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高一函数解析式常用的方法



求函数解析式常用的方法
泸西一中 高兴娟

求函数解析式常用的方法有:待定系数法、换元法、配凑法、 消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 (一)待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所 求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数 的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着 十分重要的角

色。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求 函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 例 1: 已知 f ( x) 是二次函数, 若 f (0) ? 0, 且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 试求 f ( x) 的表达式。 解析:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 由 f (0) ? 0, 得 c=0 由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 得 (a ? 0)

a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? ax2 ? bx ? c ? x ? 1
整理得

ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c ? ax2 ? (b ? c) x ? c ? 1
1 ? ?a ? 2 ? 2a ? b ? b ? 1 ? 1 ? ? ?a ? b ? c ? c ? 1 ? ?b ? 2 ?c ? 0 ? ? ?c ? 0 ? ? 1 1 ? f ( x) ? x 2 ? x 2 2



小结:我们只要明确所求函数解析式的类型,便可设出其函数解析式, 设法求出其系数即可得到结果。类似的已知 f(x)为一次函数时,可设 f(x)=ax+b(a≠0);f(x)为反比例函数时,可设 f(x)= 二次函数时,根据条件可设 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

k (k≠0);f(x)为 x

(二)换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不 知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问 题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注 意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。 例 2:已知 f ( x ?1) ? x ? 2 x ?1, 求 f ( x) 的解析式。 解析:如果把 x ? 1 视为 t ,那左边就是一个关于 t 的函数 f (t ) , 只要在等式 x ? 1 ? t 中,用 t 表示 x ,将右边化为 t 的表达式,问题 即可解决。 令 x ?1 ? t

x?0 ?t ? 1 ? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? 1 ? t 2 ? f ( x) ? x 2 ( x ? 1)
小结:①已知 f[g(x)]是关于 x 的函数,即 f[g(x)]=F(x),求 f(x)的解析 式,通常令 g(x)=t,由此能解出 x=(t),将 x=(t)代入 f[g(x)]=F(x)中,求 得 f(t)的解析式,再用 x 替换 t,便得 f(x)的解析式。 注意:换元后要确定新元 t 的取值范围。

②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的 解题方法,它的基本功能是:化难为易、化繁为简,以快速实现未知向已知 的转换,从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的,如局部换 元、整体换元、三角换元、分母换元等,它的应用极为广泛。

(三)配凑法 已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,要求 f ( x) 的解析式时,若
f [ g ( x)] 表达式右边易配成 g ( x) 的运算形式,则可用配凑法,使用

配凑法时,要注意定义域的变化。 例 3:已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求 f ( x) 的解析式。 分析:

x ? 2 x 可配凑成

? 可用配凑法
解:由 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? ( x ?)2 ?1 令 t ? x ?1
x?0 ?t ? 1

则 f (t ) ? t 2 ?1 即 f ( x) ? x2 ?1( x ? 1) 当然,上例也可直接使用换元法 令 t ? x ?1 则 t ? x ?1

x ? (t ? 1)2 得 ? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1
即 f ( x) ? x2 ?1( x ? 1)

由此可知,求函数解析式时,可以用配凑法来解决的,有些也 可直接用换元法来求解。 1 1 例 4:已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 , 求 f ( x) . x x 分析:此题直接用换元法比较繁锁,而且不易求出来,但用配 凑法比较方便。 1 1 1 解析:由 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ? ( x ? ) 2 ? 2 x x x 1 令 t ? x ? ? x 2 ? tx ? 1 ? 0 x 由 ? ? 0 即 t2 ? 4 ? 0 得 t ? R

? f ( t ) ? 2t ? 2
即: f ( x) ? x2 ? 2( x ? R) 实质上,配凑法也缊含换元的思想,只是不是首先换元,而是 先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来,在通 过整体换元。和换元法一样,最后结果要注明定义域。 (四)消元法,此方法的实质是解函数方程组。 消元法适用的范围是:题高条件中,有若干复合函数与原函数
f ( x) 混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其

余部分。
1 例 5:设 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x) 的解析式。 x 1 分析:要求 f ( x) 可消去 f ( ) ,为此,可根据题中的条件再找一 x 1 个关于 f ( x) 与 f ( ) 的等式,通过解方程组达到消元的目的。 x 1 解析: f ( x) ? 2 f ( ) ? x ………………………① x 1 显然, x ? 0 ,将 x 换成 得 x 1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? ……………………………..② x x

1 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x ? ? x 由? ? f ( 1 ) ? 2 f ( x) ? 1 ? x ? x
1 消去 f ( ) ,得 x 1 2 f ( x) ? ? x ? 3 3x
小结:消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如 f(x)、 f ( ) ; 互为相反数,如 f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组 即得 f(x)的解析式。

1 x

(五)赋值法 赋值法是依据题条件的结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律 的方法。 其方法:将适当变量取特殊值,使问题具体化、简单化,依据 结构特点,从而找出一般规律,求出解析式。 例 5:已知 f (0) ? 1, f (a ? b) ? f (a) ? b(2a ? b ? 1), 求 f ( x) 。 解析:令 a ? 0, 则 f (?b) ? f (0) ? b(1 ? b) ? b2 ? b ? 1 令 ?b ? x 则 f ( x) ? x2 ? x ? 1
小结:①所给函数方程含有 2 个变量时,可对这 2 个变量交替用特殊 值代入,或使这 2 个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数,至 于取什么特殊值, 根据题目特征而定。 ②通过取某些特殊值代入题设中等式, 可使问题具体化、简单化,从而顺利地找出规律,求出函数的解析式。

总之,求函数解析式的常用方法有:配凑法、换元法、待定系数法、
消元法等。如果已知函数解析式的类型,可用待定系数法;已知复合函数解 析式时,可用换元法,这时要注意“元”的取值范围;当已知的表达式比较 简单时,可用配凑法;若已知抽象的函数表达式,根据题目的条件特征,可 用赋值法或解方程组消元的方法求解析式



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