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2013级泛函考试题word版



高等泛函分析,期末考试 1/10/2014 1(20 分)定义 V : L2 [0,1] ? L2 [0,1] 为 Vf ( x) ? ? f ( y )dy .
0 x

1)求 V 的 Hilbert 共轭算子 V * ; 2)求 V 的范数; 3)试证明 V 是紧算子; 4)求 V 的谱 ? (V) . 2(15 分)设 X 为 Banach 空间 X * 为 X 的对偶空间。设 T ? B( X ) ,定义
T d : X * ? X * 为 (T d f )(x) ? f (Tx) .

1)证明 T d 为 X * 的有界线性算子; 2)设 A 是 C n 上的 n ? n 矩阵,求 A' . 3(20 分)设 T 为 Hilbert 空间 H 上的正规算子,i.e. TT * ? T *T 1)证明 T ? ?I 为正规算子; 2)证明 Tx ? ?x 当且仅当 T * x ? ? x ,其中 ? 为 ? 的复共轭; 3)证明 T 的不同特征值对应的特征向量正交. 4(10 分)设 M 为 X 的线性子空间,则 M 在 X 中稠密当且仅当:如果 f ? X * 且

f |M ? 0 则 f ? 0 .
5(15 分)设 ( X , T ) 为局部凸向量空间,且其拓扑由一族半范数 P 决定,写出 X 在{0}处的邻域基,问 X 上的拓扑 T 与 X 上的弱拓扑哪个强,为什么? 6(10 分)设 X 为 Banach 空间, xn 弱收敛于 x0 ,证明 x n 为有界序列. 7(10 分)设 T ? B( X ) , T 为紧算子,证明 T 的特征值没有非零的聚点.



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