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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 生活中的优化问题举例


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§ 1.4

【学习要求】 1.了解导数在解决实际问题中的作用.
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2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 【学法指导】 1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想. 2.感受导数知识在解决实际问题中的作用,自觉形成将数 学理论与实际问题相结合的思想,提高分析问题、解决 问题的能力.

填一填· 知识要点、记下疑难点

§ 1.4

1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问
本 求函数最值 课 2.利用导数解决优化问题的实质是____________. 时 栏 3.解决优化问题的基本思路是 目 开 关

优化问题 题,这些问题通常称为__________.

数学建模 上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程.

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§ 1.4

探究点一
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面积、体积的最值问题

问题 如何利用导数解决生活中的优化问题? 答 (1)函数建模,细致分析实际问题中各个量之间的关

系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x, 把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x). (2)确定定义域,一定要从问题的实际意义去考察,舍去 没有实际意义的变量的范围. (3)求最值,此处尽量使用导数法求出函数的最值.

(4)下结论,回扣题目,给出圆满的答案.

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§ 1.4

例1

学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行

宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海 报,要求版心面积为128 dm2,上、下两边各空2 dm,左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺
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寸,才能使四周空白面积最小?

128 解 设版心的高为x dm,则版心的宽为 dm,此时四 x 周空白面积为
?128 ? S(x)=(x+4)? x +2?-128 ? ?

512 =2x+ x +8,x>0. 512 求导数,得S′(x)=2- 2 . x

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§ 1.4

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512 令S′(x)=2- 2 =0,解得x=16(x=-16舍去). x 128 128 于是宽为 x = 16 =8.

当x∈(0,16)时,S′(x)<0;当x∈(16,+∞)时,S′(x)>0. 因此,x=16是函数S(x)的极小值点,也是最小值点. 所以,当版心高为16 dm,宽为8 dm时,能使四周空白面积 最小.
答案 当版心高为16 dm,宽为8 dm时,海报四周空白面积 最小.

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§ 1.4

小结
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(1)在求最值时,往往建立函数关系式,若问题中给

出的量较多时,一定要通过建立各个量之间的关系,通过消 元法达到建立函数关系式的目的. (2)在列函数关系式时,要注意实际问题中变量的取值范 围,即函数的定义域.

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§ 1.4

跟踪训练1

如图,四边形ABCD是一块边长

为4 km的正方形地域,地域内有一条河流MD, 其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口 向右的抛物线(河流宽度忽略不计).新长城公
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司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN,问如何施工才能 使游乐园的面积最大?并求出最大面积.

解 以M为原点,AB所在直线为y轴建立直角坐 标系,则D(4,2).
设抛物线方程为y2=2px.
∵点D在抛物线上, 1 2 ∴2 =8p,解得p=2.

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§ 1.4

∴抛物线方程为y2=x(0≤x≤4).
设P(y2,y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点, 则|PQ|=2+y,|PN|=4-y2.
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∴矩形游乐园的面积为 S=|PQ|×|PN|=(2+y)(4-y2)=8-y3-2y2+4y. 求导得S′=-3y2-4y+4,令S′=0,得 2 2 3y +4y-4=0,解得y=3或y=-2(舍). ? 2? 当y∈?0,3?时,S′>0,函数S为增函数; ? ? ?2 ? 当y∈?3,2?时,S′<0,函数S为减函数. ? ?

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§ 1.4

2 ∴当y= 时,S有最大值,得 3 2 8 |PQ|=2+y=2+3=3,
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|PN|=4-y

2

?2? 32 ? ?2 = . =4- 3 9 ? ?

8 32 256 ∴游乐园最大面积为Smax=3× 9 = 27 (km2), 8 32 即游乐园的两邻边分别为3 km, 9 km时, 256 面积最大,最大面积为 27 km2.

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§ 1.4

探究点二
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利润最大问题

导引

(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般

比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

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§ 1.4

例2

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制

造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径,已知 每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制 作的瓶子的最大半径为6 cm.
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(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是 4 3 y=f(r)=0.2×3πr -0.8πr2 ?r3 ? 2 =0.8π? 3 -r ?,0<r≤6. ? ? 令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0. 当r=2时,f′(r)=0.

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§ 1.4

当r∈(0,2)时,f′(r)<0; 当r∈(2,6)时,f′(r)>0. 因此,当半径r>2时,
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f′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高; 半径r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减, 即半径越大,利润越低. ∴半径为2 cm时,利润最小, 这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值. 半径为6 cm时,利润最大.

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§ 1.4

小结
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解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条

件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有 (1)利润=收入-成本; (2)利润=每件产品的利润×销售件数.

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§ 1.4

跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日 的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关 a 系式y= +10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售 x-3
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价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使 商场每日销售该商品所获得的利润最大.
a 解 (1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,所以a=2. 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2, x-3

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§ 1.4

所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 f(x)=(x-3)[ +10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. x-3
从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
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=30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(3,4) +

4 0

(4,6) - 单调递减

单调递增 极大值42

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§ 1.4

由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也
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是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得

的利润最大.

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§ 1.4

探究点三 例3

费用(用材)最省问题

已知A、B两地相距200 km,一只船从A地逆水行驶到 B地,水速为8 km/h,船在静水中的速度为v km/h (8<v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的

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平方成正比,当v=12

km/h时,每小时的燃料费为720

元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?
解 设每小时的燃料费为y1,比例系数为k(k>0),
则y1=kv2,当v=12时,y1=720, ∴720=k· 2,得k=5. 12 设全程燃料费为y,由题意,得
200 1 000v2 y=y1· = , v-8 v-8

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§ 1.4

2 000v?v-8?-1 000v2 ∴y′= ?v-8?2
1 000v2-16 000v = . ?v-8?2 令y′=0,得v=16,∴当v0≥16, 即v=16 km/h时全程燃料费最省,ymin=32 000(元); 当v0<16,即v∈(8,v0]时,y′<0,

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即y在(8,v0]上为减函数,

1 000v2 0 ∴当v=v0时,ymin= (元). v0-8 综上,当v0≥16时,v=16 km/h全程燃料费最省,为32 000元;
1 000v2 0 当v0<16,即v=v0时全程燃料费最省,为 元. v0-8

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§ 1.4

小结 本题在解题过程中容易忽视定义域,误以为v=16时
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取得最小值.本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围 内.

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§ 1.4

跟踪训练3 现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船 的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约 为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,
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轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方、成正比(比例系数 为0.6),其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
500 480 000 2 解 (1)依题意得y= (960+0.6x )= +300x,且由 x x 题意知,函数的定义域为(0,35],
480 000 即y= +300x(0<x≤35). x

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§ 1.4

480 000 (2)由(1)知,y′=- +300,令y′=0, x2
解得x=40或x=-40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35],
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所以函数在定义域内没有极值点. 又当0<x≤35时,y′<0, 480 000 所以y= +300x在(0,35]上单调递减, x 480 000 故当x=35时,函数y= +300x取得最小值. x 故为了使全程运输成本最小,轮船应以35海里/时的速度行 驶.

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§ 1.4

1.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为
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( A ) A.4 B.6 C.4.5 D.8

解析 设底面边长为x,高为h, 256 2 则V(x)=x · h=256,∴h= x2 , 256 2 4×256 2 2 ∴S(x)=x +4xh=x +4x·x2 =x + x , 4×256 ∴S′(x)=2x- x2 . 256 令S′(x)=0,解得x=8,∴h= 82 =4.

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§ 1.4

2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与 存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款 的利率为0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出
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去.设存款利率为x,x∈(0,0.048 6),若使银行获得最大 收益,则x的取值为 A.0.016 2 C.0.024 3 B.0.032 4 D.0.048 6 ( )

解析 依题意,得存款量是kx2,银行支付的利息是kx3, 获得的贷款利息是0.048 6kx2,其中x∈(0,0.048 6).
所以银行的收益是y=0.048 6kx2-kx3(0<x<0.048 6), 则y′=0.097 2kx-3kx2.

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§ 1.4

令y′=0,得x=0.032 4或x=0(舍去). 当0<x<0.032 4时,y′>0;
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当0.032 4<x<0.048 6时,y′<0. 所以当x=0.032 4时,y取得最大值, 即当存款利率为0.032 4时,银行获得最大收益.
答案 B

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§ 1.4

3.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油 量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示 1 3 3 为y= x - x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相 128 000 80
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距100千米,当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地 到乙地耗油最少?最少为多少升?

100 解 当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,设耗油量为h(x)升, ? ? 1 3 100 1 2 800 3 ? ?× 依题意得h(x)= 128 000x -80x+8 x = 1 280 x + x ? ? 15 - (0<x≤120), 4 3 3 x 800 x -80 h′(x)=640- x2 = 640x2 (0<x≤120).

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§ 1.4

令h′(x)=0,得x=80. 因为x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
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x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数, 所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升). 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值. 答 汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最

少,最少为11.25升.

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§ 1.4

正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是解应用题的 主要思路.另外需要特别注意:(1)合理选择变量,正确给
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出函数表达式;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类 讨论思想的应用.


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