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2015高考函数的性质专题复习



函数的性质专题复习一
一、函数性质的综合应用(奇偶性、单调性、周期性、不等式) 1、设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x ,当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则 f (

23? )? 6

______

1 2

解析:法一: f (

23? 17? 17? 11? 11? 1 5? 5? 1 )? f( ) ? sin ? f ( ) ? sin ? ? f ( ) ? sin ? 6 6 6 6 6 2 6 6 2

法二: f ( x ? 3? ) ? f ( x ? 2? ) ? sin(x ? 2? ) ? f ( x ? ? ) ? sin(x ? ? ) ? sin(x ? 2? ) ? f ( x) ? sin x

f(

23? 5? 5? 1 ) ? f ( ) ? sin ? 6 6 6 2

2、若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? a 的最小值为 3 ,则实数 a 的值为______ a ? ?4 或 8 【解析】若 a ? 2 ,则当 ?

a a ? x ? ?1 时,由 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a ? x ? a ? 1 ? ? 1 ? 3 2 2
a 时 , 由 2

可 得 a ? 8 符 合 要 求 ; 若 a ? 2 , 则 当 ?1 ? x ? ?

f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a ? 1 ? a ? x ? 1 ?
8。
2 x 3、已知函数 f ( x) ? x ? e ?

a ? 3 可得 a ? ?4 符合要求; a ? ?4 或 综上所述, 2

1 ( x ? 0) 与 g ( x) ? x 2 ? ln(x ? a) 的图象上存在关于 y 轴 2

对称的点,则 a 的取值范围是______
2 【 解 析 】 由 题 可 得 存 在 x0 ? ? ??, 0 ? 满 足 x0 ? e x0 ?

1 2 ? ? ? x0 ? ? ln ? ? x0 ? a ? 2 1 1 ? e x0 ? ln ? ? x0 ? a ? ? ? 0 ,当 x0 趋近于负无穷小时, e x0 ? ln ? ? x0 ? a ? ? 趋近于 2 2 1 ?? , 因 为 函 数 y ? e x ? ln ? ? x ? a ? ? 在 定 义 域 内 是 单 调 递 增 , 所 以 2 ln a ? ln e ? a ? e

4、已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 1 g ?x ? ? kx .若方程 f , 数 k 的取值范围是_______( , 1)

?x ? ? g ?x ? 有两个不相等的实根,则实

1 2

解析:画出 f ? x ? 的图象最低点是 ? 2,1? , g ? x ? ? kx 过原点和 ? 2,1? 时斜率最小为 斜率最大时 g ? x ? 的斜率与 f ? x ? ? x ?1的斜率一致。

1 , 2

1

函数的性质专题复习一
5、已知函数 f ( x ) = ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围 为_______ a ? ?2 【解析】 :由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 当 a ? 0 时, x ? ? ??,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0,

2 , a

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x ) 有小于零的零点,不符合题意。当 a ? 0 时,

2? ? ?2 ? x ? ? ??, ? , f ?( x) ? 0; x ? ? ,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 要使 f ( x) 有唯 a? ? ?a ?
2 一的零点 x0 且 x0 >0,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 , a ? ?2

2 a

2 6、设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的 m 2

取值范围是( A. C.

) B.

? ??, ?6? ?6, ?? ? ??, ?2? ? 2, ??
f ( x) ? 3 sin

? ??, ?4? ? 4, ?? ? 4, ??

D. ? ??, ?1?

解析:

πx |m| 的极值为 ? 3,即[ f ( x0 )]2 ? 3,|x0 | ? , m 2

? x0 2 ? [ f ( x0 )]2 ?

m2 m2 ? 3, ? 3 ? m2 , 解得 | m |? 2.故选C. 4 4

7、已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减, f ? 2 ? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围 是__________. (-1 , 3) . 解析: 偶函数y ? f ( x)在[0, ??)上单减,且f (2) ? 0 ; f ( x) ? 0的解集为 | x | ?2.

f ( x-1) ? 0的解集为 | x-1| ?2,解得x ? (-1, 3) . 故解集为 | x-1| ?2,解得x ? (-1, 3) .
8 、 已 知 函 数

f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ?

1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) ,若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取 2
) B. [?

值范围为( A. [? , ]

1 1 6 6

6 6 , ] 6 6

C.

1 1 [? , ] 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

2

函数的性质专题复习一
? x ? 3a 2 , x ? 2a 2 ? 2 2 2 【解析】 依题意,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? a , a ? x ? 2a ,作图可知, f ( x ) 的最小值 ?? x,0 ? x ? a 2 ?
为 ? a ,因为函数 f ( x ) 为奇函数,所以当 x ? 0 时 f ( x ) 的最大值为 a ,因为对任意实
2
2

数 x 都有, f ( x ? 1) ? f ( x) ,所以, 4a 2 ? (?2a 2 ) ? 1,解得 ?

6 6 , ?a? 6 6

故实数 a 的取值范围是 [?

6 6 , ]. 6 6

?( x ? a) 2 , x ? 0, ? f ( x) ? ? 1 ? x ? ? a, x ? 0. x ? 9、 设 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为(
(A) [?1 , 2] . (B) [?1 , 0] . (C) [1 , 2] . (D) [0 , 2] .



【解析】 :先分析 x ? 0 的情况,是一个对称轴为

x ? a 的二次函数,当 a ? 0 时,

, 不 符 合 题 意 , 排 除 AB 选 项 ; 当 a ? 0 时 , 根 据 图 像 f ( x)m i n ? f ( a)? f (0)

f ( x)min ? f (0) ,即 a ? 0 符合题意,排除 C 选项;∴选 D;
10、设函数 f ( x ) ? ? 【答案】 (﹣∞,
2 ? ? x ? x( x ? 0) ,若 f ( f (a)) ? 2 ,则实数 a 的取值范围是______. 2 ? x ( x ? 0) ? ?

] ,它的图象如图所示:由 f(f(a) )≤2,可得 f
2

【解析】∵ 函数 f(x)=

(a)≥﹣2.由 f(x)=﹣2,可得﹣x =﹣2,即 x= 实数 a 的取值范围是 a≤ ,

,故当 f(f(a) )≤2 时,则

11 、 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 , 当 x ? [?1,1) 时 ,

3

函数的性质专题复习一
??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 3 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? 2 0 ? x ? 1, ? x,
。1

12、 已知函数 f ( x) ?| x2 ? 3x | ,x ? R .若方程 f ( x) ? a | x ? 1|? 0 恰有 4 个互异的实数根, 则实数 a 的取值范围为_____________. 0 < a < 1 或 a > 9 . 【解析】在同一坐标系内分别作出 y=f(x)与 y=a|x-1|的图像如图所示.当 y=a|x-1|
? ?-ax+a=-x -3x, 2 与 y=f(x)的图像相切时,由? 整理得 x +(3-a)x+a=0,则 ? ?a>0,
2

Δ =(3-a) -4a=a -10a+9=0,解得 a=1 或 a=9.故当 y=a|x-1|与 y=f(x) 的图像有四个交点时,0<a<1 或 a>9.

2

2

13、已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1,若对于任意 x ? [m, m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,则实数
2

m 的取值范围是

. (?

2 ,0 ) 2

【解析】 二次函数开口向上, 在区间 [ m, m ? 1] 上始终满足 f ( x) ? 0 , 只需 ?

? f (m) ? 0 ? f (m ? 1) ? 0

? 2 2 ? ? m ? 2 2 ? ? ? ?m ? m ? 1 ? 0 2 ,则 m ? (? 2 ,0) 即可, ? ,解得 ? 2 2 2 ? ?(m ? 1) ? m(m ? 1) ? 1 ? 0 ?? 3 ? m ? 0 ? ? 2
2 14 、已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x[0,3) 时, f ( x ) ?| x ? 2 x ?

1 | 2

y ? f ( x) ? a 在 区间 [?3,4] 上有 10 个零 点( 互不相 同) ,则实 数 a 的取 值范 围
是 . ( 0, )

1 2

【解析】根据题目条件,零点问题即转化为数形结合,通过找 y ? f ( x) 与 y ? a 的图象交

4

函数的性质专题复习一
2 点去推出零点, 先画出[0,3]上 y ? x ? 2 x ?

1 的图像, 再将 x 轴下方的图象对称到上方, 2

利用周期为 3,将图象平移至 [?3,4] ,发现若 f ( x) 图象要与 y ? a 有 10 个不同的交点, 则 a ? (0, ) 15、若 f ( x) ? x ? x
2 3 ? 1 2

1 2

,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是
2 3 ? 1 2

. (0,1)

【解析】 : f ( x) ? 0 ? x ? x

,结合幂函数图像,如下图,可得 x 的取值范围是 (0,1)

二、新题型 16、已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ;②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |? 若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为( B A. )

1 | x ? y |. 2

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

【解析】依题意,定义在[0,1]上的函数 y=f(x)的斜率|k|< ,不妨令 k>0,构造函 数 f(x)= (0<k< ) ,满足 f(0)=f(1)=0,|f(x)﹣f(y)|< |x﹣

y|.当 x∈[0, ],且 y∈[0, ]时,|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k| ﹣ 0|=k× < ;当 x∈[0, ],且 y∈[ ,1],|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣(k﹣ky)|=|k (x+y)﹣k|≤|k(1+ )﹣k|= < ;当 y∈[0, ],且 y∈[ ,1]时,同理可得, |f(x)﹣f(y)|< ;当 x∈[ ,1],且 y∈[ ,1]时,|f(x)﹣f(y)|=|(k﹣ kx)﹣(k﹣ky)|=k|x﹣y|≤k×(1﹣ )= < ;综上所述,对所有 x,y∈[0,1], |f(x)﹣f(y)|< ,∵对所有 x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<k 恒成立,∴k ≥ ,即 k 的最小值为 .

5

函数的性质专题复习一
17、若函数 f ? x ? , g ? x ? 满足

? f ? x ? g ? x ? dx ? 0 ,则称 f ? x ? ,g ? x ? 为区间[-1,1] 上
1 ?1

的一组正交函数,给出三组函数:

f ( x) ? sin


1 1 x, g ( x) ? cos x ,g( ) x ?x 1 ? 2 2 ;② f (x) ?x ?1

) ;③ f (x) ?x,g( x

? x

2

其中为区间 [ ?1,1] 的正交函数的组数是( C ) A.0 B.1 C.2 D.3

18、 设函数 f1 ( x) ? x2 ,f2 ( x) ? ( 2 x ? x2 ) ,f3 ( x) ?

99 , 记 I k ?|f k a ( )1 ? fk ( a) | 0| ? f (a ) k
3,则 A. I1 ? I 2 ? I3 【解析】由 故 ( B

2

f (? a ) |k

1

i 1 i ?0, ai ? | sin 2? x | , , ..., 1, 2, 99 3 k ? 1, ... ? | f k (a99 ) ? f k (a98 ) | , 2, ?
D. I3 ? I 2 ? I1

) C. I1 ? I3 ? I 2 , = =1,由 ,故 <1, + = ,故 I2<I1<I3,故选:B.

B. I 2 ? I1 ? I3

19、已知函数 y ? f ( x)( x ? R) ,对函数 y ? g ? x ?? x ? I ? ,定义 g ? x ? 关于 f ? x ? 的“对称 函 数 ” 为 函 数 y ? h ? x ?? x ? I ? , y ? h ? x ? 满 足 : 对 任 意 x ? I , 两 个 点

? x, h ? x ?? , ? x, g ? x ?? 关 于 点 ? x, f? ?x?
f

对 称 , 若 h ? x? 是 g ? x ? ?

4 ? x2 关 于

? x? ? 3

, 且 h ? x? ? g ? x? 恒 成 立 , 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 x ? 的 b “对称函数” 。 b ? 2 10

【解析】根据图像分析得,当 f ( x) ? 3x ? b 与 g ( x) ? 4 ? x2 在第二象限相切时,

6

函数的性质专题复习一
b ? 2 10 ,由 h( x) ? g ( x) 恒成立得 b ? 2 10 .
20、以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组成的集合: 对于函数 ? ( x) , 存在一个正数 M , 使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] 。 例如, 当 ?1 ( x) ? x 3 , ? 2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ? 2 ( x) ? B 。现有如下命题: ①设函数 f ( x) 的定义域为 D ,则“ f ( x) ? A ”的充要条件是“ ?b ? R , ?a ? D , ;②函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x) 有最大值和最小值;③若函数 f ( x) , f (a) ? b ”

g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ;④若函数

f ( x) ? a ln( x ? 2) ?
其中的真命题有

x ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
2

。 (写出所有真命题的序号) 【答案】①③④

21 、设 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 上的函数,且 f ?x ? ? 0 ,对任意 a ? 0, b ? 0 ,若经过点

?a, f ?a??, ?b, f ?b?? 的直线与 x 轴的交点为 ?c,0? ,则称 c 为 a, b 关于函数 f ?x ? 的平均数,
记为 M f (a, b) , 例如, 当 f ?x ? ? 1( x ? 0) 时, 可得 M f (a, b) ? c ? 为 a , b 的算术平均数.

a?b , 即 M f (a, b) 2

x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几何平均数; (1)当 f ?x ? ? _____(

x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 (2)当 f ?x ? ? _____(
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 【答案】 (1) x (2) x 【解析】 : ( 1 )设 f (x) ?

2ab ; a?b

(x>0) ,则经过点 (a, a ) 、 (b, ? b ) 的直线方程为 x,

y? a ? b? a ,令 y=0,求得 x ? c ? ab ,∴当 f (x) ? x , (x>0)时, ? x?a b?a
(b,?b) b 的几何平均数 ab (2) 设 f ( x) ? x( x ? 0) , 则经过点 ( a, a ) , M f (a, b) 为 a,
的直线方程为

y ?a ?b?a 2ab ? , 令 y?0 , 所 以 c? x? , 所 以 当 x?a b?a a?b 2ab f ?x ? ? x( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 a?b

7

函数的性质专题复习一
三、函数综合解答题 22、设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M ,

g ( x) ? 4 的解集为 N .
(1)求 M ; (2)当 x ? M (Ⅰ) f ( x) ? ?

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4

?3x ? 3, x ?[1, ??) 4 当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 3x ? 3 ? 1 得 x ? ,故 3 ?1 ? x , x ? (??,1)

4 ;当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 1 ? x ? 1 得 x ? 0 ,故 0 ? x ? 1 ;所以 f ( x) ? 1 的解 3 4 集为 M ? {x | 0 ? x ? } . 3 1 2 1 3 2 ( Ⅱ ) 由 g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ? 4 得 16( x ? ) ? 4, 解 得 ? ? x ? , 因 此 4 4 4 1 3 3 N ? {x | ? ? x ? } ,故 M N ? {x | 0 ? x ? } . 4 4 4 1? x ?
当 x?M

N 时, f ( x) ? 1 ? x ,于是 x2 f ( x) ? x ?[ f ( x)]2 ? xf ( x)[ x ? f ( x)]
1 1 1 ? ( x ? )2 ? 4 2 4

? x ? f ( x) ? x(1 ? x) ?
23 、已知函数

f ( x) ? ae2 x ? be?2 x ? cx(a, b, c ? R) 的导函数 f '( x ) 为偶函数,且曲线

y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线的斜率为 4 ? c .
(1)确定 a , b 的值;(2)若 c (3)若

? 3 ,判断 f ( x) 的单调性;

f ( x) 有极值,求 c 的取值范围.
f '( x) ? 2ae2 x ? 2be?2 x ? c ,由 f '(? x) ? f '( x) 恒成立知:


解: (1)

2ae2 x ? 2be?2 x ? c ? 2ae?2 x ? 2be2 x ? c ? (2a ? 2b)e4 x ? (2b ? 2a) ? 0 ,
a?b
另外 f '(0) ? 2a ? 2b ? c ? 4 ? c ? a ? b ? 2 联立解出 a ? b ? 1

(2)此时

f '( x) ? 2e2 x ? 2e?2 x ? 3 ? 2(ex ? e? x )2 ? 1 ? 0 ,故 f ( x) 单调递增。
f '( x) ? 2e2 x ? 2e?2 x ? c ? 0 有非最值解,设 t ? e2 x ? 0 ,则等价于方程

( 3)等价于

2t ?

2 2 ? c 在 t ? 0 时有非最值解,由双钩函数知: 2t ? ? [4, ??) 所以 c ? 4 ,故 c 的 t t

8

函数的性质专题复习一
取值范围为 (4, ??) 24、设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
2 2

,其中 k ? ?2 ,

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D (用区间表示) ; (2)讨论函数 f ( x) 在 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示) 。 【解析】(1)可知 ( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0 ,

?[( x2 ? 2x ? k ) ? 3] ?[( x2 ? 2x ? k ) ?1] ? 0 , ? x 2 ? 2 x ? k ? ?3 或 x 2 ? 2 x ? k ? 1 , ?( x ? 1)2 ? ?2 ? k (?2 ? k ? 0) 或 ( x ? 1)2 ? 2 ? k (2 ? k ? 0) ,
? | x ? 1|? ?2 ? k 或 | x ?1|? 2 ? k ,

??1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k , 所以函数 f ( x ) 的定义域 D 为
(??, ?1 ? 2 ? k )
(2) f '( x) ? ?

(?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k )
3

(?1 ? 2 ? k , ? ?) ;

2( x 2 ? 2 x ? k )(2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2) 2 ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3 ( x 2 ? 2 x ? k ? 1)(2 x ? 2) ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x ? 2 x ? k ) ? 3
2 2 2 3

??



由 f '( x) ? 0 得 ( x ? 2x ? k ? 1)(2 x ? 2) ? 0 , 即 ( x ? 1 ? k )( x ? 1 ? k )( x ? 1) ? 0 ,
2

? x ? ?1 ? ?k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?k ,结合定义域知 x ? ?1 ? 2 ? k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?2 ? k , 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1 ? 2 ? k ) , (?1, ?1 ? ?2 ? k ) ,
同理递减区间为 (?1 ? ?2 ? k , ? 1) , (?1 ? 2 ? k , ? ?) ; (3)由 f ( x) ? f (1) 得 ( x ? 2x ? k ) ? 2( x ? 2x ? k ) ? 3 ? (3 ? k ) ? 2(3 ? k ) ? 3 ,
2 2 2 2

?[( x2 ? 2x ? k )2 ? (3 ? k )2 ] ? 2[( x2 ? 2x ? k ) ? (3 ? k )] ? 0 , ?( x2 ? 2x ? 2k ? 5) ? ( x2 ? 2x ? 3) ? 0 ,
?( x ?1 ? ?2k ? 4)( x ?1 ? ?2k ? 4) ? ( x ? 3)( x ?1) ? 0 ,

? x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?3 或 x ? 1 , k ? ?6 ,?1? (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , ?3 ? (?1 ? ?2 ? k , ?1) , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k , 结合函数 f ( x ) 的单调性知 f ( x) ? f (1) 的解集为
(?1 ? ?2k ? 4, ?1 ? 2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4) (?1 ? ?2 ? k , ? 3) (1, ?1 ? ?2 ? k )

9



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