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专题四三角函数、三角恒等变换与解三角形



专题四

三角函数、三角恒等变换 与解三角形
三角函数的图像与性质 三角恒等变换与解三角形

第1讲 第2讲

核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第1讲 三角函数的图像与性质

第1讲
核 心 知

识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

1.[2012· 辽宁卷改编] 若 sin α - cos α = 2 , α∈(0 , π ) , 则 ② tan α = ________.
[答案] -1
[解析] 已知式两端平方可得 1-sin 2α 3π =2,即 sin 2α=-1,所以 α= 4 , 所以 tan α=-1.或者把已知与 sin2α +cos2α=1 联立求出 sin α, cos α的 值,再根据商数关系得之.

? 同角三角函数关 系 关键词:平方关系、 商数关系,如②.

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第1讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

2.[2012· 天津卷改编] 将函数 f(x)=sin ③π ω x(ω>0) 的图像向右 平移 4 个单位长 ?3π ? ? 度,所得图像经过点? ,0? ,则 ω 的 ? ? 4 ? 最小值是________.
[答案] 2

? 图像平移变换 关键词:平移、左加 右减、只变换 x,如 ③.

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第1讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

π [解析] 函数 f(x)的图像向右平移 4 个单位 ? 图像平移变换 π 长度得到函数 g(x)=f(x- )=sinω(x 关键词:平移、左加 4 右减、 只变换 x, 如③. π ωπ - 4 )=sin(ωx- 4 )的图像,因为 3π 此时函数图像过点( 4 ,0) ,所以 sin ω 3π π 3π π ωπ ( 4 - 4 )=0,即 ω( 4 - 4 )= 2 =kπ(k∈Z),所以 ω=2k(k∈Z), 又 ω>0,所以 ω 的最小值为 2.
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—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

第1讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
3.[2012· 新课标全国卷改编] 已知 ω>0, π 5π 0<φ<π , 直线 x= 4 和 x= 4 是函数 f(x) = sin(ωx + φ) 的 图 像 的 两 条 相 邻 的 对称轴④ ,则 φ=________.

——主干知识 ——

? 函数图像 关键词:相邻对称轴、 周期、最值,如④.

π [答案] 4

π 5π π [解析] 由题设知 = 4 - 4 ,∴ω=1, ω π π π ∴ 4 +φ=kπ+ 2 (k∈Z), ∴φ=kπ+ 4 π (k∈Z).∵0<φ<π,∴φ= 4 .
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第1讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 —— 4. [2013· 山东卷改编] 将函数 y=sin(2x π +φ)(0<φ<π )的图像沿 x 轴向左平移 8


——主干知识 ——

个单位长度后, 得到一个 偶函数 的图 像,φ=________. [答案] π 4 [解析] 把函数 y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像向 π 左平移 8 个单位得到的图像的解析式是 y = π sin(2x+ 4 +φ)(0<φ<π),该函数是偶函数的充 π π 要条件是 +φ=kπ+ ,k∈Z,即 φ=kπ+ 4 2 π π ,k∈Z.又因为 0<φ<π,所以 φ= . 4 4

? 奇偶性 关键词: 图像平移、 偶 函数、奇函数,如⑥.

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第1讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 —— 5 . [2013· 新课标全国卷Ⅰ] 设当 x = θ 时 , 函 数 f(x) = sin x - 2cos x 取 得 ⑧ 2 5 . 最大值 ,则 cos θ =________ -
5

——主干知识 ——
? 最值 关键词:最大值、最 小值,如⑧.

1 2 [解析] f(x)=sin x-2cos x= 5 ( sin x- cos x) , 5 5 1 2 令 cos α= , sin α= , 则 f(x)= 5sin(x-α), 5 5 π π 当 θ-α=2kπ+ ,即 θ=2kπ+ +α(k∈Z)时 2 2 2 5 f(x)取得最大值,此时 cos θ=-sin α=- 5 .

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第1讲

三角函数的图像与性质

—— 基础知识必备 ——

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第1讲

三角函数的图像与性质

考向一

高考中三角函数常见基本问题

命 题 考 向 探 究

考向:三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、特殊角的 三角函数值等. 考例:2010 年 T4、2011 年 T5,近五年新课标全国卷共考查了 2 次.考例虽然不多,但三角函数定义、同角三角函数关系是整个 三角函数知识体系的重要基础. ?π ? ? 例 1 (1)[2013· 四川卷] 设 sin 2α =-sin α ,α∈? ,π ? ?,则 tan 2 ? ? 2α 的值是________. (2)已知 A(xA,yA)是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一点, 将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 30°到 OB,交单位圆于点 B(xB, yB),则 xA-yB 的最大值为( ) 3 1 A. 2 B. 2 C.1 D.2
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第1讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1) 3

(2)C

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)方法一:由 sin 2α=-sin α,得 2sin αcos α= ?π ? 1 ? ? -sin α,又 α∈? ,π?,故 sin α≠0,于是 cos α=-2, ?2 ? 2tan α 3 进而 sin α= ,于是 tan α=- 3,∴tan 2α= 2 1-tan2 α 2×(- 3) 1 = = 3 . 方 法 二 : 同 上 得 cos α = - 2 , 又 1-3 ?π ? 2π 4π ? ? α∈? ,π?,可得 α= ,∴tan 2α=tan = 3. 3 3 ?2 ?

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第1讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

(2)设 x 轴正方向逆时针到射线 OA 的角为α,根据三角函数定义 xA=cos α, yB=sin(α+30°), 所以 xA-yB=cos α-sin(α+30°) 3 1 =- 2 sin α+2cos α=sin(α+150°),故其最大值为 1.

小结:三角函数的定义是求三角函数值的基础,同角三角函数 间的关系、 诱导公式以及三角函数式的化简在运算中起着重要 的作用,解题时要注意依据已知条件正确地选择公式,并注意 应用公式所具备的条件.

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第1讲

三角函数的图像与性质

考向二 三角函数的图像
命 题 考 向 探 究

考向:根据三角函数的图像求函数的解析式,根据函数的解析 式确定函数图像,利用三角函数图像解决问题等. 考例:2009 年 T14、2010 年 T4、2011 年 T11,近五年新课标 全国卷共考查了 3 次.

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第1讲
例 2

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

(1)[2013· 四 川 卷 ] 函 数 f(x) = 2sin(ωx + ? π π? ? φ)?ω>0,- <φ < ? 的部分图像如图所示,则 ω,φ 的值分 2 2? ? ? 别是( ) π π A.2,- 3 B.2,- 6 π π C.4,- D.4, 6 3

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第1讲

三角函数的图像与性质

(2)函数 y=sin(π x+φ)(φ>0)的部分图像如图所示,设 P 是图像 的最高点,A,B 是图像与 x 轴的交点,记∠APB=θ,则 sin 2 θ 的值是( )

命 题 考 向 探 究

16 A.65

63 B.65

16 C.-63

16 D.-65

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第1讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)A

(2)A

命 题 考 向 探 究

3T 5π π 3π [解析] (1)由图知 4 = 12 + 3 = 4 ,故周期 T=π,于是 ω ?5π? ?5π ? ? ? ? =2,所以 f(x)=2sin(2x+φ).再由 f? ?=2,得 sin? +φ? ? ? 12 ? ? 6 ? 5π π π π =1,于是 6 +φ=2kπ+ 2 (k∈Z),因为- 2 <φ< 2 ,取 k π =0,得 φ=- 3 .

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第1讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

1 5 (2)函数的周期为 2,可得|AB|=2,|AP|= 1+ = ,|BP| 4 2 5 13 4+ 4 -4 9 13 = 1+4= 2 , 根据余弦定理可得 cos θ= = 5 13 2× 2 × 2 1 8 ,所以 sin θ= ,所以 sin 2θ= 65 65 1 8 16 2sin θcos θ=2× × = .(或者先计算 tan θ, 再根 65 65 65 2tan θ 据 sin 2θ= 求解) 1+tan2θ

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第1讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

方法指导:根据三角函数图像求解析式的方程组方法 根据三角函数解析式画三角函数图像的基本方法是“五 点法”,根据三角函数图像求解函数解析式其实就是 “五点 法”的逆用, 如例 2 中的(1)可看作是函数 y=2sin x, x∈[-π, π]经过变换得出函数 y=2sin(ωx+φ)在一个周期内的图像, 其 π 中点- 3 ,0 可看作“五点法”作图时(-π,0)变换得出的, 5π π 点 ,2 可看作是“五点法”作图时点 ,2 得出的,故可得 12 2 π ? ?ω- 3 +φ=-π, 方程组? 解这个方程组即得 ω,φ 的值. 5π π ?ω· +φ= 2 , ? 12

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第1讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

小结:根据三角函数的图像求函数的解析式,主要 考虑两点:①根据函数图像得出函数的最小正周期,求 出ω的值,②根据函数图像上特殊点的坐标,得出三角 函数的方程求出φ值.

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第1讲

三角函数的图像与性质

考向三 三角函数的性质
考向:三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值. 考例:2011 年 T11、2013 年卷ⅠT15,近五年新课标全国卷共 考查了 2 次. 例 3 (1)[2013· 湖北卷] 将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图像向 左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) π π π 5π A.12 B. 6 C. 3 D. 6 (2)若函数 f(x)=sinω x+ 3cosω x(x∈R,ω>0)满足 f(α)=-2, π f(β)=0,且|α-β|的最小值为 2 ,则函数 f(x)的单调增递区间为 ____________________.
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命 题 考 向 探 究

第1讲

三角函数的图像与性质
? 5π π? ? (2)?2kπ- ,2kπ+ ? ?(k∈Z) 6 6 ? ?

[答案] (1)B

命 题 考 向 探 究

? π? ? [解析] (1)结合选项, 将函数 y= 3cos x+sin x=2sin?x+ ? 3? ? ? ? π π? ? 的图像向左平移 6 个单位长度后得到 y = 2sin ?x+ ? = ? 2? ?

2cos x 的图像,它的图像关于 y 轴对称,选 B.

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第1讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

π (2)f(x)=sin ωx+ 3cos ωx=2sin(ωx+ 3 ).因为 f(α)= π T π -2,f(β)=0,且|α-β|min= ,所以 = ,得 T=2π(T 为函 2 4 2 2π π 数 f(x)的最小正周期),故 ω= T =1.所以 f(x)=2sin(x+ 3 ).令 π π π 5π 2kπ- 2 ≤x+ 3 ≤2kπ+ 2 (k∈Z),解得 2kπ- 6 ≤x≤ π 5π 2kπ+ 6 (k∈Z).所以函数 f(x)的单调递增区间为[2kπ- 6 , π 2kπ+ ](k∈Z). 6

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第1讲

三角函数的图像与性质

小结:三角函数的性质主要是单调性、奇偶性、周期 性和最值, 三角函数的性质和图像是密不可分的, 在研究 同时注 命 三角函数的性质时要注意从图像的特征得出性质, 题 意根据三角函数的性质推断函数图像的特征.
考 向 探 究

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第1讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

变式题 (1)函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( ) 3π A. 2 B.2π π C.π D. 2 ? ?π π? 2π ? ? ? ? (2)函数 y=sin(ωx+φ)?ω >0且|φ|< ?在区间? , ? 上单调递 ? 2? 3 ? ? ?6 减,且函数值从 1 减小到-1,那么此函数图像与 y 轴交点的 纵坐标为( ) 1 2 A. B. 2 2 6+ 2 3 C. 2 D. 4
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第1讲

三角函数的图像与性质
(2)A

[答案] (1)B

命 题 考 向 探 究

π [解析] (1)f(x)=(1+ 3tan x)cos x=cos x+ 3sin x=2sin(x+ ), 其最小正 6 周期为 2π. π 2π (2)因为函数的最大值为 1, 最小值为-1, 且在区间[ 6 , 3 ]上单调递减, 2π π π 又函数值从 1 减小到-1,可知 - = 为半周期,则周期 T=π, 3 6 2 2π 2π π ω= T = =2,故函数 y=sin(2x+φ).又由函数过( 6 ,1)点,代入 π π π 1 可得 φ= 6 ,因此 y=sin(2x+ 6 ).令 x=0,可得 y=2.故选 A.

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第1讲

三角函数的图像与性质

考向四 三角函数的性质与图像综合应用
命 题 考 向 探 究

考向:以解答题的形式考查三角函数图像与性质的综合问题. 考例:新课标高考近五年没有这方面的考例,但三角函数的图 像与性质是三角函数的主体内容,以解答题的方式进行综合考 查是一个重要的命题方向.

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第1讲

三角函数的图像与性质


命 题 考 向 探 究

例 4 函数 f(x)=6cos 2 + 3sinω x-3(ω>0)在一个周期内的 图像如图所示,A 为图像的最高点,B,C 为图像与 x 轴的交 点,且△ABC 为正三角形. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调递增区间和对称中心.

x

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第1讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

ωx 解:(1)f(x)=6cos 2 + 3sinωx-3=3cosωx+ 3sinωx π =2 3sin(ωx+ ).(3 分) 3 又△ABC 为正三角形,且高为 2 3,则 BC=4, 2π π 所以函数 f(x)的最小正周期为 8,即 =8,ω= 4 , ω π π 所以函数 f(x)=2 3sin( 4 x+ 3 ).(6 分)
2

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第1讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

π π π π (2)由 2kπ- 2 ≤ 4 x+ 3 ≤2kπ+ 2 ,k∈Z,(8 分) 10 2 解得 8k- ≤x≤8k+ ,k∈Z. 3 3 10 2 所以 f(x)的单调递增区间为[8k- ,8k+ ],k∈Z.(10 分) 3 3 π π 4 由 4 x+ 3 =kπ,k∈Z,得 x=4k-3,k∈Z, 4 所以函数 f(x)的对称中心为(4k-3,0),k∈Z.(12 分)

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第1讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

【答题步骤】 第一步:把函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式. 第二步:根据已知函数的性质确定 ω 的值,得出函数 f(x)的解析式. 第三步:根据正弦函数的性质得出函数 f(x)的单调递 增区间和对称中心坐标.
小结:三角函数的综合应用常表现为依据解析式的结构特点 化简为 y=Asin(ωx+φ)后,研究该函数的周期、单调区间及 最值.也可结合实际问题建立函数模型 y=Asin(ωx+φ)+k, 依据实际问题确定定义域,再进行解决,并说明实际意义.

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第1讲

三角函数的图像与性质

—— 推理论证能力——
[三角函数图像变换中的推理论证] 1.在解答数学试题中起主要作用的数学能力是逻辑推理能 力、空间想象能力和运算求解能力,运算求解实际是简单的 逻辑推理,逻辑推理能力在数学解题中占有重要地位.高考 从不同的侧面考查逻辑推理能力. 2.三角函数从解析式看是数的内容,但画出其图像后又是形 的内容,三角函数的解析式和图像从数与形两个方面刻画了 同一种变化规律.在三角函数问题中有时要通过平移、伸缩 变换由一个函数图像得到另一个函数图像,图像变换的同时 函数的解析式也随之变化.在三角函数的图像与解析式的变 化中,从一个方面得到另一个方面不单纯是运算,逻辑推理 也占有重要成分.
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命 题 立 意 追 溯

第1讲

三角函数的图像与性质

示例 [2013· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 y=cos(2x+φ)(-π π ≤φ <π )的图像向右平移 个单位长度后,与函数 y= 2 ? π? ? sin?2x+ ? ?的图像重合,则φ =________. 3 ? ?
5π [答案] 6
命 题 立 意 追 溯
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第1讲

三角函数的图像与性质

π [解析] 由已知,y=cos(2x+φ)的图像向右平移 个单位长度 2 后得到函数 y=cos(2x-π+φ)=-cos(2x+φ)的图像. ? ?π 5π π? π? ? ? ? ? y=sin?2x+ ?=-cos? +2x+ ?=-cos(2x+ 6 ).上述两 3? 3? ? ?2 5π 个函数图像重合,比较得 φ= 6 .
命 题 立 意 追 溯
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第1讲

三角函数的图像与性质

小结:本题中给出的两个函数名称不同,在变换后要把 它们化为名称相同的函数再进行比较得出结论, 这正是逻辑 推理能力在解题中的具体体现.

命 题 立 意 追 溯
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第1讲

三角函数的图像与性质
? π ? y=3cos?2x- 4 ? ? ? 可以将函 ?的图像, ?

跟踪练 要得到函数 数 y=3sin 2x 的图像(

命 题 立 意 追 溯

) π A.沿 x 轴向左平移 8 个单位长度 π B.沿 x 轴向右平移 8 个单位长度 π C.沿 x 轴向左平移 4 个单位长度 π D.沿 x 轴向右平移 个单位长度 4

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第1讲

三角函数的图像与性质

[答案]

A

π π π π [解析] y=3cos2x- 4 =3sin 2 +2x- 4 =3sin2x+ 4
命 题 立 意 追 溯

π =3sin 2x+ ,故选 A. 8

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第7讲

三角函数的图像与性质

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 考查正余弦的齐次式,例 2 考查由 三角函数图像求解析式,例 3 考查三角函数与平面向量 的综合、差角余弦公式的证明.三个例题可在相关考向 中使用.
cos 2α 1 例 1 若 tan( π - α) =- ,则 的值为 3 sin 2α +cos2α ) 8 8 A.3 B.5 8 8 C.-7 D.15

(

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第7讲

三角函数的图像与性质

[ 解析 ] D cos2α-sin2α

cos 2α 1 根据已知得 tan α = , = 3 sin 2α+cos2α
2

. 2sin αcos α+cos α 方法一:将上式分子分母同时除以 cos2α,则原式= 1 2 1-tan α 1-9 8 =2 =15. 2tan α+1 +1 3 1 方法二:变换 tan α=3为 cos α=3sin α,代入上式, 8 则原式= =15. 2 2 6sin α+9sin α 9sin2α-sin2α

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第7讲

三角函数的图像与性质

π 例 2 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|< ,x∈R 的部分图 2 像如图 3-7-4 所示,则( ) ?π ?π π? π? ? ? ? A.f(x)=-4sin? x+ ? B.f(x)=4sin? x- ? 4? 4? ?8 ?8 ? ?π ?π π? π? ? ? ? C.f(x)=-4sin? x- ? D.f(x)=4sin? x+ ? 4? 4? ?8 ?8 ?

图 3-7-4
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第7讲

三角函数的图像与性质

[解析] A

通过观察图像可知函数图像过(-2,0)和(2,-4)

2π π 两个定点,周期 T=2×8=16,ω= T = . 8 π 由(-2,0)可知 ×(-2)+φ=kπ,k∈Z, 8 π π 又∵|φ|< ,∴φ= ;由(2,-4)可知 A=-4, 2 4 从而
? ? π π ? f(x)=-4sin? ? x+ ?,故选 4? ?8

A.

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第7讲

三角函数的图像与性质

例 3 如图 3-7-5 所示,在平面直角坐标系 xOy 内作 单位圆 O,以 Ox 轴为始边作任意角 α,β,它们的终边与单 位圆 O 的交点分别为 A,B. → ·OB →; (1)设 α=105°,β=75°,求OA (2)试证明差角的余弦公式:cos(α-β)=cos α cos β + sin α sin β .

图 3-7-5
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第7讲

三角函数的图像与性质

→ ,OB → 的夹角为 30°, 解:(1)方法一:由已知,得OA → |=|OB → |=1, |OA → ·OB → =|OA → ||OB → |cos 30°= 3. ∴OA 2 方法二:由三角函数的定义,得 点 A(cos 105°,sin 105°),B(cos 75°,sin 75°), → · OB → = cos 105 ° cos 75 ° + sin 105 ° sin 75 ° = ∴ OA cos(105°-75°)= 3 2.

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第7讲

三角函数的图像与性质

→ ,OB → 的夹角为 θ, (2)设OA → |=|OB → |=1,∴OA → ·OB → =|OA → ||OB → |cos θ=cos θ, ∵|OA 另一方面,由三角函数的定义,得 A(cos α,sin α),B(cos β, sin β), → ·OB → =cos αcos β+sin αsin β, ∴OA 故 cos θ=cos αcos β+sin αsin β, 由于 α-β=2kπ±θ,k∈Z,∴cos(α-β)=cos θ, ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

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核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第2讲 三角恒等变换与解三角形

第2讲
核 心 知 识 聚 焦

三角恒等变换与解三角形

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——
? 二倍角的正(余)弦 关键词:二倍角的正 弦公式、余弦公式, 如②.

1.[2012· 陕西卷改编] 设向量 a=(1, cos θ )与 b=(-1,2cos θ )垂直,则 ② cos 2θ =________.
[答案] 0

[解析] 由 a⊥b?a? b=0?-1+2cos2θ= 0,故 cos 2θ=2cos2θ-1=0.

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第2讲

三角恒等变换与解三角形

核 —— 体验高考 —— 心 知 2. [2012· 重庆卷改编] 设 tan α , tan β 识 2 聚 是方程 x - 3x + 2 = 0 的两个根,则 焦 ③

——主干知识 ——

tan(α+β) = ________.
[答案] -3

? 和差角的正切公式 关键词:和角、差角、 正切公式,如③.

[解析] 由题意得, tanα+tanβ=3, tan α tan β = 2 ? tan(α + β) = tan α+tan β 3 = =-3. 1-tan αtan β 1-2

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第2讲
核 心 知 识 聚 焦

三角恒等变换与解三角形

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

sin α +cos α 1 3.[2012· 江西卷改编] 若 =2, ? 二倍角的正切公式 sin α -cos α ④ 关键词:二倍角、正切 则 tan 2α = ________. 公式,如④. 3
[答案] 4

[解析] 分子分母同时除以 cos α可得 tan α=-3,带入所求式可得结果.

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第2讲
核 心 知 识 聚 焦

三角恒等变换与解三角形

—— 体验高考 ——


——主干知识 ——

4.[2012· 天津卷改编] 在△ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c , C=2B,则 cos C=________.
7 [答案] 25 [解析] ∵8b=5c,由正弦定理得 8sin B=5sin C,又∵C=2B,∴8sin B=5sin 2B,∴8sin B 4 =10 sin Bcos B,易知 sin B≠0,∴cos B= , 5 7 2 cos C=cos 2B=2cos B-1= . 25

? 正弦(余弦)定理 关键词:三角形、 正弦定理,如⑤.

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第 2讲

三角恒等变换与解三角形

—— 基础知识必备 ——

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第2讲

三角恒等变换与解三角形

考向一 高考中三角恒等变换常见问题
考向:利用三角恒等变换公式(同角三角函数关系、诱导公式、两角 和差公式、倍角公式等)求解三角函数值,对三角函数式进行恒等变 换等. 考例:2010 年 T9、2011 年 T5、2013 年卷ⅡT15,近五年新课标全 国卷共考查了 3 次. 例 1 (1)[2013· 重庆卷] 4cos 50°-tan 40°=( ) 2+ 3 A. 2 B. 2 C. 3 D.2 2-1 10 (2)[2013· 浙江卷] 已知 α∈R,sin α +2cos α = ,则 tan 2α = 2 ( ) 4 3 3 4 A.3 B.4 C.-4 D.-3
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命 题 考 向 探 究

第2讲

三角恒等变换与解三角形

[答案] (1)C (2)C
sin 40° [解析] (1)原式=4sin 40°- cos 40° 4sin 40°cos 40°-sin 40° 2sin 80°-sin 40° = = cos 40° cos 40° 2cos (40°-30°)-sin 40° = cos 40° 2(cos 40°cos 30°+sin 40°sin 30°)-sin 40° = cos 40° 3cos 40° = = 3,故选 C. cos 40°

命 题 考 向 探 究

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第2讲

三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

10 2 (2)由(sinα+2cos α) =( 2 ) ,得 sin2α+4sinαcos α+4cosα= 1+cos 2α 5 10 5 5 2 4sinαcos α+1+3cos α=2, 2sin 2α+1+3× =2, 4 =2, 2 3cos 2α 3 故 2sin 2α=- 2 ,所以 tan2α=-4,选择 C.
2

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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

方法指导:含 asin α+bcos α=c 的三角函数问题的处理策略 (1)使用辅助角公式化为 a2+b2sin(α+φ)=c 的形式,其中 cos φ= a b 2 2,sin φ= 2 2; a +b a +b (2)两端平方后使用降幂公式、二倍角的正弦公式把其化为关于 2α 的 关系式; (3)与 sin2α+cos2α=1 联立,求出 sin α,cos α.

小结:三角函数求值的关键是通过恒等变换公式,把已知转化 为求解目标.注意恒等式(sin α±cos α)2=1± sin 2α的应用.

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三角恒等变换与解三角形

考向二 正(余)弦定理在解三角形中的应用
考向:根据正弦定理、余弦定理解三角形. 考例:2009 年 T17、2010 年 T16、2011 年 T16、2012 年 T17、2013 年卷ⅠT17、2013 年卷ⅡT17,近五年新课标全国卷共考查了 6 次. 例 2 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c, 23cos2 A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的对边长分别为 a,b,c,sin A, sin B,sin C 成等比数列,且 c=2a,则 cos B 的值为( ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3

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三角恒等变换与解三角形

[答案] (1)D

(2)B

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)由 23cos 2A+cos 2A=0,得 25cos 2A=1.因为△ABC 为锐 1 角三角形,所以 cos A=5.在△ABC 中,根据余弦定理,得 49=b2 1 13 2 12 +36-12b× ,即 b - b-13=0,解得 b=5 或- (舍去). 5 5 5 (2)根据正弦定理和 sin A, sin B, sin C 成等比数列可得 b2=ac=2a2, a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 即 b= 2a.根据余弦定理 cos B= 2ac = =4. 4a2

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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

变式题 已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b,c,且 2(a2+b2-c2)=3ab.若 c=2,则△ABC 面积的最 大值为________.
[答案] 7

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三角恒等变换与解三角形
2 2 2

命 题 考 向 探 究

3 3 2 2 [解析] ∵a +b -c =2ab,且 c=2,∴a +b -4=2ab,又∵a2+ 3 2 b ≥2ab,∴2ab≥2ab-4,∴ab≤8. 3 ∵cos C=4, 32 7 2 ∴sin C= 1-cos C= 1- = , 4 4 1 ∴S△ABC=2absin C≤ 7, 当且仅当 a=b=2 2时,△ABC 面积最大,最大值为 7.

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三角恒等变换与解三角形

考向三 正(余)弦定理的实际问题
命 题 考 向 探 究

考向:正弦定理、余弦定理在解决测量问题、平面图形计算问 题中的应用. 考例:2009 年 T17,近五年新课标全国卷共考查了 1 次,但解 三角形在实际问题中的应用是三角函数类解答题的主要命题方 向之一,值得关注.

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三角恒等变换与解三角形

例 3 某湖畔有四棵高大的银杏树,记作 A,B,P,Q,欲测量 P,Q 两棵树和 A, P 两棵树之间的距离, 但湖岸部分地方围有铁丝网不能 靠近.现在可以方便的测得 A,B 两点间的距离为 AB=100 m,如图 所示, 同时也能测量出∠PAB=75°, ∠QAB=45°, ∠PBA=60°, ∠QBA=90°,求 P,Q 两棵树和 A,P 两棵树之间的距离.
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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

解:(1)在△PAB 中,∠APB=180°-(75°+60°)=45°,由正弦定理 AP AB = ?AP=50 6.(6 分) sin 60° sin 45° (2)在△QAB 中,∠ABQ=90°,∠QAB=45°,AB=100, ∴AQ=100 2.∠PAQ=75°-45°=30°, 由余弦定理 PQ2=(50 6)2+(100 2)2-2· 50 6?100 2cos 30°=5 000,∴PQ= 5 000=50 2.(12 分) 答:P,Q 两棵树之间的距离为 50 2 m,A,P 两棵树之间的距离为 50 6 m.

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三角恒等变换与解三角形

考向四 三角函数与解三角形的综合
命 题 考 向 探 究

考向: 三角函数与解三角形的综合、 在三角形中进行三角恒等变换、 在三角形中研究三角函数的性质等. 考例:新课标全国高考近五年虽然没有该类解答题,但在解三角形 中,基本都会涉及三角恒等变换、三角函数性质的应用等,三角函 数与解三角形综合也是三角函数类解答题的一个重要命题方式.

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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

x x 2x 例 4 已知向量 m=( 3sin4,1),n=(cos4,cos 4).记 f(x)=m· n. 2π 3 (1)若 f(α)= ,求 cos( -α)的值; 2 3 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B 1+ 3 =bcos C,若 f(A)= 2 ,试判断△ABC 的形状.

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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

? x π? 1 3 x 1 x 1 x x ? 2x 解:f(x)= 3sin cos +cos = sin + cos + =sin? + . + ?2 4 4 4 2 2 2 2 2 6? ? ? 2 ?α π? 1 3 3 ? (1)由已知 f(α)= 得 sin? + = , + ?2 2 6? ? ? 2 2 2π 2π 2π 2π 于是 α=4kπ+ 3 ,k∈Z,∴cos 3 -α=cos 3 -4kπ- 3 =1. (2)根据正弦定理得, (2a-c)cos B=bcos C?(2sin A-sin C)cos B=sin B?cos C? π 1 2sin Acos B=sin(B+C)=sin A?cos B=2?B= 3 . ?A π? 1 1+ 3 A π π 2π 1+ 3 ? ∵f(A)= ,∴sin? + = ? + = 或 ? + ?2 2 2 2 6 3 3 6? ? ? 2 π 2π π A= 3 或π,而 0<A< 3 ,∴A= 3 ,因此△ABC 为等边三角形.

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三角恒等变换与解三角形

—— 运算求解能力——

[方程思想在解三角形问题中的应用] 1. 方程思想的核心是把求解的量归入到一个方程(或者几个方程 组成的方程组)中,通过求方程(组)的解出求解的量,方程思想 运用的是否熟练、是否合理、是否灵活,是运算求解能力强弱 的重要体现之一.高考通过不同的试题,从多个方位考查方程 思想的应用,解三角形就是其中一个重要的命题点.
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三角恒等变换与解三角形

—— 运算求解能力——

2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程, 在这些方程中已知其中的部分元素可以求解另外一些元素,这 是方程思想在解三角形中应用的根据.在利用方程思想解三角 形时要注意根据已知和求解目标选用合适的公式.
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三角恒等变换与解三角形

示例 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos A +cos 2A=0. (1)求角 A 的大小; ? π? ? (2)若 a=3,b=2,求 sin?B+ ? 的值. ? 4? ?
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三角恒等变换与解三角形

命 题 立 意 追 溯

解:(1)由 cos A+cos 2A=0 得 2cos2A+cos A-1=0, 1 解得 cos A=-1 或 cos A=2. π 因为 A 是三角形的内角,0<A<π ,所以 A= . 3 3 2 3 a b (2)由正弦定理sin A=sin B得 = ,解得 sin B= 3 . π sin B sin 3 π 6 因为 b<a,所以 0<B<A< 3 ,所以 cos B= 3 , π π π 6+2 3 所以 sin(B+ 4 )=sin Bcos +cos Bsin = . 4 4 6

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三角恒等变换与解三角形

跟踪练 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若函 1 B 2 数 f(x)=x +mx-4为偶函数,且 f(cos 2 )=0. (1)求角 B 的大小; 15 3 7 3 (2)若△ABC 的面积为 4 ,其外接圆半径为 3 ,求△ABC 的 周长.

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三角恒等变换与解三角形

1 解:(1)∵f(x)=m +mx-4是偶函数, 1 2 1 2 ∴f(x)=f(-x),即 x +mx- =x -mx- ,∴m=0, 4 4 1+cos B 1 B 1 2B 又 f(cos 2 )=0,∴cos 2 =4,即 =4, 2 2π 1 ∴cos B=-2.又 B∈(0,π),∴B= 3 .
2

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三角恒等变换与解三角形

命 题 立 意 追 溯

7 3 (2)∵△ABC 的外接圆半径为 , 3 14 3 b b ∴根据正弦定理sin B=2R 得, = 3 ,∴b=7. 2π sin 3 1 15 3 又 S△ABC=2acsin B= 4 ,∴ac=15. 在△ABC 中,根据余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B,即 a2 2π 2 +c -30cos 3 =49,a2+c2=34, ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=64,∴a+c=8, ∴△ABC 的周长等于 15.

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三角恒等变换与解三角形

示例 2 某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲 在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设 计的底座形状分别为△ABC、 △ABD, 经测量 AD=BD=14, BC=10,AC=16,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他 因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低,请说明理由.

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第2讲

三角恒等变换与解三角形

解:(1)在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=162+102-2×16×10cos C.① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 得 2 2 2 2 2 2 AB =AD +BD -2AD·BDcos D=14 +14 -2×14 cos C.② 由①②得 142+142-2×142cos C=162+102-2×16×10cos C, 1 整理可得 cos C= . 2 又∠C 为三角形的内角,所以∠C=60°. 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A,B 两点的距离为 14.

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第2讲

三角恒等变换与解三角形

(2)小李的设计符合要求. 1 理由如下:S△ABD= AD·BDsin D, 2 1 S△ABC= AC·BCsin C, 2 因为 AD·BD>AC·BC,所以 S△ABD>S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比, 故选择△ABC 建造环境标志费用较低. 即小李的设计符合要求.

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第8讲

三角恒等变换与解三角形

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 为三角恒等变换、解三角形、平面 向量的综合题,例 2 为解三角形的实际应用题,两例题可 以在相关考向中使用.

例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,已知向量 m=(cos A,cos B),n=(2c+b,a),且 m⊥n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求△ABC 面积的最大值.

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第8讲

三角恒等变换与解三角形

解:(1)∵m⊥n,∴m· n=(cos A,cos B)· (2c+b,a)= (2c+b)cos A+acos B=0. 由正弦定理可得(2sin C+sin B)cos A+sin Acos B=0, 即 2sin Ccos A+(sin Bcos A+sin Acos B)=0, 整理可得 sin C+2sin Ccos A=0. 2π 1 ∵0<C<π,∴sin C>0,∴cos A=- ,∴A= . 2 3 (2)由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A,即 16=b2+c2 16 +bc≥3bc(当且仅当 b=c 时取等号),故 bc≤ . 3 1 3 4 3 故△ABC 的面积为 S=2bcsin A= 4 bc≤ 3 , 当且仅当 4 3 4 3 b=c= 3 时,△ABC 的面积取得最大值 3 . 返回目录



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