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高三数学归纳法练习题



数学归纳法
1.已知等式 1 ? 2 ?
2 2

? n2 ?

A.仅当 n ? 1 时等式成立 C.仅当 n ? 1, 2 时等式成立 2.设 f(n)=

5n ? 7n ? 4 ,以下说法正确的是( 2 B.仅当 ? 1, 2,3 时等式成立 D. n 为任何自然数时等式都成立
2





1 1 1 1 + + +?+ (n∈N *) ,那么 f(n+1)-f(n)等于( n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 1 1 1 1 1 1 A. B. C. + D. - 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2



3.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形有对角线条数 f(n+1)为( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 n 4.用数学归纳法证明“ (n+1) (n+2) ·?· (n+n)=2 ·1·3·?· (2n-1) ” ,从“k 到 k+1”左端需 增乘的代数式为( )A.2k+1 B.2(2k+1) C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

5.如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+1 也成立,现已知 P(n)对 n=4 不成立,则下列结论 正确的是( )A.P(n)对 n∈N*成立 B.P(n)对 n>4 且 n∈N*成立 C.P(n)对 n<4 且 n∈N*成立 D.P(n)对 n≤4 且 n∈N*不成立 6.记凸 k 边形的内角和为 f ( k ) ,则 f (k ? 1) ? f (k ) 等于 ( 7.用数学归纳法证明“1+ ) A.

? 2

B. ?

C.

3 ? 2

D. 2?

1 1 1 + + ?+ n <n(n∈N*,n>1) ”时,由 n=k(k>1)不等式成立, 2 ?1 2 3


推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( )A.2k 1 B.2k-1 C.2k 8.若把正整数按下图所示的规律排序,则从 2002 到 2004 年的箭头方向依次为(
1 4 5 2 8 9 1 2 ? 3 6 7 1 0 1 1

D.2k+1 )

A .

B .

C .

D .

9.在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥” 形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3, 4, 堆最底 层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放,从第二层开始, 每层的小球自然垒放在下一层之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓 球 , 以 f (n) 表 示 第 n 堆 的 乒 乓 球 总 数 , 则 f (3) ? _____ ; f (n) ? _____ (答案用 n 表示). 10.观察下表: 1 2 3 4 4 5 6 6 7 8 ?? .

?

4 设第 n 行的各数之和为 Sn,则 Sn=
选修 2-2 推理与证明

3 5

7 9

10

1

11.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 且 an?2 ? an ? 1 ? (?1)n , n ? N ? ,则 S10 ? ___________. 12.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于 1 的正整数 n,点( an , an?1 )在直线 x-y- 3 =0 上, 则 an= . 13. 如图, 第 n 个图形是由正 n+2 边形 “扩展” 而来 (n=1, 2, 3, ?) , 则第 n-2 个图形中共有____________ 个顶点.

14. 用数学归纳法证明

1 1 ? ? 22 32

?

1 1 1 ? ? . 时, 假设 n ? k 时结论成立, 则当 n ? k ? 1 2 (n ? 1) 2 n?2
.

时,应推证的目标不等式是 15.用数学归纳法证明 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

17.在各项为正的数列 {an } 中,数列的前 n 项和 Sn 满足 S n ?

1 1 (a n ? ) 2 an

(1)求 a1 , a2 , a3 (2)由(1)猜想数列 {an } 的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想. 18.试证当 n 为自然数时,f(n)=32n 2-8n-9 能被 64 整除.


19.用数学归纳法证明: . 1 ? 1 ? 1 ???
1? 3 3? 5 5? 7

?2n ? 1??2n ? 1?

1

?

n 2n ? 1

20.是否存在一个等差数列{an},使得对任何自然数 n,等式:a1+2a2+3a3+?+nan=n(n+1)(n+2) 都成立,并证明你的结论. 21.证明不等式 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 n (n∈N). 2 3 n 22 .已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,当 n∈N 时,an+2=an+1+an.求证:数列{an}的第 4m+1 项(m∈N)能被 3 整除 23.求证: 1+

1 1 1 1 + + ??? + <2 n (n ? 3,n ? N) 1 2 3 n

24.用数学归纳法证明: sin n? ? n sin? (n∈N*) 25.证明: (1+

1 n ) <n (n≥3,n∈N*) n

26.用数学归纳法证明:

1 1 1 1 n + + + ??? + = (n ? N*) 2? 4 4? 6 6?8 2n(2n+2) 4(n+1)
2

选修 2-2 推理与证明



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