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2.3.1直线与圆的位置关系



数学必修二·北师大版

延安中学数学导学案

第二章§2.3.1 直线与圆的位置关系
课型:新授课 编写人:王龙

教学目标

1.能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.通过直线与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想. 3.通过本节内容的学习,进一步体会到

用坐标法解决几何问题的优越性,逐步 养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯. 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判直线与圆的位置关系. 导学式 学 法 合作探究 教具 多媒体 授课时间 2012.12.26

教学重点 教学难点 教 法

过程

学案内容 问题: 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风 中心位于轮船正西 80km 处, 受影响的范围是半径长为 30km 的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北 40km 处,如果这艘轮船不改变航线, 那么它 是否会受到台风的影响? 运用平面几何知识,你能解决这个问题吗 ?请同学们动手试一下. 1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种? 2.怎样判断直线与圆的位置关系呢? 探究一:用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系? 教 师:利用坐标法,需要建立直角坐标系,为使直线与圆的方程应 用起来简便,在这个实际问题中如何建立直角坐标系? 学生:以台风中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立直角坐标系, 其中,取 10km 为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为 O
2 2 的 圆 的 方 程 为 x ? y ?9 轮 船 航 线 所 在 直 线 l 的 方 程 为

导学过程设计 创设情境( 5 分 钟) ,承前启后,回 归课本重点。从实 际问题出发,提高 学生分析问题、结 局问题的能力。 合作探究 (20 分 钟) , 通过“台风预报” 问题, 说明引入“坐标 法”的必要性, 也是用 代数的方法研究几何 问题的基础,所以是 本节课的核心思想之 一. “判断直线 与圆 的方程组成的方程组 是否有解”的解题方 法具有普遍性,这种 解题方法对于一般圆 锥曲线也适用.

自 主 学 习

合 作 探 究

x ? 2y ?8 ? 0 .
教师:请同学们运用已有的知识,从方程的角度来研究一下直线与 圆的位置关系. 让学生自主探究,互相讨论,探究知识之间的内在联系。教师对学 生在知识上进行适当的补遗,思维上的启迪,方法上点拨,鼓励学生积 极、主动的探究.由学生回答并补充,总结出以下两种 解决方法: 方法一: 联立方程组,判别式,交点个数,直线和圆的位置所以, 直线与圆相离,航线不受台风影响。 方法二: 圆心到直线的距离与半径比较得直线与圆相离. 探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法? 让学生通过实际问题的解决,对比总结,掌握方法. 法一:由方程组消元,利用根的判别式判断方程解的情况 ? ? 0 ,则方程组有两解,直线与圆相交; ? ? 0 ,则方程组有一解,直
不登高山,不知天之高也;不临深溪,不知地之厚也。(《荀子》)

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线与圆相切; ? ? 0 ,则方程组无解,直线与圆相离. 法二:直线与圆相交 ,则 d ? r ;直线与圆相切 ,则 d ? r ;直线与圆 相离,则 d ? r . 2 2 例 1 已知直线 l :x+y-5=0 和圆C:x +y -4x+6y-12=0,判断直 线和圆的位置关系. 解析:方法一,判断直线与圆的位置关系,就是看由它们的方程组 成的方程组有无实数解;方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长 的关系,判断直线与圆的位置关系. 点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法. 2 2 变式 1.判断直线 x-y+5=0 和圆C: x +y -4x+6y-12=0 的位置关系. 2 2 例 2.求直线 l:3x-y-6=0 被圆C:x +y -2x-4y=0 截得的弦AB的长. 解析:可以引导学生画图分析几何性质. 2 2 解:(法一)将圆的方程化为(x-1) +(y-2) =5. 可得圆心C(1,2),利用半径 r.圆心到直线的距离求弦AB的长. 2 (法二)联立方程组,消 y 得 x -5x+6=0 求交点坐标,两点间距离公式,求|AB|. 2 (法三)联立方程组,消 y 得 x -5x+6=0 根据一元二次方程根与系数的关系,求得弦AB的长 课 堂 检 测 1. 已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切, 则 a 的值为 ( ) A.8 B.-18 C.-18 或 8
2 2

例题 (30 分钟) , “判断圆的圆心到直 线的距离与圆的半径 的大小关系 ” 的解题 方法,其应用直观、 简捷,但它是圆所特 有的.

D.不存在

2.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则 弦 AB 的垂直平分线方程是 . 3.求经过点 A(2,-1) ,和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y= -2x 上的 圆的方程. 位置关系 几何特征 有两个公共点 有且只有一公共点 没有公共点 方程特征 方程组有两个不同实根 方程组有且只有一实根 方程组无实根 相交 相切 相离

课堂检测 (40 分 钟) , 巩固提高使学生 扎实有效地理解和掌 握数学中最基础的知 识,形成基本的数学 技能。

几何法 d<r d=r d>r

代数法 △>0 △=0 △<0

总结 反思

直线和圆的三种位置关系:相交,相切,相离。利用直线到圆心的距离和半径的关系来确 立直线和圆的位置关系。注意方程思想、分类讨论的应用,在计算弦长时应用几个性质去处理。 延伸 拓展 作业 P86B 组 1,2. 活页作业(后附活页作业) 新课程指出:学生是学习的主体,是发展的主体。在课堂教学中,教师要将课堂的主动权 让给学生,作为教师应以“探究过程,探究方法,探究结果,运用结果”为主线安排教学进程, 应高度重视学生的主动参与、亲自研究、动手操作,让学生从中去体验学习知识的过程,引导 学生在发现问题、分析问题、解决问题的同时,培养学生的自主学习能力和创新意识。

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延安中学数学导学案

在《直线和圆的位置关系》这节课中,我充分结合学生的生活实际,举出生活中的一些实 例我首先由生活中的情景——日出引入,让学生发现地平线和太阳位置关系的变化,从而引出 课题:直线和圆的位置关系。然后由学生自主探索发现直线和圆的三种位置关系,给出定义, 联系实际,由学生发现日常生活中存在的直线和圆相交、相切、相离的现象,紧接着引导学生 探索三种位置关系下圆心到直线的距离与圆半径的大小关系,由“做一做”进行应用,最后去解 教学 后记 决实际问题。通过本节课的教学,我认为成功之处有以下几点: 1.由日出引入,学生比较感兴趣,充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象,体验 到数学来源于实践。对生活中的数学问题发生好奇,这是学生最容易接受的学习数学的好方法。 新课标下的数学教学的基本特点之一就是密切关注数学与现实生活的联系, 从生活中“找”数学, “想”数学,让学生真正感受到生活之中处处有数学。 2.在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时,我先引导学生回顾点和圆的位置关系 所对应的数量关系,启发学生运用类比的思想来思考问题,解决问题,学生很轻松的就能够得 出结论,从而突破本节课的难点,使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化,这种等价 关系是研究切线的理论基础,从而为下节课探索切线的性质打好基础。 3.新课标下的数学强调人人学有价值的数学,人人学有用的数学,为此,我在课堂上围 绕直线和圆的位置关系的相关题型,由浅入深,循序渐进,层层深入。由易到难之后我安排了 两道实际问题:提高学生解决实际问题的能力。由于此题要学生回到生活中去运用数学,学生 的积极性高涨,都急着讨论解决方案,是乏味的数学学习变得有滋有味,使学生体会到学数学 的重要性,体验“生活中处处用数学”。

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第二章§2.3.1 直线与圆的位置关系
班级 姓名 编写人:王龙

(3)圆 x2+y2=4 与直线 x=1___________. 7.设圆 C 的方程为 x2+y2=2,直线 l 的方程为 y=x+b,若圆 C 与直线 l 有两个公共点, 则实数 b 的取值范围为________. 8. 试就 m 的值讨论直线 x-my+2=0 和圆 x2+y2=4 的位置关系.

4 50 1.直线 y ? x ? 与圆(x-2)2+y2=100 的 3 3
位置关系是( ) A.相交 C.相离 B.相切 D.不能确定

2.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 的值为( ) A.0 或 2 C. 2 B.2 D.无解 9.若圆 x2+y2=r2 与直线 x=2 相切,求实数 r 的 值;如果相

3.直线 x=2 被圆(x-a)2+y2=4 所截得的弦长 为 2 3 ,则 a 的值为( ) A.-1 或 3 C.1 或 3 B. 2 或- 2 D. 3

4.圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的距 离的最小值是( ) A.6 C.4 B.5 D. 1

5.若点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2 =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( ) A.x-y-3=0 C.x+y+3=0 B.x-y+3=0 D.x+y-3=0

6.判断下列圆和直线的位置关系: (1)圆 x2+y2=4 与直线 y=2__________; (2)圆 x2+y2=1 与直线 y=2___________;

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