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新课标高二数学同步测试(2)(21第二章2123)



新课标高二数学同步测试(2)—(2-1 第二章 2.1-2.3)
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题时间 120 分钟. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每 小题 5 分,共 50 分) . 1.在同一坐标系中,方程 a2x2+b2y2=1 与

ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是 ( )

2.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 和双曲线 =1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是 ? ? 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2
( )

A.x=±

15 y 2

B.y=±

15 x 2

C.x=±

3 y 4

D.y=±

3 x 4 1 1 ? p q

3.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则 等于 A.2a B. ( )

1 2a

C.4a

D.

4 a

4.若椭圆

x2 y2 ? ? 1(a?b? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 5:3 两段,则此 a2 b2
( B. )

椭圆的离心率为 A.

16 17

4 17 17

C.

4 5

D.

2 5 5

5.椭圆

x2 y2 =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是 ? 12 3
( )

A.±

3 4

B.±

3 2

C.±

2 2

D.±

3 4

6.设 F1 和 F2 为双曲线

x2 2 ? y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2 的面积是 4
( )

A.1

B.

5 2

C.2

D.

5

7.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别 是椭圆和双曲线的离心率,则有 A. e1e2 ? 2 B. e1 ? e2 ? 4
2 2

( C. e1 ? e2 ? 2 2 D.



1 1 ? 2 ?2 2 e1 e2
( )

8.已知方程

y2 x2 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 | m | ?1 2 ? m

A.m<2 C.m<-1 或 1<m<2

B.1<m<2 D.m<-1 或 1<m<

3 2

9.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 - =1 和椭圆 + =1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以 a、b、m 为边长的三角形是 a2 b2 m2 b2
( ) B.直角三角形 D.锐角或钝角三角形

A.锐角三角形 C.钝角三角形 10. 椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 上有 n 个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为 F. 数列 {|PnF|} 是公差大于 的等差数列, 100 4 3

则 n 的最大值是 ( ) A.198 B.199 C.200 D.201 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 2 11.已知点(-2,3)与抛物线 y =2px(p>0)的焦点的距离是 5,则 p=___ 12 . 设 圆 过 双 曲 线 是

__.

x2 y2 =1 的 一 个 顶 点 和 一 个 焦 点 , 圆 心 在 此 双 曲 线 上 , 则 圆 心 到 双 曲 线 中 心 的 距 离 ? 9 16
. .

x2 y2 13. 双曲线 =1 的两个焦点为 F1、 F2, 点 P 在双曲线上, 若 PF1⊥PF2, 则点 P 到 x 轴的距离为 ? 9 16

14.若 A 点坐标为(1,1) ,F1 是 5x2+9y2=45 椭圆的左焦点,点 P 是椭圆的动点,则|PA|+|P F1|的最小值是_______ ___. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分) . 15.(12 分)已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦 a2 b2

点, 过 F2 作垂直于 x 轴的

直线交双曲线于点 P, 且∠PF1F2=30°. 求双曲线的渐近线方程.

x2 y2 16. (12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 a b



A、 B, 从此椭圆上一点 M

向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

x2 y2 17. (12 分)如图椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的上顶点 a b
为右焦点, 过 F 作平行与 AB 的直线交椭圆于 C、 D两 OCED, E 恰在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若平行四边形 OCED 的面积为 6 , 求椭

y A C B O D F E x

为 A,左顶点为 B, F 点. 作平行四边形

圆方程.

18. (12 分)双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0) a2 b2
4 c.求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

到直线 l 的距离之和 s≥

19. (14 分)如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角 |AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程

为端点的曲线段 C 上 形 , |AM|=

17 ,



20 x2 y2 2 20. (14 分)已知圆 C1 的方程为(x-2) +(y-1) = ,椭圆 C2 的方程为 2 + 2 =1(a>b>0) ,C2 的离心率为 , 3 2 a b
2 2

如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程.

参考答案
x2 y2 a 一、1.D;解析一:将方程 a x +b y =1 与 ax+by =0 转化为标准方程: ? ? 1, y 2 ? ? x .因为 a>b>0,因 1 1 b 2 2 a b
2 2 2 2 2

此,

1 1 ? >0,所以有:椭圆的焦点在 y 轴,抛物线的开口向左,得 D 选项. b a

解析二:将方程 ax+by2=0 中的 y 换成-y,其结果不变,即说明:ax+by2=0 的图形关于 x 轴对称,排除 B、C,又椭 圆的焦点在 y 轴.故选 D. 评述:本题考查椭圆与抛物线的基础知识,即标准方程与图形的基本关系.同时,考查了代数式的恒等变形及简单的 逻辑推理能力. 2. D; 解析: 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上, ∴椭圆焦点 ( 0) ,∴3m2-5n2=2m2+3n2∴m2=8n2 又∵双曲线渐近线为 y=±

3m2 ? 5n 2

, 0) , 双曲线焦点 (

2m2 ? 3n 2



6? | n | 3 ?x∴代入 m2=8n2,|m|=2 2 |n|,得 y=± x. 2|m| 4

3.C;解析:抛物线 y=ax2 的标准式为 x2= 取特殊情况,即直线 PQ 平行 x 轴,则 p=q. 如图,∵PF=PM,∴p= 4.D;

1 1 y,∴焦点 F(0, ). a 4a

1 1 1 1 1 2 ,故 ? ? ? ? ? 4a . 2a p q p p p


x2 y2 5.A;解析:由条件可得 F1(-3,0) ,PF1 的中点在 y 轴上,∴P 坐标(3,y0) ,又 P 在 =1 的椭圆上得 ? 12 3
y0=±

3 3 ,∴M 的坐标(0,± ) ,故选 A. 2 4

评述:本题考查了椭圆的标准方程及几何性质,中点坐标公式以及运算能力. 6.A;解法一:由双曲线方程知|F1F2|=2

5 ,且双曲线是对称图形,假设 P(x,

x2 ,由已知 F1P⊥F2 P, ?1 ) 4

x2 x2 ?1 ?1 24 1 4 4 有 ? ? ?1 ,即 x 2 ? ,S ? ?2 5? 5 2 x? 5 x? 5

x2 ? 1 ? 1,因此选 A. 4

评述:本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 7.D; 8.D; 9.B; 10.C; 二、 11.4;解析:∵抛物线 y2=2px(p>0)的焦点坐标是( p=4. 12.

p p 2 2 ,0) ,由两点间距离公式,得 ( ? 2) ? 3 =5.解得 2 2

16 16 ? 7 c?a 5?3 x2 y2 ? ; 解析: 如图 8—15 所示, 设圆心 P (x0, y0) , 则|x0|= =4, 代入 =1, 得 y02= , ? 2 2 3 9 9 16 x0 ? y 0 ?
2 2

∴|OP|=

16 . 3

评述:本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想. 13.
2

16 ;解析:设|PF1|=M,|PF2|=n(m>n) ,a=3、b=4、c=5,∴m-n=6 m2+n2=4c2,m2+n2-(m-n) 5 16 . 5

=m2+n2-(m2+n2-2mn)=2mn=4?25-36=64,mn=32.

又利用等面积法可得:2c?y=mn,∴y=

14. 6 ? 三、

2;

b2 c 2 y0 15.解: (1)设 F2(c,0) (c>0) ,P(c,y0) ,则 2 ? 2 =1.解得 y0=± , a a b
∴|PF2|=

2

b2 ,在直角三角形 PF2F1 中,∠PF1F2=30° a

解法一:|F1F2|=

3 |PF2|,即 2c= 3

b2 ,将 c2=a2+b2 代入,解得 b2=2a2 a

解法二:|PF1|=2|PF2|,由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=2a.

b b2 b2 ∵|PF2|= ,∴2a= ,即 b2=2a2,∴ ? 2 a a a

故所求双曲线的渐近线方程为 y=±

2 x.

16.解: (1)∵ F1 (?c,0),则x M ? ?c, y M ? ∵ k AB

(2)设

b2 b2 ,∴ k OM ? ? . a ac b b2 b 2 ? ? , OM与 AB 是共线向量,∴ ? . ? ? ,∴b=c,故 e ? a ac a 2 F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,
? r1 ? r2 ? 2a, F1F2 ? 2c,

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r1 ? r2 2 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( ) 2 ? 当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0, ] . 2 cos ? ?
说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何中与平行线、三点共 线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题.求解此类问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平 行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解析几何问题. 17.解:(Ⅰ) ∵焦点为 F(c, 0), AB 斜率为

b b , 故 CD 方程为 y= (x-c). 于椭圆联立后消去 y 得 2x2-2cx-b2=0. ∵ a a

CD 的中点为 G(

c bc bc bc c 2 ,? ), 点 E(c, - )在椭圆上, ∴将 E(c, - )代入椭圆方程并整理得 2c2=a2, ∴e = ? . 2 2a a a a 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD 的方程为 y=

2 (x-c), b=c, a= 2 c. 与椭圆联立消去 y 得 2x2-2cx-c2=0. 2

∵平行四边形 OCED 的面积为 S=c|yC-yD|=

6 2 2 2 2 2 2 c (xC ? x D) ? 4 xC x D = c c ? 2c ? c ? 6, 2 2 2
x2 y2 ? ?1 4 2

∴c= 2 , a=2, b= 2 . 故椭圆方程为

18.解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 = 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 =

b(a ? 1) a2 ? b2



b(a ? 1)
2 2

a ?b 4 2ab 4 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c 2 ? a 2 ≥2c2. 5 5 c

.s= d1 +d2=

ab a ?b
2 2

=

2ab . c

于是得 5 e 2 ? 1 ≥2e2.即 4e2-25e+25≤0.解不等式,得 由于 e>1>0,所以 e 的取值范围是

5 ≤e2≤5. 4

5 ?e? 5. 2

19.解法一:如图建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标原点. 依题意知:曲线段 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为,y2=2px(p>0) , (xA≤x≤xB,y>0) 其中 xA、xB 分别为 A、B 的横坐标,p=|MN|.所以 M( ?

p p ,0) ,N( ,0) 2 2

由|AM|= (xA+

17 ,|AN|=3 得:


p 2 ) +2pxA=17 2



(xA ?

p 2 ) +2pxA=9 2



由①②两式联立解得 xA=

?p ? 4 ?p ? 2 4 ,再将其代入①式并由 p>0,解得 ? 或? p ?xA ? 1 ?x A ? 2 ?p ? 2 p >xA,故舍去 ? 2 ?xA ? 2

因为△AMN 是锐角三角形,所以

所以 p=4,xA=1.由点 B 在曲线段 C 上,得 xB=|BN| ?

p =4. 2

综上得曲线段 C 的方程为 y2=8x(1≤x≤4,y>0) . 解法二:如图建立坐标系,分别以 l1、l2 为 x、y 轴,M 为坐标原点.作 AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为 E、 D、F.设 A(xA,yA) 、B(xB,yB) 、N(xN,0) 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,yA=|DM|= 由于△AMN 为锐角三角形,故有 xN=|ME|+|EN|=|ME|+

| AM |2 ? | DA |2 ? 2 2

| AN | 2 ? | AE | 2 =4,xB=|BF|=|BN|=6.

设点 P(x,y)是曲线段 C 上任一点,则由题意知 P 属于集合 { (x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0} 故曲线段 C 的方程为 y2=8(x-2) (3≤x≤6,y>0) . 评述:本题考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想,考查了抛物线的概念和性质、 曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力. 20.由 e=

c 2 2 ,得 = ,a2=2c2,b2=c2. a 2 2

设椭圆方程为

x2 y 2 + =1.又设 A(x1,y1),B(x2,y2).由圆心为(2,1),得 x1+x2=4,y1+y2=2. 2b 2 b 2

2 2 2 2 x12 y12 x2 y2 x12 ? x 2 y12 ? y 2 又 2 + 2 =1, 2 + 2 =1,两式相减,得 + =0. 2b 2 2b b 2b b b2



y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 ? ?1 x1 ? x2 2( y1 ? y 2 )

∴直线 AB 的方程为 y-1= -(x-2),即 y= -x+3. 将 y= -x+3 代入

x2 y 2 + =1,得 3x2-12x+18-2b2=0 2b 2 b 2

又直线 AB 与椭圆 C2 相交,∴Δ =24b2-72>0. 由|AB|= 2 |x1-x2|= 2

2 20 20 24b 2 ? 72 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = ,得 2 ? = . 3 3 3
2

解得 b2=8,故所求椭圆方程为

x2 y2 + =1. 16 8



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