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高一数学“函数的基本性质“知识点及练习题(含答案)



函数的基本性质
1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数;如果对于函数 f(x) 定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数, 又是偶函数。 注意:

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 ○ 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: ○ 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条 件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ; 注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) ○ (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3) 设复合函数 y= f[g(x)], 其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间, B 是映射 g : x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增 函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减 函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ; 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:
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增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数;增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增 函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M) ○ 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值; ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= f(x),则称 f(x)为周 期函数; (2) 性质: ①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为 f(x) 2 2

的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是周期函数,且周期为

T |? |



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函数的基本性质
一、典型选择题 1.在区间 上为增函数的是( )

A.

B.

C.

D.

(考点:基本初等函数单调性) 2.函数 A. B. 是单调函数时, 的取值范围 ( C . ) D.

(考点:二次函数单调性) 3.如果偶函数在 具有最大值,那么该函数在 有 ( ) D. 没有最小值

A.最大值 B.最小值 (考点:函数最值) 4.函数 A.偶函数 (考点:函数奇偶性) 5.函数 A. 在 和 B. 都是增函数,若 , 是( B.奇函数 )

C .没有最大值

C.不具有奇偶函数 D.与

有关

,且 C.

那么( D.无法确定



(考点:抽象函数单调性) 6.函数 A. 在区间 是增函数,则 B. 的递增区间是 C. ( D. )

(考点:复合函数单调性) 7.函数 在实数集上是增函数,则( )

A.

B.

C.

D.

(考点:函数单调性) 8.定义在 R 上的偶函数 A. C. (考点:函数奇偶、单调性综合)
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,满足 B. D.

,且在区间

上为递增,则(



9.已知 A. C.

在实数集上是减函数,若 B. D.

,则下列正确的是





(考点:抽象函数单调性) 二、典型填空题 1.函数 在 R 上为奇函数,且 ,则当 , .

(考点:利用函数奇偶性求解析式) 2.函数 ,单调递减区间为 ,最大值和最小值的情况为 .

(考点:函数单调性,最值) 三、典型解答题 1.(12 分)已知 (考点:复合函数单调区间求法) ,求函数 得单调递减区间.

2.(12 分)已知



,求

.

(考点:函数奇偶性,数学整体代换的思想)

一、BAABDBAAD 二、1. 三、3. 解: 函数 故函数的单调递减区间为 4.解: 已知 中 .



2.

和 ,



; ,

为奇函数,即 ,得 ,

=

中 .

,也即



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