大庆一中高二年级下学期第二次阶段考试 数学(文科)试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 2 ? i 的虚部为( A.2 B.1 ) C.-1
1
D.-i
1
2. “用反证法证明命题“如果 x<y,那么 x 5 > y 5 ”时,假设的内容应该是(
1
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A. x 5 = y 5
B. x 5 < y 5
C. x 5 = y 5 或 x 5 < y 5
D. x 5 = y 5 或 x 5 > y 5
3.已知复数 z ? ?2 ? ai (a ? R, i 是虚数单位 ) 对应的点在复平面内第二象限,且 z ? z ? 6 ,则 a ? A. 2 B. ? 2 C. 2 D. ?2 )
1 1 1 1 4.以下给出的是计算 + + +?+ 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( 2 4 6 20
A.i<20
2
B.i>10
C.i<10
D.i≤10 )
5.若复数 z 满足 |z | ? 5|z | ?4 ? 0 ,则复数 z 在复平面内的轨迹为(
A.一个圆 B. 两个圆 C. 一条直线 D. 两条直线 6.如图所示,有 5 组(x,y)数据,去掉一组数据后,要使剩下的 4 组数据的相关性最强,应去掉点( )
A.A
B.B
C.C
2
D.D
7. 已知抛物线 x2 ? 4 3 y 的准线经过双曲线
y ? x 2 ? 1 的一个焦点,则双曲线的离心率为 2 m
C.
A. 3
B.
6 2
3 2 4
D. 3 3 [来源:学科网Z-XK]
8. 下面是一段演绎推理: 大前提:如果直线平行于平面,则这条直线平行于平面内的所有直线;
1
小前提:已知直线 b∥平面 α ,直线 a? 平面 α ; 在这个推理中( )
结论:所以直线 b∥直线 a.
A.大前提错误,结论错误 C.大、小前提正确,只有结论错误 9.给出下列说法:
B.小前提与结论都是错误的 D.大前提正确,结论错误
3 2 ①命题“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”;
②若“ p ? q ”为假命题,则 p, q 均为假命题; ③“三个数 a, b, c 成等比数列”是“ b ? ac ”的既不充分也不必要条件 其中不正确的个数为 A. 3 B. 2
2 2
C. 1
D. 0
10.直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 M , N 两点,若 MN ≥ 2 3 ,则实数 k 的取值范围是 A. ? ? , 0?
? 3 ? ? 4 ?
B. ? ??, ? ? ? ? 0, ? ?? 4
? ?
3? ?
C. ? ?
? ?
3 3? , ? 3 3 ?
D. ? ? , 0? )
? 2 ? ? 3 ?
11. 设 a ? b ? c, n ? N ,且 A.1 B.4
1 4 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( a ?b b?c a ?c
C.6 D.9
12.已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? a 的图象与 x 轴只有一个交点,则实数 a 的取值范围是( A. (??, ?1) ? (? , ??)
)
1 9
B. ( ?
5 ,1) 27
C. (??,1)
D. ( ??, ?
5 ) ? (1, ??) 27
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 若复数 z 满足 z ? i ?
2?i ,则复数 z 的模为________ i
.
14. 椭圆
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1 、 F2 的连线的夹角为直角,则 Rt ?PF1F2 的面积为 49 24
15. 若f (n) ? 1 ?
1 1 1 3 5 7 ? ? ??? ? (n ? N ? )经计算f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? 猜想,当 2 3 n 2 2 2
n ? 2 时,有 16.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=—1,an+1=SnSn+1,则 Sn=___________________________
三. 解答题:(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) m2+m-6 2 17.当实数 m 为何值时,复数 z= +(m -2m)i 为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
m
18.当前《奔跑吧兄弟第四季》正在热播,某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第四季》与年龄是否相关,在 某市步行街随机抽取了 110 名成人进行调查,发现 45 岁及以上的被调查对象中有 10 人收看,有 25 人未收看;45 岁以下的被调查对象中有 50 人收看,有 25 人未收看. (1)试根据题设数据完成下列 龄有关;
2
列联表,并说明是否有 99.9%的把握认为收看《奔跑吧兄弟第四季》与年
(2)采取分层抽样的方法从 45 岁及以上的被调查对象中抽取了 7 人.从这 7 人中任意抽取 2 人,求至少有一人收 看《奔跑吧兄弟第四季》的概率.
2 19.已知在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2a2 ? 1, a3 ? 2a2a5 .(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
(2)设 bn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ??? ? log 2 an ,且数列 ?
?1? ? 的前 n 项和 Sn ,证明: Sn ? —2. b n ? ?
20.如图,已知在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC , PC ? BC , M 为 PB 的中点, D 为 AB 的中点, 且 ?AMB 为正三角形. (1)求证: MD ∥平面 PAC ;(2)求证:平面 PBC ? 平面 PAC .
A
F
[来源:学*科网]
M
N
x
来源:学+科网ZXK][ [来源:学*科网] [来源:学科网Z-XK] [来源:学*科网] 21.如图所示,椭圆 C:
B
? x2 y 2 6? ?。 2 , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 F(1,0),且过点 ? 2 ? ? 2 a b ? ?
(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 A、B 为椭圆上的点,且直线 AB 垂直于 x 轴,直线 l : x =4 与 x 轴交于点 N,直线 AF 与 BN 交于点 M。 (ⅰ)求证:点 M 恒在椭圆 C 上; (ⅱ ) 设直线 AM 的方程为 x ? ty ? 1 ,求△AMN 面积的最大值.[来源:Z-xk.Com] 22.已知函数 f ( x ) ?
ln x ? 1 ( e 是自然对数的底数) , h( x) ? 1 ? x ? x ln x . ex
(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 ( 1, f (1) ) 处的切线方程;(2)求 h( x) 的最大值;
?2 (3)设 g ( x) ? xf '( x) ,其中 f '( x) 为 f ( x) 的导函数. 证明:对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e .
3
1 C 13.
2 C
3 A
4 D
n
5 B
6 D
7 B
8 A
9 C
10 A
11 D
12 D
10 ;
2
14.24;15. f (2 ) ?
n?2 1 ;16. ? n 2
?m -2m=0, ? 17. (1)当? ?m≠0, ?
2
即 m=2 时,复数 z 是实数;
(2)当 m -2m≠0,且 m≠0,即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数;
m +m-6 ? ? =0, m (3)当? ? ?m2-2m≠0,
18.
2
即 m=-3 时,复数 z 是纯虚数.
(1)
由列联表中的数据, 得到 跑吧兄弟第四季》与年龄有关.
因此, 有
的把握认为收看 《奔
(2)采取分层抽样的方法抽取的 7 人中有 2 人收看,5 人不收看《奔跑吧兄弟第四季》 ,从中任意抽取 2 人由 21 种不同的取法.记事件 为至少有一人收看《奔跑吧兄弟第四季》 ,基本事件总数为 21,事件 包含的事
件数为
,故
. ????????????2 分
19.解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ,
2 由 a3 ? 2a2 a5 得 (a1q2 )2 ? 2a1q ? a1q4 ,
1 1 ,由 a1 ? 2a2 ? 1 得 a1 ? . 2 2 1 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n . 2
∴q ?
???????????4 分 ???????????6 分
(2) bn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ??? ? log2 an ? ?(1 ? 2 ? ??? ? n) ? ?
n(n ? 1) , ??8 分 2
4
∴
1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ), bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ??? ? ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] ? ? ? —2.???12 分 b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
∴ sn ?
20.解: (1) ∵ M 、D 分别为 PB 、AB 的中点, ∴ MD ∥ PA , ∵ MD ? 平面 PAC ,PA ? 平面 PAC , ∴ MD ∥ 平面 PAC . ????????4 分
(2)连接 DC ,∵ ?AMB 为正三角形, D 为 AB 的中点, ∴ MD ? AB ,∴ PA ? AB ,又 PA ? AC ,
AB ? AC ? A ,∴ PA ? 平面 ABC .
∵ BC ? 平面 ABC ,∴ PA ? BC , ∵ PC ? BC , PC ? PA ? P , ∴ BC ? 平面 PAC , ∵ BC ? 平面 PBC , ∴平面 PBC ? 平面 PAC . 21.(1)解:由题设 c ? 1,
2
??????7 分 ??????9 分
??????10 分
???????12 分
2 3 ? 2 ? 1 ,从而 b 2 ? 3, a 2 ? 4 , b ? 1 2b
所以椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ?1 4 3 m2 n2 ? ? 1. 4 3
????????????3 分
(2)(i)证明:由题意得 F(1,0)、N(4,0). 设 A(m, n) ,则 B(m, ?n)(n ? 0) ,
AF 与 BN 的方程分别为: n( x ? 1) ? (m ? 1) y ? 0,
n( x ? 4) ? (m ? 4) y ? 0 .
设 M ( x0 , y0 ) ,则有 ? 由上得 x0 ?
?n( x0 ? 1) ? (m ? 1) y0 ? 0, [来源:Z-xk.Com] ?n( x0 ? 4) ? (m ? 4) y0 ? 0
????????????6 分
5m ? 8 3n , y0 ? . 2m ? 5 2m ? 5
由于
2 x0 y2 (5m ? 8)2 (3n)2 (5m ? 8)2 ? 12n2 ? 0 ? ? ? 4 3 4(2m ? 5)2 3(2m ? 5)2 4(2m ? 5) 2
(5m ? 8)2 ? 36 ? 9m2 = =1. 4(2m ? 5)2
所以点 M 恒在椭圆 C 上. (ⅱ)解:设 AM 的方程为 x ? ty ? 1 ,代入 ????????????8 分
x2 y 2 ? ? 1, 4 3
5
得 (3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0. 设 A( x1 , y1 ) 、 M ( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y2 ?
?6t ?9 , y1 y2 ? 2 . 2 3t ? 4 3t ? 4
| y1 ? y2 | = ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 =
令 t 2 ? 1 ? ? (? ? 1) ,则
12 ? t 2 ? 1 . ?????????10分 3t 2 ? 4
| y1 ? y2 | =
12? 12 ? 2 3? ? 1 3? ? 1
?
因为函数 y ? 3? ?
1
?
在 [1, ??) 为增函数,
所以当 ? ? 1 即 t ? 0 时,函数 y ? 3? ? 即 t ? 0 时, | y1 ? y2 | 有最大值 3,
1
?
有最小值 4.
1 9 | NF | · | y1 ? y2 | 有最大值 . 2 2 ln x ? 1 1 22. (Ⅰ)由 f ( x ) ? ,得 f (1) ? , x e e 1 ? x ? x ln x f '( x) ? ,所以 k ? f '(1) ? 0 , xe x 1 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? . e
△ AMN 的面积 S△AMN= (2) h( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0, ??) . 所以 h '( x) ? ? ln x ? 2 . 令 h '( x) ? 0 得, x ? e . 因此当 x ? (0, e ) 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 当 x ? (e , ??) 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减. 所以 h( x) 在 x ? e 处取得极大值,也是最大值.
?2 ?2
?????1 分 ?????3 分 ?????4 分
?????5 分
?2
?2
?????7 分[来源:学科网Z-XK]
h( x) 的最大值为 h(e?2 ) ? 1 ? e?2 .
(3)证明:因为 g ( x) ? xf '( x) ,所以 g ( x ) ?
?????8 分
1 ? x ? x ln x , ex
?????9 分
x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 等价于 1 ? x ? x ln x ? e x (1 ? e?2 ) .
?2 ?2
由(2)知 h( x) 的最大值为 h(e ) ? 1 ? e ,故 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e ?2.
6
只需证明 x ? 0 时, e ? 1 成立,这显然成立.
x
?????10 分
所以 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 ? e x (1 ? e?2 ) , 因此对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 . ?????12 分
[来源:学*科网]
7