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黑龙江省大庆市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第二次阶段考试试题文(新)

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大庆一中高二年级下学期第二次阶段考试 数学（文科）试卷
一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．复数 2 ? i 的虚部为（ A．2 B．1 ） C．-1
1

D．-i
1

2. “用反证法证明命题“如果 x<y，那么 x 5 > y 5 ”时，假设的内容应该是（
1

>
）
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

A. x 5 ＝ y 5

B. x 5 < y 5

C. x 5 ＝ y 5 或 x 5 < y 5

D. x 5 ＝ y 5 或 x 5 > y 5

3．已知复数 z ? ?2 ? ai (a ? R, i 是虚数单位 ) 对应的点在复平面内第二象限，且 z ? z ? 6 ，则 a ? A. 2 B. ? 2 C. 2 D. ?2 )

1 1 1 1 4．以下给出的是计算 ＋ ＋ ＋?＋ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( 2 4 6 20

A．i<20
2

B．i>10

C．i<10

D．i≤10 ）

5.若复数 z 满足 |z | ? 5|z | ?4 ? 0 ，则复数 z 在复平面内的轨迹为（

A.一个圆 B. 两个圆 C. 一条直线 D. 两条直线 6.如图所示，有 5 组(x，y)数据，去掉一组数据后，要使剩下的 4 组数据的相关性最强，应去掉点（ ）

A.A

B.B

C.C
2

D.D

7. 已知抛物线 x2 ? 4 3 y 的准线经过双曲线

y ? x 2 ? 1 的一个焦点，则双曲线的离心率为 2 m
C.

A. 3

B.

6 2

3 2 4

D. 3 3 [来源:学科网Z-XK]

8. 下面是一段演绎推理： 大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；
1

小前提：已知直线 b∥平面 α ，直线 a? 平面 α ； 在这个推理中( )

结论：所以直线 b∥直线 a.

A．大前提错误，结论错误 C．大、小前提正确，只有结论错误 9.给出下列说法：

B．小前提与结论都是错误的 D．大前提正确，结论错误

3 2 ①命题“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”；

②若“ p ? q ”为假命题，则 p, q 均为假命题； ③“三个数 a, b, c 成等比数列”是“ b ? ac ”的既不充分也不必要条件 其中不正确的个数为 A. 3 B. 2
2 2

C. 1

D. 0

10．直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 M , N 两点，若 MN ≥ 2 3 ，则实数 k 的取值范围是 A． ? ? ， 0?

? 3 ? ? 4 ?

B. ? ??， ? ? ? ? 0， ? ?? 4

? ?

3? ?

C. ? ?

? ?

3 3? ， ? 3 3 ?

D. ? ? ， 0? ）

? 2 ? ? 3 ?

11. 设 a ? b ? c, n ? N ，且 A．1 B．4

1 4 n ? ? 恒成立，则 n 的最大值是（ a ?b b?c a ?c
C．6 D．9

12.已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? a 的图象与 x 轴只有一个交点，则实数 a 的取值范围是( A. (??, ?1) ? (? , ??)

)

1 9

B. ( ?

5 ,1) 27

C. (??,1)

D. ( ??, ?

5 ) ? (1, ??) 27

二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13. 若复数 z 满足 z ? i ?

2?i ，则复数 z 的模为________ i
.

14. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1 、 F2 的连线的夹角为直角，则 Rt ?PF1F2 的面积为 49 24

15. 若f (n) ? 1 ?

1 1 1 3 5 7 ? ? ??? ? (n ? N ? )经计算f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? 猜想，当 2 3 n 2 2 2

n ? 2 时，有 16．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1=—1，an+1=SnSn+1，则 Sn=___________________________
三. 解答题：（共 70 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） m2＋m－6 2 17.当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋(m －2m)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.

m

18.当前《奔跑吧兄弟第四季》正在热播，某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第四季》与年龄是否相关，在 某市步行街随机抽取了 110 名成人进行调查，发现 45 岁及以上的被调查对象中有 10 人收看，有 25 人未收看；45 岁以下的被调查对象中有 50 人收看，有 25 人未收看． （1）试根据题设数据完成下列 龄有关；
2

列联表，并说明是否有 99．9％的把握认为收看《奔跑吧兄弟第四季》与年

（2）采取分层抽样的方法从 45 岁及以上的被调查对象中抽取了 7 人.从这 7 人中任意抽取 2 人，求至少有一人收 看《奔跑吧兄弟第四季》的概率．

2 19.已知在等比数列 ?an ? 中， a1 ? 2a2 ? 1, a3 ? 2a2a5 .（1）求数列 ?an ? 的通项公式；

（2）设 bn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ??? ? log 2 an ，且数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Sn ，证明： Sn ? —2. b n ? ?

20.如图，已知在三棱锥 P ? ABC 中， PA ? AC ， PC ? BC ， M 为 PB 的中点， D 为 AB 的中点， 且 ?AMB 为正三角形. （1）求证： MD ∥平面 PAC ；（2）求证：平面 PBC ? 平面 PAC .

A

F

[来源:学*科网]
M

N

x

来源:学+科网ZXK][ [来源:学*科网] [来源:学科网Z-XK] [来源:学*科网] 21．如图所示，椭圆 C：

B

? x2 y 2 6? ?。 2 , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 F(1,0)，且过点 ? 2 ? ? 2 a b ? ?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 A、B 为椭圆上的点，且直线 AB 垂直于 x 轴，直线 l ： x ＝4 与 x 轴交于点 N，直线 AF 与 BN 交于点 M。 (ⅰ)求证：点 M 恒在椭圆 C 上； (ⅱ ) 设直线 AM 的方程为 x ? ty ? 1 ，求△AMN 面积的最大值．[来源:Z-xk.Com] 22.已知函数 f ( x ) ?

ln x ? 1 （ e 是自然对数的底数） ， h( x) ? 1 ? x ? x ln x . ex

（1）求曲线 y ? f ( x) 在点 ( 1, f (1) ) 处的切线方程；（2）求 h( x) 的最大值；
?2 （3）设 g ( x) ? xf '( x) ，其中 f '( x) 为 f ( x) 的导函数. 证明：对任意 x ? 0 ， g ( x) ? 1 ? e .

3

1 C 13.

2 C

3 A

4 D
n

5 B

6 D

7 B

8 A

9 C

10 A

11 D

12 D

10 ;
2

14.24;15. f (2 ) ?

n?2 1 ;16. ? n 2

?m －2m＝0， ? 17. (1)当? ?m≠0， ?
2

即 m＝2 时，复数 z 是实数；

(2)当 m －2m≠0，且 m≠0，即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数；

m ＋m－6 ? ? ＝0， m (3)当? ? ?m2－2m≠0，
18.

2

即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数．

（1）

由列联表中的数据， 得到 跑吧兄弟第四季》与年龄有关．

因此， 有

的把握认为收看 《奔

（2）采取分层抽样的方法抽取的 7 人中有 2 人收看，5 人不收看《奔跑吧兄弟第四季》 ，从中任意抽取 2 人由 21 种不同的取法．记事件 为至少有一人收看《奔跑吧兄弟第四季》 ，基本事件总数为 21，事件 包含的事

件数为

，故

． ????????????2 分

19.解： （1）设数列 ?an ? 的公比为 q ，
2 由 a3 ? 2a2 a5 得 (a1q2 )2 ? 2a1q ? a1q4 ，

1 1 ，由 a1 ? 2a2 ? 1 得 a1 ? . 2 2 1 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n . 2
∴q ?

???????????4 分 ???????????6 分

（2） bn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ??? ? log2 an ? ?(1 ? 2 ? ??? ? n) ? ?

n(n ? 1) ， ??8 分 2
4

∴

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? )， bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ??? ? ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] ? ? ? —2.???12 分 b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

∴ sn ?

20.解： （1） ∵ M 、D 分别为 PB 、AB 的中点， ∴ MD ∥ PA ， ∵ MD ? 平面 PAC ，PA ? 平面 PAC ， ∴ MD ∥ 平面 PAC . ????????4 分

（2）连接 DC ，∵ ?AMB 为正三角形， D 为 AB 的中点， ∴ MD ? AB ，∴ PA ? AB ，又 PA ? AC ，

AB ? AC ? A ，∴ PA ? 平面 ABC .
∵ BC ? 平面 ABC ，∴ PA ? BC ， ∵ PC ? BC ， PC ? PA ? P ， ∴ BC ? 平面 PAC ， ∵ BC ? 平面 PBC ， ∴平面 PBC ? 平面 PAC . 21.(1)解：由题设 c ? 1,
2

??????7 分 ??????9 分

??????10 分

???????12 分

2 3 ? 2 ? 1 ，从而 b 2 ? 3, a 2 ? 4 ， b ? 1 2b

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3 m2 n2 ? ? 1. 4 3

????????????3 分

(2)(i)证明：由题意得 F(1,0)、N(4,0)． 设 A(m, n) ，则 B(m, ?n)(n ? 0) ，

AF 与 BN 的方程分别为： n( x ? 1) ? (m ? 1) y ? 0,

n( x ? 4) ? (m ? 4) y ? 0 .
设 M ( x0 , y0 ) ，则有 ? 由上得 x0 ?

?n( x0 ? 1) ? (m ? 1) y0 ? 0, [来源:Z-xk.Com] ?n( x0 ? 4) ? (m ? 4) y0 ? 0
????????????6 分

5m ? 8 3n , y0 ? . 2m ? 5 2m ? 5

由于

2 x0 y2 (5m ? 8)2 (3n)2 (5m ? 8)2 ? 12n2 ? 0 ? ? ? 4 3 4(2m ? 5)2 3(2m ? 5)2 4(2m ? 5) 2

(5m ? 8)2 ? 36 ? 9m2 ＝ ＝1. 4(2m ? 5)2
所以点 M 恒在椭圆 C 上． (ⅱ)解：设 AM 的方程为 x ? ty ? 1 ，代入 ????????????8 分

x2 y 2 ? ? 1， 4 3
5

得 (3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0. 设 A( x1 , y1 ) 、 M ( x2 , y2 ) ，则有 y1 ? y2 ?

?6t ?9 ， y1 y2 ? 2 . 2 3t ? 4 3t ? 4

| y1 ? y2 | ＝ ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ＝
令 t 2 ? 1 ? ? (? ? 1) ，则

12 ? t 2 ? 1 . ?????????10分 3t 2 ? 4

| y1 ? y2 | ＝

12? 12 ? 2 3? ? 1 3? ? 1

?

因为函数 y ? 3? ?

1

?

在 [1, ??) 为增函数，

所以当 ? ? 1 即 t ? 0 时，函数 y ? 3? ? 即 t ? 0 时, | y1 ? y2 | 有最大值 3，

1

?

有最小值 4.

1 9 | NF | · | y1 ? y2 | 有最大值 . 2 2 ln x ? 1 1 22. (Ⅰ)由 f ( x ) ? ，得 f (1) ? ， x e e 1 ? x ? x ln x f '( x) ? ，所以 k ? f '(1) ? 0 ， xe x 1 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? . e
△ AMN 的面积 S△AMN＝ （2） h( x) ? 1 ? x ? x ln x ， x ? (0, ??) . 所以 h '( x) ? ? ln x ? 2 . 令 h '( x) ? 0 得， x ? e . 因此当 x ? (0, e ) 时， h '( x) ? 0 ， h( x) 单调递增； 当 x ? (e , ??) 时， h '( x) ? 0 ， h( x) 单调递减. 所以 h( x) 在 x ? e 处取得极大值，也是最大值.
?2 ?2

?????1 分 ?????3 分 ?????4 分

?????5 分

?2

?2

?????7 分[来源:学科网Z-XK]

h( x) 的最大值为 h(e?2 ) ? 1 ? e?2 .
(3)证明：因为 g ( x) ? xf '( x) ，所以 g ( x ) ?

?????8 分

1 ? x ? x ln x , ex
?????9 分

x ? 0 ， g ( x) ? 1 ? e?2 等价于 1 ? x ? x ln x ? e x (1 ? e?2 ) .
?2 ?2

由（2）知 h( x) 的最大值为 h(e ) ? 1 ? e ，故 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e ?2.
6

只需证明 x ? 0 时， e ? 1 成立，这显然成立.
x

?????10 分

所以 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 ? e x (1 ? e?2 ) ， 因此对任意 x ? 0 ， g ( x) ? 1 ? e?2 . ?????12 分

[来源:学*科网]

7



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