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高三一轮复习导学案(数学理)17 第3章 三角形中的有关问题



高三数学理科复习 17——三角形中的有关问题
【高考要求】 :解三角形(正弦定理、余弦定理及其应用)(B) 【教学目标】 掌握正弦定理,能用正弦定理解三角形. : 掌握余弦定理,能用余弦定理解三角形. 运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题. 【教学重难点】 :正、余弦定理的理解和应用 【知识复习与自学质疑】 一、问题 1、正弦定理的内容是

什么?它有哪些变形?能解决三角形当中什么样的问题? 2、余弦定理的内容是什么?它有哪些变形?能解决三角形当中什么样的问题? 3、你了解方向角、方位角、仰角、俯角、坡度、坡角等名词吗? 二、练习 1、在 ? ABC 中,若 a ? 5, b ? 15, A ? 300 ,则 c ? 2、在 ? ABC 中,下列三角函数式:

(1) sin( A ? B ) ? sin C ;(2) cos( B ? C ) ? cos A; A? B C B?C A 其中恒为定值的是 (3) tan( ) ? tan ;(4) cos( ) ? cos . 2 2 2 2
0

3、在 ? ABC 中,若 A ? 60 ,边 AB 的长为 2, ? ABC 的面积为 4、关于 x 的方程 x ? x cos A cos B ? cos
2 2

3 ,则 BC= 2

C ? 0 有一个根为 1,则 ? ABC 一定是 2

三角形 5、在 ? ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc, 2b ? 3c, a ? 3 19 ,则 ? ABC 的面积为
2 2 2

6、在 ? ABC 中,已知 A ? 60

0

, b ? 1, S? ABC ? 3 ,则

a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

二、 【例题精讲】 例 1、已知下列三角形中的两边及一边的对角,先判断三角形是否有解?有解的作出解答 (1) a ? 7, b ? 8, A ? 105
0

(2) a ? 10, b ? 20, A ? 80

0

(3) b ? 10, c ? 5 6, C ? 600

(4) a ? 2 3, b ? 6, A ? 300

例 2、在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边 a, b, c 成等比数列 (1)求证: 0 ? B ?

?
3

; (2)求 y ?

1 ? sin 2 B 的取值范围 sin B ? cos B

1

例 3、在 ? ABC 中,已知 (a 的形状

2

? b2 )sin( A ? B) ? (a2 ? b2 )sin( A ? B) ,试判断该三角形

例 4、在海岸 A 处,发现北偏东 45 方向,距离 A 处
?

?

?

3 ? 1 海里的 B 处有一艘走私船。在
?

?

A 处北偏西 75 的方向。距离 A 处 2 海里 C 处的缉私艇奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走 私船。此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜。问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船?

例 5、如图,在半径 R、圆心角为 60 的扇形 AB 弧上任取一点 P,作扇形的内接矩形 PNMQ, 使点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,求这个矩形面积的最大值及相应的 ?AOP 的值。

?

三、 【矫正反馈】

c 的范围是 b 2、 (1)在 ? ABC 中,若 cos A cos B ? sin A sin B ,则 ? ABC 是 三角形 (2)在 ? ABC 中,若 1 ? tan A tan B ? 0 ,则 ? ABC 是 三角形 (3)在 ? ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 ? ABC 是 三角形
1、在锐角 ? ABC 中,若 C=2B,则 3、在 ? ABC 中,已知 b ? c ? 1, C

? 450 , B ? 300 ,则 b ?
2

4、在等腰三角形 ABC 中,若顶角 A 的余弦值为 ? 5、在 ? ABC 中,若 sin A ? cos A ?

3 ,则其底角 B 的正弦值为 5

2 , AC ? 2, AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ? ABC 的面积 2

6、满足条件 AB ? 2, AC ? 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值 7 、 在 三 角 形 ABC 中 三 个 角 A , B , C 的 对 边 边 长 分 别 为 a ? 3, b ? 4, c ? 6, 则b cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为 8、如图,建筑物 AB 高 4m。另一个建筑物 CD 与 AB 的水平 距离 BC 为 5m。现在 AB 的顶部 A 测得 CD 的视角为 60 , 则 CD 的高(精确到 0.01m)为 9、隔河看到两目标 A,B,但不能到达,在岸边选取相距 3 公里的 C,D 两点。并测得 求目标 A,B ?ACB ? 75? , ?BCD ? 45? , ?ADC ? 30? , ?ADB ? 45? (A,B,C,D 在同一平面)。 之间的距离。
?

【迁移应用】 1、在 ? ABC 中,若 a, b, c 成等比数列,且 a (1)角 A 的度数 (2)
2

? c2 ? ac ? bc ,试求:

b sin B 的值 c

2、在 ? ABC 中,若 (1)求角 B 的大小

cos B b ?? cos C 2a ? c
(2)若 b ?

13, a ? c ? 4 ,求 ? ABC 的面积

3

3、某观测站 C 在 A 城的南偏西 20 方向。由 A 城出发有一条公路,走向是南偏东 40 ,由 C 处测得与 C 相距 31 千米的 B 处,有一个人正在沿公路向 A 走去,走了 20 千米后到 D 处。 此时 CD 间的距离是 21 千米。问此人还要走多少千米就可到达 A 城?

?

?

4



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