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山西省忻州一中2014-2015学年高二下学期期中考试数学文试卷


2014-2015 学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学(文)
命题人:李德亭 1.考生务必用 0.5mm 黑色中性笔答题. 2.请把答案做在答题卡上,交卷时只交答题卡,不交试题,答案写在试题上无效。 3.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2 ?1},则(CUM)∪(CUN)=
x

(

)

A.(-1,2) C.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-∞,2] D.(-∞,-1]∪[2,+∞)

2.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直 线 b∥平面?,直线 a? 平面?,则直线 b∥直线 a”,结论显然是错误的,这是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 B.小前提错误 D.非以上错误 )

3.设函数 f ' ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数, y ? f ' ? x ? 的图象如图所示,则 y ? f ? x ? 的图象最

有 (

可 )







4.右图是计算 1+3+5+?+99 的值的算法程序框图, 那么在空白的判断框中,应该填入下面四 个选项中的 A.i≤101 C.i≤97 ( ) B.i≤99 D.i≤50 开始 i=1 S=0
Y

i=i+2 S=S+i

N 输 出S 结束

5.若函数 f(x)= 3cos(2x+?)-sin(2x+?)的图象关于直线 x=0 对称,则?= ? A.?=k ?- (k ? Z) 3 ? C.?=k ?+ (k ? Z) 3 ? B.?=k ?- (k ? Z) 6 ? D.?=k ?+ (k ? Z) 6

(

)

1 3 1 → 2 → → → → → 6.已知| a |=2| b |,| b |≠0,且关于 x 的函数 f(x)= x + | a |x + a ? b x 在 R 上有极值,则 3 2 → → a 与 b 的夹角范围为 A. [0, ( B. ( )

?
6

)

?
3

,? ]

C. (

? 2?
3 , 3

]

D. (

?
6

,? ]
)

7.已知椭圆 A.
5 4

3 x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0)离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为( 2 2 a b a b 2 B. 5 C. D. 5 3 2 4

8.设某大学的女生体重(单位:kg)与身高(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本 数据( xi , yi ) (i=1,2,?,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为:

? y =0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是
A.与具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg D.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg

(

)

→ → 9.掷两次骰子得到的点数分别为和,记向量 a =(m,n)与向量 b =(1,?1)的夹角为 θ ,则 θ ∈ ? (0, ]的概率是 2 5 A. 12 1 B. 2
2

( 7 C. 12 5 D. 6

)

10.斜率为 2 的直线 L 经过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,且交抛物线与 A、B 两点,若 AB 的中点到抛物线准线的距离 1,则 P 的值为 A.1 4 B. 5 3 C. 5 2 D. 5 ( )

1 3 5 2 185 1 4 11.已知 P(m,n)(m>0,n>0)是 f(x)= x ﹣ x ﹣x+ 在点 x=5 处的切线上一点,则 + 的最小值是 3 2 6 m n ( )

A.

9 10

B.

19 21

C.

10 11

D.

11 10
x x

12.函数 f(x)的定义域为 R,f(0)=2,对任意 x ? R,f(x)+ f ?(x)>1,则不等式 e f(x)> e +1, 的解集是 A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x| x<?1 或 x>1} ( )

D.{x| ?1<x<1 }

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分, 13.在极坐标系(ρ , ? ) ( 0 ? ?<2? )中,曲线 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 与

? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 的交点的极坐标为
(1?i) ?3(1?i) 14.已知复数 z= 则 z 的共轭复数 z = 2?i
2

. .

15.给出下列等式: 2 =2cos

?
4

, 2 ? 2 =2cos

? , 8
.

2 ? 2 ? 2 =2cos

?
16

,?,请从中归纳出第 n 个等式是

3 2 4 16.已知函数 f(x)=x +ax ? a(a∈R) ,若存在 x0,使 f(x)在 x=x0 处取得极值,且 f(x0)=0, 3

则 a 的值为

.

三、解答题:(解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知等差数列 {an } 中,公差 d ? 0, 又 a2 ? a3 ? 45, a1 ? a4 ? 14 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)记数列 bn ?

1 ,数列 {bn } 的前项和记为 S n ,求 S n an ? an ?1

18.(本小题满分 12 分) 在 Δ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小; ? (2)求 3sinA?cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4 2 ? ?x=3? 2 t 19.(本题满分 12 分)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为? (为参数) ,在 2 ?y= 5+ 2 t ?

极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的方程为?=2 5sin ?. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5) ,求|PA|+|PB|.

20.(本小题满分 12 分)如图,△ABC 中,AC=BC= ABED⊥底面 ABC,若 G,F 分别是 EC,BD 的中点.

2 AB,ABED 是边长为 1 的正方形,平面 2

(1)求证:GF∥底面 ABC; (2)求证:AC⊥平面 EBC; (3)求几何体 ADEBC 的体积 V.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=aln(1+x)+x ?10x
2

⑴若 x=3 是该函数的一个极值点,求函数 f(x)的单调区间; ⑵若 f(x)在[1,4]上是单调减函数,求 a 的取值范围.

y x 3 1 22.(本小题满分 12 分)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P( ,1),且离心率 e= . a b 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; → 1→ (2)若 F1、F2 为椭圆的上下两个焦点,A、B 为椭圆的两点,且AF1= BF2,求直线 AF1 的斜率. 2 3 附加题:1.(5 分)函数 y=x -2x+2 过点 P(2,6)的切线的斜率为 . 2.(5分)若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线=-2对称,则 f ( x) 的最大值
2 2

2

2



. → → → → → → → → → → 3.(5 分)已知| a |=3,| b |=2, a 与 b 的夹角为 60°, c = a + b , d =m a -6 b (m

→ → → → ∈R).若 c ∥ d ,| c + d |=

.

2014-2015 学年度第二学期期中考试试题 高 二 数 学(文) 答案 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) DACDDB BCCBAA

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分, ? 13.(1,2) 14. 1+i 15. ? 2+ n2 + 2+?=2cos n+1 个根号 2

16. a=±3 三、解答题:(解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17.解: (1)? a 2 ? a3 ? a1 ? a 4 ? 14, a 2 a3 ? 45, 且d ? 0,

? a 2 ? 5, a3 ? 9

? d ? 4, a1 ? 1
? a n ? 1 ? (n ? 1)4 ? 4n ? 3
(2? bn ? ????????6 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) a n a n ?1 (4n ? 3)(4n ? 1) 4 4n ? 3 4n ? 1
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ....... ? ? ) 4 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 1 1 n ????????12 分 ? (1 ? )? 4 4n ? 1 4n ? 1

bn的前n项和S n ?

18.解: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以

sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ?
(II)由(I)知 B ?

?
4

3? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2sin( A ? ) 取最大值 2. 6
综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?

?

?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

19. 【命题意图】本小题主要考察直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等 基础知识,考察运算求解能力. 解: (1)由?=2 5sin ?得 x +y ?2 5y=0,x +(y? 5) =5.
2 2 2 2

??4 分 2 2 2 2 t) +( t) =5 2 2

(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程得:(3? 即 t ?3 2t+4=0,由于 Δ =(3 2) ?4?4=2>0,
2 2

故可以设 t1,t2 是上述方程得根,所以 t1+t2=3 2,t1t2=4, 又直线 l 过点 P(3, 5),故由上式及 t 的几何意义得: |PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 20[解](1)证明:连接 AE,如下图所示. ∵ADEB 为正方形, ∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 的中点, 又 G 是 EC 的中点, ∴GF∥AC,又 AC? 平面 ABC,GF?平面 ABC, ∴GF∥平面 ABC. (2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB, 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,平面 ABED∩平面 ABC=AB,EB? 平面 ABED, ∴BE⊥平面 ABC,∴BE⊥AC. 又∵AC=BC=
2 2

??8 分

??12 分

2 AB, 2
2

∴CA +CB =AB , ∴AC⊥BC. 又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面 BCE. (3)取 AB 的中点 H,连 GH,∵BC=AC= 2 2 AB= , 2 2

1 ∴CH⊥AB,且 CH= ,又平面 ABED⊥平面 ABC 2 1 1 1 ∴GH⊥平面 ABCD,∴V= ?1? = . 3 2 6 21.(本小题满分 12 分) 解:⑴∵ f ' ? x ? ? ∴ f ' ?3? ?

a ? 2 x ? 10 1? x

????????????????1 分

a ? 6 ? 10 ? 0 因此 a ? 16 4

???????????2 分 ?????3 分 ????4 分

∴ f ? x ? ? 16 ln ?1 ? x ? ? x 2 ? 10 x ,其定义域为 ?? 1,?? ?

f ' ?x ? ?

16 2 x 2 ? 4 x ? 3 2? x ? 1? ? ? x ? 3? ? 2 x ? 10 ? ? 1? x 1? x 1? x

?

?

当 f ' ? x ?>0 ,即 ? 1<x<1 ,或 x>3 时,函数 f ? x ? 单调递增 当 f ' ? x ?<0 ,即 1<x<3 时,函数 f ? x ? 单调递减

1? ,(3,+∞),单调递减区间为(1,3) ∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ?? 1,
⑵∵ f ? x ? 在 ?1, 4? 上是单调减函数 ∴ f ' ?x ? ?

6分

a 2 x 2 ? 8 x ? a ? 10 ? 2 x ? 10 ? ? 0 在 ?1, 4? 上恒成立 ?7 分 1? x 1? x
??????????8 分

∴ 2 x 2 ? 8 x ? a ? 10 ? 0 在 ?1, 4? 上恒成立 ∴ a ? [?(2 x ? 8 x ? 10)] min
2 2

????????????????9 分 ??????????11 分

∵在 ?1, 4? 上, 10 ? ?(2 x ? 8 x ? 10) ? 18 ∴ a ? 10

??????????????????????12 分

9 c 1 1 4 2 2 2 22.解:(1)由题意知 = , 2+ 2=1,又 a =b +c , a 2 a b ∴a=2,b= 3,c=1 y x 故所求的椭圆方程为 + =1 4 3 (2)延长 AF1 交椭圆 B′ → → 由对称性可知 BF2=F1B′ ??(8 分)
2 2

??(4 分) ?? (6 分)

→ 1 → 设 A(x1,y1),B′(x2,y2) AF1= F1B′ ∴x2=-2x1① 2 当直线 AB′斜率不存在时,不符合 当直线 AB′斜率存在时,设直线 AF1 的斜率为 k,又 F1(0,1)

∴直线 AF1:y=kx+1

联立

y=kx+1 y x + =1 4 3
2 2

消去 y,得(3k +4)x +6kx-9=0 x1x2= -9 ③ 2 3k +4

2

2

∴x1+x2=

-6k ② 2 3k +4

2 由①②③得 k=± 5 5
3

2 故直线 AB 的斜率为± 5????????..?..(12 分) 5 .1 或 10

附加题:1.(5 分)函数 y=x -2x+2 过点 P(2,6)的切线的斜率为
2 2

2.(5分)若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线=-2对称,则 f ( x) 的最 大值是______.16 【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题. 【解析】由 f ( x) 图像关于直线=-2 对称,则
2 2 0= f (?1) ? f (?3) = [1 ? (?3) ][(?3) ? 3a ? b] , 2 2 0= f (1) ? f ( ?5) = [1 ? (?5) ][(?5) ? 5a ? b] ,解得=8, =15,

∴ f ( x) = (1 ? x )( x ? 8 x ? 15) ,
2 2

∴ f ?( x) = ?2 x( x ? 8 x ? 15) ? (1 ? x )(2 x ? 8) = ?4( x ? 6 x ? 7 x ? 2)
2 2 3 2

= ?4( x ? 2)( x ? 2 ? 5)( x ? 2 ? 5) 当∈(-∞, ?2 ? 5 )∪(-2, ?2 ? 5 )时, f ?( x) >0, 当∈( ?2 ? 5 ,-2)∪( ?2 ? 5 ,+∞)时, f ?( x) <0, ∴ f ( x) 在(-∞,?2 ? 5 )单调递增,在( ?2 ? 5 ,-2)单调递减,在(-2,?2 ? 5 ) 单 调 递 增 , 在 ( ?2 ? 5 , + ∞ ) 单 调 递 减 , 故 当 = ?2 ? 5 和 = ?2 ? 5 时 取 极 大 值 ,

f (?2 ? 5) = f (?2 ? 5) =16.
→ → → → → → → → → → 3.(5 分) 已知| a |=3,| b |=2, a 与 b 的夹角为 60°, c = a + b , d =m a -6 b (m → → → → ∈R).若 c ∥ d ,| c + d |= .

[解析]:∵c∥d,∴存在惟一实数 λ 使得 c=λ d,即 a+2b=λ (ma-6b),

?λ m=1 ? ∴? ?-6λ =2 ?

1 ? ?λ =- 3 ,解得? ? ?m=-3

.

∴d=-3a-6b,∴c+d=-2a-4b, ∴|c+d| =|-2a-4b| =|2a+4b| =4a +16a?b+16b =4?9+16?3?2?cos60°+16?4=148, ∴|c+d|=2 37.
2 2 2 2 2


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