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2-集合与简易逻辑



高中数学知识点梳理

第二章
一.知识结构图 集合的有关概念

集合与简易逻辑
逻辑联结词


集合的关系


集合的运算 二.知识要点 1. 元素与集合的关系:用 2. 集合中元素具有: 3. 集合的表示法: 或 、________、

>集 合 与 简 易 逻 辑

简 易 逻 辑

四种命题 充要条件 全称量词与存在量词

表示; 。

1,2,3,4, ?? ; ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如 ?

? ②描述法; ?代表元素| 元素满足的属性或条件
③常用数集: 自然数集:N; 正整数集: N * ; 整数集:Z; 有理数集:Q、 实数集:R。

4. 集合与集合的关系:用____, ____, ____表示; A 是 B 的子集记为 A ____ B ; A 是 B 的真子集记为 A ____ B . ①任何一个集合是它本身的子集,记为________; ②空集是任何集合的子集,记为________;空集是任何非空集合的真子集。 ③如果________,同时________,那么 A ? B ;如果

A ? B, B ? C ,则___________。

④ n 个元素的子集有____个; n 个元素的非空子集有_________个; n 个元素的真子集有__________个。 5.常用逻辑用语 (1)1.可以 2.逻辑联结词有 的语句叫做命题.命题由 ,不含 两部分构成; 的命题是简单命题.由 ,(其中 p , q 都是简单命题). 的命题是复合

命题.复合命题的构成形式有三种: (2)复合命题的真假判断

判断复合命题的真假的方法—真值表: “非 p ”形式的复合命题真假与 p 的 当 p 与 q 都真时, p 且 q 形式的复合命题 当 p与q 都 (3)四种命题 1. 原命题:若________则_________;逆命题:若________则_________ 否命题:若________则_________;逆否命题:若________则_________ 2.四种命题的关系:
1

,其他情形

; .

时,“ p 或 q ”复合形式的命题为假,其他情形

高中数学知识点梳理

原命题为真,它的逆命题 原命题与它的逆否命题同 3.命题的否定:

、否命题

、逆否命题 .



、否命题与逆命题同

6.反证法:欲证“若 p 则 q ”为真命题,从否定其 判定原命题为真,这样的方法称为反证法. 7.1)短语“对所有的” “对任意一个”在逻辑中通常叫做

出发,经过正确的逻辑推理导出矛盾,从而

,并用符号“

”表示,含有全称

量词的命题叫做全称命题。如: 对于任意的 n ? Z ,2n ? 1是奇数 。 2)短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做 在量词的命题叫做特称命题。如:有的平行四边形是菱形 。 8.含有一个量词的命题的否定: 全称命题 p : ?x ? M , p( x), 它的否定 ?p : ; 。 ,并用符号“ ”表示,含有存

特称命题 p : ?x0 ? M , p( x0 ), 它的否定 ?p : 9.充要条件 (1)条件 ①如果 p ? q ,则 p 叫做 q 的 ②如果 q ? p ,则 p 叫做 q 的 ③如果 p ? q 且 q ?? p ,则 p 叫做 q 的 ④如果 p ? q 且 q ? p ,则 p 叫做 q 的 (2)集合与条件的关系: 设集合 A ? x | x满足条件p , B ? x | x满足条件q ,则有: ①若 A ? B, ,则 p 是 q 的 条件, q 叫做 p 的 条件, q 叫做 p 的

条件. 条件.[来 条件.

条件, q 叫做 p 的 条件.

?

?

?

?

条件;若 A ? ? B, ,则 p 是 q 的 条件;若 B ? ? A, ,则 p 是 q 的 条件

条件;

②若 B ? A, ,则 p 是 q 的 ③若 A ? B, 则 p 是 q 的 三.基础练习

条件;

i s ? ?n i s 1.已知命题 p : “n
A.必要不充分条件

? ,且 cos? ? cos ? ” ,命题 q : “? ? ? ” 。则命题 p 是命题 q 的(
B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分与不必要条件

)

2

高中数学知识点梳理

2.命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为 A.对任意 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 C.存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0

( B.不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 D.存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0



3.设 a, b ? R , 则 “ (a ? b)a 2 ? 0 ”是“ a ? b ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件





4.已知集合 M = x ? 3 ? x ? 1 , N = ?? 3,?2,?1,0,1?, 则 M ? N = A. ?? 2,?1,0,1? B. ?? 3,?2,?1,0? C. ?? 2,?1,0? D. ?? 3,?2,?1?

?

?





5.设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则 A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B





6.已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B ={2,3} ,则 CU ( A ? B) = A. {1,3, 4} B. {3, 4}
2

( D. {4} ( D.{-1,,0,1} ( D.16



C. {3}

7.已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {x | x ? n , n ? A} ,则 A A.{0} B.{-1,,0}

B?



C.{1,4}

8.若集合 A ? {1,2,3}, B ? {1,3,4} ,则 A ? B 的子集个数为 A.2 B.3 C.4



9.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? R}, B ? {x | 0 ? x ? 5, x ? N} ,则满足条件 A ? C ? B 的集合

C 的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知集合 A ? x ? R 3 x ? 2 ? 0 , B ? x ? R ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,则 A A. (??, ?1) B. ( ?1, ? )





?

?

?

?

B=
D. (3, ??)





2 3

C. (? ,3)

2 3

四.典型例题 例 1. 设命题 p 和 q ,在下列结论中,正确的是 ① " p ? q" 为真是 " p ? q" 为真的充分不必要条件; ③ " p ? q" 为真是 " ? p" 为假的必要不充分条件; A. ①② B. ①③





② " p ? q" 为假是 " p ? q" 为真的充分不必要条件; ④ " ? p" 为真是 " p ? q" 为假的必要不充分条件.

C. ②④

D. ③④
3

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例 2.集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0} , B ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 A A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1}

B 等于
D. {x |1 ? x ? 2}





C. {x |1 ? x ? 2}

例 3.已知命题 p : ?x ? R , 2 x ? 3x ;命题 q : ?x ? R , x 3 ? 1 ? x 2 ,则下列命题中为真命题的是: A. p ? q B. ?p ? q C. p ? ?q D. ?p ? ?q





例 4.在一次跳伞训练中,甲、 乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( ) A. (?p) ∨ (?q) B. p ∨ (?q) C. (?p) ∧ (?q) D. p ∨ q

例 5.下列命题中正确的是 A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B. “ sin ? ?





1 ? ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 6 2

C. l 为直线, ? , ? 为两个不同的平面,若 l ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 l ∥ ? D.命题“ ?x ? R, 2x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2 0 ? 0 ”
x

例 6.若集合 P ? {1,2,3,4}, Q ? {x 0 ? x ? 5, x ? R}, 则 A. “ x ? P ”是“ x ? Q ”的充分条件但不是必要条件 C. “ x ? P ”是“ x ? Q ”的充要条件





B. “ x ? P ”是“ x ? Q ”的必要条件但不是充分条件

D. “ x ? P ”既不是“ x ? Q ”的充分条件也不是“ x ? Q ”的必要条件

五.课后练习 1.命题“若 f ? x ? 是奇函数,则 f ? ? x ? 是奇函数”的否命题是 A.若 f ? x ? 偶函数,则 f ? ? x ? 是偶函数 C.若 f ? ? x ? 是奇函数,则 f ? x ? 是奇函数
2 2





B.若 f ? x ? 不是奇函数,则 f ? ? x ? 不是奇函数 D.若 f ? ? x ? 不是奇函数,则 f ? x ? 不是奇函数

2.设集合 S ? {x | x ? 2 x ? 0, x ? R} , T ? {x | x ? 2x ? 0, x ? R} ,则 S A. {0} B. {0, 2} C. {?2, 0}

T?
D. {?2, 0, 2}





3. " a ? 3" 是直线 ax ? 2 y ? 2a ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? (a ? 7) ? 0 平行的

(

)

4

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A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

4.集合 U ? ?, ?, ?, ?, ?, ?? , S ? ?, ?, ?? , T ? ?, ?, ?? ,则 S ? (CU T ) 等于 A. ?, ?, ?, ??

?

?

?

?

B. ?, ??

?

C. ??

?

D. ?, ?, ?, ?, ?? ( D. {2,3, 4,5} ( D. ??1, 0,1? ( D. ?0,1? ( D.(-2,1] ( D.[-2,1] ( D. x 0 ? x ? 1 ) ) ) ) ) )

?

5.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1,2} , B ? {2,3, 4} ,则 B ? (CU A) = A. {2} B. {3, 4} C. {1, 4,5}

6.已知集合 A ? ??1, 0,1? , B ? ? x | ?1 ? x ? 1? ,则 A A. ?0? B. ??1, 0?

B?

C. ?0,1?

7.已知 A ? ? x | x ? 1 ? 0? , B ? ??2, ?1, 0,1? ,则 (CR A) ? B ? A. ??2, ?1? B. ??2? C. ??1, 0,1?

8.设集合 S ? x x ? ?2 , T ? x ? 4 ? x ? 1 ,则 S ? T = A. [-4,+∞) B.(-2, +∞) C.[-4,1]

?

?

?

?

9.已知集合 A ? x ? R x ? 2 , B ? x ? R x ? 1 , 则 A ? B = A. (??, 2] B.[1,2] C.[-2,2]

?

?

?

?

10.若集合 A ? {x | ?1 ? 2 x ? 1 ? 3} , B ? {x | A. {x | ?1 ? x ? 0} B. {x | 0 ? x ? 1}

x?2 ? 0} ,则 A ? B ? x
C. {x | 0 ? x ? 2}

?

?


11.设集合 A ? x | x ? a ? 1, x ? R , B ? ?x |1 ? x ? 5, x ? R? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( A. ?a | 0 ? a ? 6? B. ?a | a ? 2, 或a ? 4? C. ?a | a ? 0, 或a ? 6? D. ?a | 2 ? a ? 4? . .

?

?

12.1) p : ?x ? 1, log2 x ? 0, 则?p 为 2) p : 存在x ? Z , 使得x ? 2 x ? m ? 0, 则?p为
2

5



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