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江苏省镇江市扬中二中2014-2015学年高一上学期期末数学模拟试卷(一)


江苏省镇江市扬中二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学模拟 试卷(一)
一、填空题 1. (3 分)若角 120°的终边上有一点(﹣4,a) ,则 a 的值是 .

2. (3 分)函数 f(x)=

的定义域为.

3. (3 分)若函数 y=lnx+2x﹣6 的零点为 x0,则满足 k≤x0 的最大整数 k=. 4. (3 分)函数 的图象向右平移 个单位,再将图象上所有点的横坐标扩

大到原来的 3 倍(纵坐标不变) ,则所得图象的函数解析式子是.

5. (3 分)已知



,则 tan(2α﹣β)=.

6. (3 分)已知 cos(α﹣

)=﹣ ,α∈(0,

) ,则 cos(α+

)﹣sinα 的值是.

7. (3 分)f(x)=

sin2ωx+1(ω>0)在区间[﹣
2



]上为增函数,则 ω 的最大值为.

8. (3 分)已知 m>2,则函数 f(θ)=sin θ+mcosθ,θ∈R 的最大值 g(m)=. 9. (3 分)已知函数 loga 值为. 10. (3 分) 已知 y=f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时, ( f x) =1+2 , 则
x

(0<a<1)在区间(a,1)上的值域是(1,+∞) ,则实数 a 的

=.

11. (3 分)已知实数 m≠0,函数 则实数 m 的值为.

,若 f(2﹣m)=f(2+m) ,

12. (3 分)已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1, 则 a+b 的值为. 13. (3 分)给出下列命题: ①函数 y=cos( x+ )是奇函数;

2

②存在实数 x,使 sinx+cosx=2; ③若 α,β 是第一象限角且 α<β,则 tanα<tanβ; ④x= 是函数 y=sin(2x+ )的一条对称轴; 成中心对称.

⑤函数 y=sin(2x+

)的图象关于点

其中正确命题的序号为. 14. (3 分)若函数 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣x}(x≥0) ,则 f(x)的最大值是.
x

二、解答题: 15. (14 分) (1)已知角 α 终边经过点 P(x,﹣ 值. (2)已知 sin(3π﹣α)=﹣ π) ,求 α,β 的值. 16.已知 α∈( (1)求 sin( (2)求 cos( ,π) ,sinα= +α)的值; ﹣2α)的值. . cos( ﹣β) , sin( ﹣α)=﹣ cos(π+β) ,α,β∈(0, ) (x≠0) ,且 cosα= x.求 sinα+ 的

17.已知函数 (1)当 (2)当 时,若 时,求函数

. ,求函数 f(x)的值; 的值域;

(3)把函数 y=f(x)的图象按向量 平移得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)是偶函数, 写出 最小的向量 的坐标.

18. (16 分) 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用, 管理这些自行车的费用是每日 115 元. 根 据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每提 高 1 元,租不出去的自行车就增加 3 辆. 规定:每辆自行车的日租金不超过 20 元,每辆自行车的日租金 x 元只取整数,并要求出租所 有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用 y 表示出租所有自行车的日净收入(即 一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得) . (1)求函数 y=f(x)的解析式及定义域; (2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元? 19. (16 分)设函数 f(x)=ka ﹣a (a>0 且 a≠1)是奇函数. (1)求常数 k 的值; (2)若 a>1,试判断函数 f(x)的单调性,并加以证明; (3)若已知 f(1)= ,且函数 g(x)=a +a 2,求实数 m 的值. 20. (16 分)设 a 为实数,记函数 g(a) . (1)若 ,解关于求 x 的方程 f(x)=1; 的最大值为
2x
﹣2x

x

﹣x

﹣2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为﹣

(2)求 g(a) .

江苏省镇江市扬中二中 2014-2015 学年高一上学期期末数 学模拟试卷(一)
参考答案与试题解析

一、填空题 1. (3 分)若角 120°的终边上有一点(﹣4,a) ,则 a 的值是 4 . 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 利用任意角的三角函数的定义,求出它的正切值,即可得到 a 的值. 解答: 解:由题意可知:tan120°= ,所以 a=4

故答案为:4 点评: 本题是基础题,考查任意角的三角函数的定义,考查计算能力.

2. (3 分)函数 f(x)=

的定义域为(0,2)∪(2,3].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分母不为 0,偶次方非负,对数的真数为正数,得到不等式组,求解即可.

解答: 解:要使函数有意义,必须:

,解得 x∈(0,2)∪(2,3].

所以函数的定义域是: (0,2)∪(2,3]. 故答案为: (0,2)∪(2,3]. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,基本知识的考查. 3. (3 分)若函数 y=lnx+2x﹣6 的零点为 x0,则满足 k≤x0 的最大整数 k=2. 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数零点的判定定理即可得出. 解答: 解:∵f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3>0,∴函数 y=lnx+2x﹣6 的零点 x0∈(2,3) . ∴满足 k≤x0 的最大整数 k=2. 故答案为 2. 点评: 熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键.

4. (3 分)函数

的图象向右平移

个单位,再将图象上所有点的横坐标扩 .

大到原来的 3 倍(纵坐标不变) ,则所得图象的函数解析式子是

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 按照函数的图象平移的原则,左加右减、上加下减的方法,解出函数 的图象向右平移 (纵坐标不变) ,求出函数解析式. 解答: 解:函数 = 的图象向右平移 个单位,得到函数 个单位, 再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的 3 倍

,再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的 3 .

倍(纵坐标不变) ,则所得图象的函数解析式子是: 故答案为: .

点评: 本题考查三角函数的图象的变换,注意左加右减,上加下减的原则,注意 x 的系数, 考查计算能力.

5. (3 分)已知



,则 tan(2α﹣β)=1.

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 把已知的等式 的左边的分子利用二倍角的余弦函数公式及同角三角

函数间的基本关系化简后,即可得到 tanα 的值,然后把所求的式子中的角 2α﹣β 变为 α+(α ﹣β) ,利用两角和与差的正切函数公式化简,将各自的值代入即可求出值. 解答: 解:由 = =2tanα=1,

解得 tanα= ,又 tan(α﹣β)= ,

则 tan(2α﹣β)=tan[α+(α﹣β)]=

=

=1.

故答案为:1 点评: 此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求 值,灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值,是一道基础题.

6. (3 分)已知 cos(α﹣

)=﹣ ,α∈(0,

) ,则 cos(α+

)﹣sinα 的值是



考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式化简已知条件可得 cos( ﹣ < ﹣α<﹣ ,故 sin( ﹣α)= ﹣α)= < ,再由 α∈(0, ) ,可得

,要求的式子即 sin(

﹣α)﹣sinα,利用和

差化积公式求出它的值. 解答: 解:∵cos(α﹣ =﹣cos(α﹣ ∴cos( )= )=﹣ ,α∈(0, )= . ) ,∴cos(α﹣ )=﹣cos(α﹣ +π)

,cos(α﹣ . ﹣α>

﹣α)= <

再由 α∈ (0, ) , 可得

(舍去) , 或﹣



﹣α<﹣

, ∴sin (

﹣α) =



cos(α+

)﹣sinα=sin( .

﹣α)﹣sinα=2cos

sin

=

sin(

﹣α)=



故答案为:

点评: 本题主要考查两角和差的余弦公式的应用,同角三角函数的基本关系,以及诱导公 式、和差化积公式的应用,求出 sin( ﹣α)= ,是解题的难点.

7. (3 分)f(x)=

sin2ωx+1(ω>0)在区间[﹣



]上为增函数,则 ω 的最大值为 .

考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意可得可得﹣ 解答: 解:∵f(x)= 可得﹣ ?2ω≥2kπ﹣ ?2ω≥2kπ﹣ ,且 ?2ω≤2kπ+ , ,k∈z,求得 ω 的最大值. ]上为增函数,

sin2ωx+1(ω>0)在区间[﹣ ,且 ?2ω≤2kπ+ ,k∈z,

求得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 , 故答案为: . 点评: 本题主要考查求正弦函数的单调性,属于基础题. 8. (3 分)已知 m>2,则函数 f(θ)=sin θ+mcosθ,θ∈R 的最大值 g(m)=m. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 换元法可得 y=﹣t +mt+1,t∈[﹣1,1],结合 m>2 和函数的单调性可得当 t=1 时,函 数取最大值,代入计算可得. 2 解答: 解:由三角函数的知识可得 f(θ)=sin θ+mcosθ 2 =﹣cos θ+mcosθ+1,令 cosθ=t,则 t∈[﹣1,1] 2 可得函数化为 y=﹣t +mt+1,t∈[﹣1,1] 配方可得 y= ,
2 2

可知关于 t 的函数图象为开口向下,对称轴为 t= 的抛物线一段, 又 m>2,故
2

,故函数在[﹣1,1]单调递增,

故 g(m)=﹣1 +m×1+1=m 故答案为:m

点评: 本题考查二次函数的区间最值,利用三角函数的关系换元是解决问题的关键,属中 档题.

9. (3 分)已知函数 loga 值为 ﹣1.

(0<a<1)在区间(a,1)上的值域是(1,+∞) ,则实数 a 的

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,y=loga 域是(1,+∞) ,可得 loga 解答: 解:由题意,y=loga 在区间(a,1)上是增函数,利用函数在区间(a,1)上的值 =1,即可求出实数 a 的值. 在区间(a,1)上是增函数,

∵函数在区间(a,1)上的值域是(1,+∞) , ∴loga ∴
2

=1, =a,

∴a +2a﹣1=0, ∵0<a<1, ∴a= ﹣1, 故答案为: ﹣1. 点评: 本题考查对数函数的单调性,考查学生的计算能力,比较基础. 10. (3 分) 已知 y=f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时, f (x) =1+2 , 则 ﹣9. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 先根据已知条件把 =1+2 即可得到结论. 解答: 解:因为:log ∴
8 x x

=

转化为 f(﹣3) ;再结合奇函数以及 x>0 时,f(x)

=﹣3;

=f(﹣3) ;
x

∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=1+2 , 3 ∴f(﹣3)=﹣f(3)=﹣(1+2 )=﹣9. 故答案为:﹣9. 点评: 本题主要考察函数的奇偶性性质的应用.属于基础题目.

11. (3 分)已知实数 m≠0,函数

,若 f(2﹣m)=f(2+m) ,

则实数 m 的值为

和 8.

考点: 函数与方程的综合运用;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的解析式,可以确定 2+m 和 2﹣m 应该在两段函数上各一个,对 2+m 和 2﹣m 分类讨论,确定相应的解析式,列出方程,求解即可得到实数 m 的值. 解答: 解:∵ ,

∴f(x)在 x≤2 和 x>2 时,函数均为一次函数, ∵f(2﹣m)=f(2+m) , ∴2﹣m 和 2+m 分别在 x≤2 和 x>2 两段上各一个, ①当 2﹣m≤2,且 2+m>2,即 m>0 时, ∴f(2﹣m)=3(2﹣m)﹣m=6﹣4m,f(2+m)=﹣(2+m)﹣2m=﹣2﹣3m, ∵f(2﹣m)=f(2+m) , ∴6﹣4m=﹣2﹣3m, ∴m=8, ; ②当 2﹣m>2,且 2+m≤2,即 m<0 时, ∴f(2﹣m)=﹣(2﹣m)﹣2m=﹣2﹣m,f(2+m)=3(2+m)﹣m=6+2m, ∵f(2﹣m)=f(2+m) , ∴﹣2﹣m=6+2m, ∴m= . 和 8.

综合①②,可得实数 m 的值为 故答案为: 和 8.

点评: 本题考查了分段函数的解析式及其应用,考查了分段函数的取值问题,对于分段函 数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题.同时考查了函数的零点与方程根的关 系.函数的零点等价于对应方程的根,等价于函数的图象与 x 轴交点的横坐标,解题时要注意 根据题意合理的选择转化.属于中档题. 12. (3 分)已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1, 则 a+b 的值为 1. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 首先把函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a>0)转化为顶点式 g(x)=a(x﹣1) +1+b﹣a, 从而确定函数的对称轴方程 x=1,又因为 a>0,所以 x∈[1,+∞)为单调递增函数,函数在区 间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1,所以 g(2)=1,g(3)=4,进一步建立方程组求的结果. 2 解答: 解:函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b 转化为: 2 g(x)=a(x﹣1) +1+b﹣a ∴函数的对称轴方程 x=1, ∵a>0, ∴x∈[1,+∞)为单调递增函数 在区间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1, ∴

2

2



解得 ∴a+b=1 故答案为:1 点评: 本题重点考查的知识点:二次函数的顶点式与一般式的互化,单调性在函数值中的 应用,及相关的运算问题. 13. (3 分)给出下列命题: ①函数 y=cos( x+ )是奇函数;

②存在实数 x,使 sinx+cosx=2; ③若 α,β 是第一象限角且 α<β,则 tanα<tanβ; ④x= 是函数 y=sin(2x+ )的一条对称轴; 成中心对称.

⑤函数 y=sin(2x+

)的图象关于点

其中正确命题的序号为①④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质;简易逻辑. 分析: 利用诱导公式化简判断①;化积后求出 sinx+cosx 的最值判断②;举例判断③;分 别求解三角函数值判断④⑤. 解答: 解:对于①,∵y=cos( x+ ∴函数 y=cos( x+ )=﹣sin ,

)是奇函数,命题①正确; ,

对于②,∵sinx+cosx=

∴不存在实数 x,使 sinx+cosx=2,命题②错误;

对于③,α=60°,β=390°是第一象限角且 α<β,tanα>tanβ,命题③错误; 对于④,当 x= ∴x= 时,y=sin(2x+ )= ,

是函数 y=sin(2x+

)的一条对称轴; )= .

对于⑤,当 x= ∴x=

时,y=sin(2x+

是函数 y=sin(2x+

)的一条对称轴,命题⑤错误.

∴正确命题的序号为①④. 故答案为:①④. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了三角函数的图象和性质,是中档题. 14. (3 分)若函数 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣x}(x≥0) ,则 f(x)的最大值是 6. 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 画出 3 个函数:y=2 ,y=x+2,y=10﹣x 的图象, x 取 3 个图象中下方的部分,可得函数 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣x}的图象,观察最大值的位 置,通过求函数值,解出最大值. 解答: 解:∵min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,∴画出 3 个函数:y=2 ,y=x+2, y=10﹣x 的图象, 取 3 个图象中下方的部分,可得函数 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣x}的图象:
x x x x

观察图象可知,当 0≤x≤2 时,f(x)=2 , 当 2≤x≤4 时,f(x)=x+2, 当 x>4 时,f(x)=10﹣x, f(x)的最大值在 x=4 时取得为 6, 故答案为:6. 点评: 本题考查了函数最值问题,利用数形结合可以很容易的得到最大值. 二、解答题: 15. (14 分) (1)已知角 α 终边经过点 P(x,﹣ 值. ) (x≠0) ,且 cosα= x.求 sinα+ 的

x

(2)已知 sin(3π﹣α)=﹣ π) ,求 α,β 的值.

cos(

﹣β) ,

sin(

﹣α)=﹣

cos(π+β) ,α,β∈(0,

考点: 同角三角函数基本关系的运用;任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)由于 cos = x.可解得 x= ,r=2 ,由三角函数的定义,

即可求出 sinα+

的值. sinβ, cosα= sinβ,可解得 cosβ= ,由 α,β∈(0,

(2)由诱导公式化简可得 sinα= π) ,从而可求 α,β 的值. 解答: 解: (1) (满分 14 分) ∵P(x,﹣ ) (x≠0) , ∴点 P 到原点的距离 r= 又 cosα= x.∴cos =

x.

∵x≠0,∴x= ,∴r=2 当 x= 时,P 点坐标为( 由三角函数的定义, 有 sin α=﹣ ∴sinα+ 当 x=﹣ , =﹣ 时, = ﹣ =﹣

…(6 分) ,﹣ ) ,

, ;…(10 分)

同样可求得 sin α+

…(14 分) . cos( ﹣β) , cosα= sin( ﹣α)=﹣ cos(π+β) ,

(2)∵sin(3π﹣α)=﹣

∴由诱导公式化简可得 sinα= ∴两边平方后相加可得:1=2 ∵α,β∈(0,π) , ∴可解得: ,β= 或

sinβ,

sinβ, ,可解得 cosβ=

,β=



点评: 本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用,任意角的三角函数的定义,解题时 要注意讨论,不要丢值,属于基本知识的考察. 16.已知 α∈(

,π) ,sinα=



(1)求 sin( (2)求 cos(

+α)的值; ﹣2α)的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)通过已知条件求出 cosα,然后利用两角和的正弦函数求 sin( (2)求出 cos2α,然后利用两角差的余弦函数求 cos( 解答: 解:α∈( (1)sin( ∴sin( ,π) ,sinα= cosα+cos . .∴cos2α=1﹣2sin α= ,sin2α=2sinαcosα=﹣ sin2α= =﹣ .
2

+α)的值;

﹣2α)的值. = =﹣ ;

.∴cosα=﹣ sinα=

+α)=sin

+α)的值为:﹣ ,π) ,sinα=

(2)∵α∈( ∴cos( cos(

﹣2α)=cos

cos2α+sin .

﹣2α)的值为:﹣

点评: 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.

17.已知函数 (1)当 (2)当 时,若 时,求函数

. ,求函数 f(x)的值; 的值域;

(3)把函数 y=f(x)的图象按向量 平移得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)是偶函数, 写出 最小的向量 的坐标.

考点: 三角函数的最值;三角函数的恒等变换及化简求值;同角三角函数间的基本关系; 正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)利用同角三角函数的基本关系 由 sinx 求出 cosx,从而求得 f(x)的值. (2)根据 x 的范围,求得角 x﹣ 的范围,可得 sin(x﹣ )的范围,利用两角差的正弦公

式化简 f(x)的解析式, 利用二次函数的性质求的 h(x)的值域.

(3)根据向量平移得到 g(x)的解析式 偶函数,即要 求得 a 的解析式,通过| 解答: 解: (1)∵ = (2)∵ ,∴ , = . (3)设 ,所以 ,即 , , , 的解析式可得当 k=﹣1 时, ,∴ = 最小. , . ,

,要使 g(x)是

要使 g(x)是偶函数,即要



当 k=﹣1 时,

最小,此时

,b=0,即向量 的坐标为



点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦公式,正弦函数的定义域和值域, 判断 g(x)是偶函数 的条件, 是解题的难点. 18. (16 分) 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用, 管理这些自行车的费用是每日 115 元. 根 据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每提 高 1 元,租不出去的自行车就增加 3 辆. 规定:每辆自行车的日租金不超过 20 元,每辆自行车的日租金 x 元只取整数,并要求出租所 有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用 y 表示出租所有自行车的日净收入(即 一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得) . (1)求函数 y=f(x)的解析式及定义域; (2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题. 分析: (1) 函数 y=f (x) =出租自行车的总收入﹣管理费; 当 x≤6 时, 全部租出; 当 6<x≤20 时,每提高 1 元,租不出去的就增加 3 辆;所以要分段求出解析式; (2)由函数解析式是分段函数,在每一段内求出函数最大值,比较得出函数的最大值. 解答: 解: (1)当 x≤6 时,y=50x﹣115,令 50x﹣115>0,解得 x>2.3.

∵x∈N,∴x≥3,∴3≤x≤6,且 x∈N. 当 6<x≤20 时,y=[50﹣3(x﹣6)]x﹣115=﹣3x +68x﹣115 综上可知 (2)当 3≤x≤6,且 x∈N 时,∵y=50x﹣115 是增函数, ∴当 x=6 时,ymax=185 元. 当 6<x≤20,x∈N 时,y=﹣3x +68x﹣115=
2 2



∴当 x=11 时,ymax=270 元. 综上所述,当每辆自行车日租金定在 11 元时才能使日净收入最多,为 270 元. 点评: 本题用分段函数模型考查了一次函数,二次函数的性质与应用,是基础题. 19. (16 分)设函数 f(x)=ka ﹣a (a>0 且 a≠1)是奇函数. (1)求常数 k 的值; (2)若 a>1,试判断函数 f(x)的单调性,并加以证明; (3)若已知 f(1)= ,且函数 g(x)=a +a 2,求实数 m 的值. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数的奇偶性的性质,建立方程即可求常数 k 的值; (2)当 a>1 时,f(x)在 R 上递增.运用单调性的定义证明,注意作差、变形和定符号、下 结论几个步骤; (3)根据 f(1)= ,求出 a,然后利用函数的最小值建立方程求解 m. 解答: 解: (1)∵f(x)=ka ﹣a (a>0 且 a≠1)是奇函数. ∴f(0)=0,即 k﹣1=0,解得 k=1. (2)∵f(x)=a ﹣a (a>0 且 a≠1) , 当 a>1 时,f(x)在 R 上递增. 理由如下:设 m<n,则 f(m)﹣f(n)=a ﹣a =(a ﹣a )+(a ﹣a
m m n
﹣n ﹣m

x

﹣x

2x

﹣2x

﹣2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为﹣

x

﹣x

x

﹣x

m

﹣m

﹣(a ﹣a )

n

﹣n

)=(a ﹣a ) (1+
m n

m

n

) ,

由于 m<n,则 0<a <a ,即 a ﹣a <0, f(m)﹣f(n)<0,即 f(m)<f(n) , 则当 a>1 时,f(x)在 R 上递增. (3)∵f(1)= ,∴a﹣ = , 即 3a ﹣8a﹣3=0, 解得 a=3 或 a=﹣ (舍去) . ∴g(x)=3 +3 ﹣x x 令 t=3 ﹣3 ,
2x
﹣2x

n

2

﹣2m(3 ﹣3 )=(3 ﹣3 ) ﹣2m(3 ﹣3 )+2,

x

﹣x

x

﹣x

2

x

﹣x

∵x≥1, ∴t≥f(1)= , ∴(3 ﹣3 ) ﹣2m(3 ﹣3 )+2=(t﹣m) +2﹣m , 当m 当m 解得 m= ∴m= . 时,2﹣m =﹣2,解得 m=2,不成立舍去. 时, ( ) ﹣2m× +2=﹣2, ,满足条件,
2 2 x
﹣x

2

x

﹣x

2

2

点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及指数函数的性质和运算,考查学生的运算能 力,综合性较强.

20. (16 分)设 a 为实数,记函数 g(a) . (1)若 ,解关于求 x 的方程 f(x)=1;

的最大值为

(2)求 g(a) . 考点: 二倍角的正弦;两角和与差的正弦函数;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)当
2

,由方程 f(x)=1,可得 sinxcosx+sinx+cosx=1.令 t=sinx+cosx,则
2

t =1+2sinxcosx,方程可化为 t +2t﹣3=0,解得 t=1,即 sinx+cosx=1,即 由此求得 x 的值的集合. (2)由题意可得 t 的取值范围是 的最大值.直线 0 三种情况,分别求得 g(a) . 解答: 解: (1)由于当 即 分 令 t=sinx+cosx,则 t =1+2sinxcosx,所以
2 2 2



,g(a)即为函数 m(t)=at +t﹣a, 是抛物线 m(t)的对称轴,可分 a>0、a=0、a<

,方程 f(x)=1,即



,所以,sinxcosx+sinx+cosx=1 (1) .…1

.…3 分

所以 方程(1)可化为 t +2t﹣3=0,解得 t=1,t=﹣3(舍去) .…5 分 所以 sinx+cosx=1,即 ,

解得所求 x 的集合为 (2)令
2

.…7 分 ,∴t 的取值范围是 . 的最大值,…9 分

由题意知 g(a)即为函数 m(t)=at +t﹣a, ∵直线
2

是抛物线 m(t)=at +t﹣a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论: 的图象是开口向上的抛物线的一段, 上单调递增,故 g(a)= = .…11

①当 a>0 时,函数 y=m(t) , 由 分 ②当 a=0 时,m(t)=t, ③当 a<0 时,函数 y=m(t) , 若 若 ,即 ,即 知 m(t)在

,有 g(a)= ;…12 分 的图象是开口向下的抛物线的一段, 时,g(a)= 时,g(a)= ,…13 分 = .…15 分

综上所述,有

.…16 分.

点评: 本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用,正弦函数的定义域和值域, 二次函数的性质,体现了转化以及分类讨论的数学思想,属于中档题.


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