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2.5.2等比数列前n项和的性质






等比数列的前n项和的性质

复习回顾 引入新课
1、等比数列前n项和公式: q ?1 , ?na1 ?na1 ? S n ? ? a1 ? a1 q n 或 S n ? ? a1 ? a n q ? q ? 1。 ? 1-q ? 1-q ? ? 2、数学思想:整体代入法 。 3、两个求和方法: (1)拆项分组求和法; (2)错位相减求和法;

q ?1 , q ? 1。

探究一:
我们知道,等差数列有这样的性质:
如果?a n ?为等差数列,则S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 也成等差数列。

新的等差数列首项为S k,公差为k 2 d。
那么,在等比数列重,也有类似的性质吗?

等比数列前n项和的性质一:

如果?a n ?为等比数列,则S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 也成等比数列。

新等比数列首项为S k,公比为q k 。

例题讲解
1、等比数列{an }的前n项和为S n,若S m ? 10,S 2 m ? 30, 求S3m的值。
解 ? S m,S 2 m - S m,S 3m - S 2 m 成等比数列 :

? ( S 2 m - S m ) ? S m ? ( S 3m - S 2 m )
2

即: - 10) 2 ? 10 ? ( S 3m - 30) (30
解得:S 3m ? 70

例题讲解

S10 31 2、等比数列{an }的前n项和为S n,a1 ? ?1, 若 ? , S5 32

S15 求 的值。 S10


S10 31 解 ? S ? 32 5

? 设S10 ? 31k , S 5 ? 32k (k ? 0)

? S 5,S10 - S 5,S15 - S10 成等比数列

? ( S10 - S 5 ) 2 ? S 5 ? ( S15 - S10 ) 993 2 k 即: k - 32k ) ? 32k ? ( S15 - 31k ) 解得:S15 ? (31 32

S15 993 ? ? S10 992

变式训练
1、等比数列{an }的前n项和为S n,若S10 ? 20, S 20? 80,则S30 ?
260



2、任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z,则下列等式中恒成立的是( D) A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X) 210

4、书上第58页,第2题。

等比数列前n项和的性质二:
若等比数列?a n ?共有2n项,则:

S偶 S奇

?q

例题讲解
1 3、若等比数列{an }的公比为 ,且a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60, 3 则{an }的前100项和为 80 。
解 :
令X ? a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60 Y ? a 2 ? a 4 ? ? ? a100 则S100 ? X ? Y

Y 1 由等比数列前n项和性质知: ? q ? X 3

?Y ? 20

即:S100 ? X ? Y ? 80

变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1,项数是偶数,所有奇 数项和是85,所有偶数项和是170,求此数列的项数? 提示:

q?

S偶 S奇

170 ? ?2 85

S n ? S 偶 ? S 奇 ? 170 ? 85 ? 255
由等比数列前n项和公式得:
1? 2 255 ? 1-2
n

?n?8

6、已知等比数列{a n }前n项和为S n,若a 2 a3 ? 2a1, 5 且a 4 与2a 7的等差中项为 ,求S 5。 4

S 5 ? 31
S 3 ? 7,求S 5。

7、已知正项等比数列{a n }前n项和为S n,若a 2 a 4 ? 1 ,

31 S5 ? 4

8、已知数列{a n }的前n项和S n 满足:S n ? 4a n ? 2, 求数列{a n }的通项公式。

2 4 n ?1 an ? ? ? ( ) 3 3


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