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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题4 数列 第1讲 等差数列与等比数列 文



第1讲

等差数列与等比数列

等差、等比数列的基本运算 1.(2015 新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和.若 S8=4S4, 则 a10 等于( B ) (A) (B) (C)10 (D)12

解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由题设知 d=1,S8=4S4, 所以 8a1+28=4(4a1+6), 解得 a1= ,

所以 a10= +9= ,选 B.

2.(2015 辽宁省锦州市质量检测(一))已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2 +3a8=0,数 列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b2b8b11 等于( (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:因为 a4-2 +3a8=0, 所以 a1+3d-2 +3(a1+7d)=0, 所以 4(a1+6d)-2 =0, 即 4a7-2 =0, 又 a7≠0, 所以 a7=2,所以 b7=2, 所以 b2b8b11=b1q·b1q ·b1q =(b1q ) = =8. 故选 D. 3.(2015 河南郑州第二次质量预测 ) 设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 27a3-a6=0, 则 = .
7 10 6 3

D )

解析:设等比数列公比为 q(q≠1),

1

因为 27a3-a6=0, 3 所以 27a3-a3q =0, 3 所以 q =27,q=3, 所以 = 答案:28 等差、等比数列的性质及应用 4.(2015 河南省六市第二次联考)已知数列{an}为等比数列,若 a4+a6=10,则 a7(a1+2a3)+a3a9 的 值为( C ) (A)10 (B)20 (C)100 (D)200 解析:a7(a1+2a3)+a3a9 =a1a7+2a3a7+a3a9 = +2a4a6+ =(a4+a6) =10 =100. 故选 C. 5.设等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9 等于( A (A) (B)(C) (D)
2 2

=

=

=28.

)

解析:因为 a7+a8+a9=S9-S6,在等比数列中 S3,S6-S3,S9-S6 也成等比数列,即 8,-1,S9-S6 成等比数 列,所以有 8(S9-S6)=1,即 S9-S6= .故选 A.

6.(2015 新课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2 等于( C

)

(A)2

(B)1

(C) (D)

解析:法一 根据等比数列的性质,结合已知条件求出 a4,q 后求解. 因为 a3a5= ,a3a5=4(a4-1), 所以 =4(a4-1), 所以 -4a4+4=0, 所以 a4=2. 又因为 q = = =8, 所以 q=2,
3

2

所以 a2=a1q= ×2= . 故选 C. 法二 直接利用等比数列的通项公式,结合已知条件求出 q 后求解. 因为 a3a5=4(a4-1), 2 4 3 所以 a1q ·a1q =4(a1q -1), 将 a1= 代入上式并整理, 得 q -16q +64=0, 解得 q=2, 所以 a2=a1q= . 故选 C. 7.(2015 哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学第一次联合模拟)设 Sn 是公差不为零的 等差数列{an}的前 n 项和,且 a1>0,若 S5=S9,则当 Sn 最大时,n 等于( B ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:依题意得 S9-S5=a6+a7+a8+a9=0, 所以 2(a7+a8)=0, 所以 a7+a8=0, 又 a1>0, 所以该等差数列的前 7 项为正数,从第 8 项开始为负数. 所以当 Sn 最大时,n=7. 故选 B. 8.(2015 东 北 三 校 第 一 次 联 合 模 拟 ) 若 等 差 数 列 {an} 中 , 满 足 a4+a6+a2010+a2012=8, 则 S2015= . 解析:因为 a4+a6+a2010+a2012=8, 所以 2(a4+a2012)=8, 所以 a4+a2012=4. 所以 S2015= =4030. 答案:4030 等差、等比数列的综合问题 9.(2015 甘肃二诊)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S17>0,S18<0,则 , ,…, 的项为( (A) C ) (B) (C) (D) 中最大 =
6 3

3

解析:因为 S17=

=17a9>0,

S18=

=9(a10+a9)<0,

所以 a9>0,a10+a9<0, 所以 a10<0. 所以等差数列为递减数列, 则 a1,a2,…,a9 为正,a10,a11,…为负,S1,S2,…,S17 为正,S18,S19,…为负, 所以 >0, >0,…, >0, <0, <0,…, <0,

又 S1<S2<…<S9,a1>a2>…>a9, 所以 , ,…, 中最大的项为 .

故选 C. 10.(2015 河北沧州 4 月质检)等差数列{an}中,a1=10,公差 d=-2,记Ⅱn=a1×a2×…×an(即Ⅱn 表示数列{an}的前 n 项之积),则数列{Ⅱn}中的最大项是( A ) (A)Ⅱ5 (B)Ⅱ6 (C)Ⅱ5 或Ⅱ6 (D)Ⅱ4 解析 :在等差数列 {an} 中 ,a2=8,a3=6,a4=4,a5=2,a6=0,… , 故数列{ Ⅱ n}中的最大项是Ⅱ 5. 故选 A. 11.(2015 兰州高三诊断)在等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)因为{an}为等比数列,所以 =q =8; 所以 q=2. n-1 n 所以 an=2·2 =2 . 3 5 (2)b3=a3=2 =8,b5=a5=2 =32, 又因为{bn}为等差数列,所以 b5-b3=24=2d, 所以 d=12,b1=a3-2d=-16, 所以 Sn=-16n+ ×12=6n -22n.
2 3

一、选择题 1.(2015 云南第二次检测)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1∶a2=1∶2,则 S1∶S3 等于 ( D )

4

(A)1∶3 (B)1∶4 (C)1∶5 (D)1∶6 解析:S1∶S3=a1∶(a1+a2+a3)=a1∶3a2, 又 a1∶a2=1∶2, 所以 S1∶S3=1∶6. 故选 D. 2.(2015 银川九中月考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn 等于( B (A)2
n-1

)

(B)( )

n-1

(C)( )

n-1

(D)

解析:由 Sn=2an+1 得 Sn=2(Sn+1-Sn), 所以 Sn+1= Sn.

所以{Sn}是以 S1=a1=1 为首项, 为公比的等比数列.

所以 Sn=( ) . 故选 B. 3.(2015 河北石家庄二模)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+5a1,a7=2,则 a5 等于 ( A ) (A) (B)(C)2 (D)-2

n-1

解析:设公比为 q, 因为 S3=a2+5a1, 所以 a1+a2+a3=a2+5a1, 所以 a3=4a1, 所以 q = =4, 又 a7=2, 所以 a5= = = . 故选 A. 4.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 等于( (A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7 解析:法一 利用等比数列的通项公式求解. 由题意得
2

D )

5

所以


9

所以 a1+a10=a1(1+q )=-7. 法二 利用等比数列的性质求解. 由

解得



所以


9

所以 a1+a10=a1(1+q )=-7. 故选 D. 5.(2015 兰州高三诊断)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=18-a5,则 S8 等于( D ) (A)18 (B)36 (C)54 (D)72 解析:因为 a4=18-a5, 所以 a4+a5=18, 所以 S8= = = =72.

故选 D. n 6.(2014 郑州市第二次质量预测)在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),前 n 项和为 Sn=3 +k, 则实数 k 为( A ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由 an+1=can, 可知{an}是等比数列,设公比为 q, 由 Sn= 由 Sn=3 +k, 知 k=-1. 故选 A. 7.设{an}是公差不为零的等差数列,满足 + = + ,则该数列的前 10 项和等于( C )
n

得 Sn=-

q+

n

,

(A)-10 (B)-5 (C)0 (D)5 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d(d≠0), 由 + =
2

+

得,
2 2 2

(a1+3d) +(a1+4d) =(a1+5d) +(a1+6d) , 整理得 2a1+9d=0, 即 a1+a10=0,

6

所以 S10=

=0.

故选 C. 8.(2015 北京卷)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( C ) (A)若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 (B)若 a1+a3<0,则 a1+a2<0 (C)若 0<a1<a2,则 a2> (D)若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 解析:因为{an}为等差数列, 所以 2a2=a1+a3. 当 a2>a1>0 时,得公差 d>0, 所以 a3>0, 所以 a1+a3>2 所以 2a2>2 即 a2> , ,故选 C. ,

9.(2015 大连市二模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S10=110,则 ( C ) (A)7 (B) (C) (D)8

的最小值为

解析:设等差数列{an}的公差为 d, 则

解得 所以 an=2+2(n-1)=2n, Sn=2n+ ×2=n +n,
2

所以

=

= + +

7

≥2

+

= .

当且仅当 = , 即 n=8 时取等号. 故选 C. 10.设数列{an},则有(
n *

C )

(A)若 =4 ,n∈N ,则{an}为等比数列 (B)若 an·an+2=
m+n

,n∈N ,则{an}为等比数列
*

*

(C)若 am·an=2 ,n∈N ,则{an}为等比数列 * (D)若 an·an+3=an+1·an+2,n∈N ,则{an}为等比数列 解析:A.若 a1=-2,a2=4,a3=8,满足 =4 ,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 A 错; B.若 an=0,满足 an·an+2=
m+n * n *

,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 B 错;

*

C.若 am·an=2 ,m,n∈N ,则有

=

=

=2.

所以{an}是等比数列,故 C 正确; * D.若 an=0,满足 an·an+3=an+1·an+2,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 D 错. 二、填空题 11.(2015 黑龙江高三模拟)等差数列{an}中,a4+a8+a12=6,则 a9- a11= 解析:设等差数列{an}公差为 d, 因为 a4+a8+a12=6, 所以 3a8=6, 即 a8=a1+7d=2, 所以 a9- a11=a1+8d- (a1+10d) .

= a1+ d

= (a1+7d)

8

= ×2

= .

答案:

12.(2015 宁夏石嘴山高三联考)若正项数列{an}满足 a2= ,a6= ,且 log2a4= 解析:因为 = . (n≥2,n∈N ),
*

=

(n≥2,n∈N ),则

*

所以 =an-1·an+1, 所以数列{an}为等比数列. 又 a2= ,a6= ,

所以 q = = . 因为数列为正项数列, 所以 q>0, 所以 q= .

4

所以 a4=a2q = × = ,

2

所以 log2a4=log2 =-3. 答案:-3 13.(2015 安 徽 卷 ) 已 知 数 列 {an} 中 ,a1=1,an=an-1+ (n ≥ 2), 则 数 列 {an} 的 前 9 项 和 等 于 .

解析:因为 a1=1,an=an-1+ (n≥2),

9

所以数列{an}是首项为 1、公差为 的等差数列,

所以前 9 项和 S9=9+

× =27.

答案:27 14.(2015 湖南卷)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则 an= . 解析:设等比数列{an}的公比为 q(q≠0), 2 2 依题意得 a2=a1·q=q,a3=a1q =q , 2 S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q . 又 3S1,2S2,S3 成等差数列, 所以 4S2=3S1+S3, 2 即 4(1+q)=3+1+q+q , 所以 q=3(q=0 舍去). n-1 n-1 所以 an=a1q =3 . n-1 答案:3

10



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