角?会 有同样的结果吗 ?

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

可以证明吗? 如何证明吗? 角?是否可以是任意角吗 ?
5

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

问题探究(二)
请同学们继续根据三角 函数的定义探索: sin ? , cos ? , tan ?三者之间是否有什么关 系?

sin ? y ? ? tan ? cos ? x
角?是否可以是任意角时 , 上式都成立呢 ?

6

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

y

x ?y ?r
2 2

2

证明
2

x2 ? y 2 ? r 2
2

O r

x P(x,y)

y 2 x ? )2 sin ? ? cos ? ? (sin? ) ? (cos r r 2
x ? y2 ? r2 ? 1

y sin ? ? ; r x cos ? ? ; r y tan ? ? ; x

sin ? ? cos ?

当? ? k? ?

y y r ? ? tan? x x r ?
2

(k ? Z )时, tan ?有意义

7

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

同角三角函数基本关系式:

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?
关于三种关系式
如 : sin 2 3? ? cos2 3? ? 1;
1.“同角”的概念与角的表达形式无关. sin
3? 2 ? tan 3? . 3? 2 cos 2

2.三种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立.

3.对于同一个角 ?的 sin ?、cos?、tan?可以利用关系式 , "知一求二 ".
8

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

同角三角函数的基本关系式
平方关系: sin ? ? cos ? ? 1, 第一件事: 记住它! sin ? ? tan ?, 商数关系: cos ?
2 2

学习数学公 式需要做好 哪几件事?
9

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

学习数学公式需要做好哪几件事?
? 记住它!(通过分析式子的结构来记忆) ? 明确公式成立的条件(何时“不必疑”?)

10

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

公式成立的条件
平方关系: sin ? ? cos ? ? 1, ? ? R
2 2

? sin ? 商数关系: ? tan ?, ? ? k? ? (k ? Z) 2 cos ?
两边 都有意义

11

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

学习数学公式需要做好哪几件事?
? 记住它!(通过分析式子的结构来记忆) ? 明确公式成立的条件(何时“不必疑”?) ? 熟悉公式的变形(换马甲)

12

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

游戏:换了马甲还认识吗?
sin 27?+cos 63? ? 1
2 2

?? ?? ??

27

sin ? ? cos ? ? tan ?
cos ? ? 1 ? sin ?
2

±

13

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

学习数学公式需要做好哪几件事?
? ? ? ? ? 记住它!(通过分析式子的结构来记忆) 明确公式成立的条件(何时“不必疑”?) 熟悉公式的变形(换马甲) 熟悉公式的一些典型应用 熟悉应用公式时的易错点

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§1.2.2同角三角函数的基本关系式

公式运用三类题型
第一类题型
? 已知一个角的一个三角函数值,求这个角的其它几个三角函数值。

例题讲解

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

3 例6. 已知 sin ? ? ? , 求 cos ? , tan ?的值. 5 解: ? sin ? ? 0, sin ? ? 1 ??是第三象限或第四象限 的角。 如果?是第四象限的角,那么
由sin 2 ? ? cos2 ? ? 1得 3 2 16 cos2? ? 1 - sin 2? ? 1( - - ) ? 5 25 如果?是第三象限的角,那么

4 3 cos? ? , t an? ? ? 5 4

cos? ? 0, 于是cos? ? -

16 4 ?25 5 sin? ? 3 ? ? 5 ? 3 t an? ? ? ?? ???- ? ? cos? ? 5 ? ? 4 ? 4

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基础训练(p20)

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

4 1.已知cos? ? ? ,且?为第三象限角,求sin ? , tan?的值。 5 2. tan? ? ? 3, 求sin?,cos?的值。
1解

2

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§1.2.2同角三角函数的基本关系式

公式运用三类题型
第二类题型

三角函数的化简
所谓化简,就是使表达式经过某种变形(如 切化弦),使结果尽可能的简单,能求值的一 定要求值。

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例题讲解
化简 解:原式

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

2 cos2 ? ? 1 1 ? 2 sin 2 ?

例:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ?

2cos2? - sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin 2 ?

?

?

?

?

2 cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ?1 2 2 cos ? ? sin ? sin ?

练习: cos ? tan ?

tan ? ?

cos ?

sin ? 解:原式= cos ? ? sin ? cos ?
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§1.2.2同角三角函数的基本关系式

小结:
1. 1. 两个公式: 两个公式: sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? tan ? ? cos ?

2.三种应用:

(1)知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 (2)三角函数式的化简 (3)三角恒等式的证明

20

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

你会忘记我吗?
p21, 10题(1)、(2)、(3) 基础训练p20,应用落实体验

21



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