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高中数学课件 20111214高一数学(2.3.1-1直线与平面垂直的概念与判定)


2.3.1

直线与平面垂直的判定 第一课时

直线与平面垂直的概念和判定

问题提出

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t

1.前面我们全面分析了直线与平面平行 的概念、判定和性质,对于直线与平面 相交,又有哪些相关概念和原理?我们 有必要进一步研究. 2.直线与直线存在有垂直关系,直线与 平面也存在有垂直关系,我们如何从理 论上加以认识?

知识探究(一):直线与平面垂直的概念

思考1:田径场地面上竖立的旗杆与 地面的位置关系给人以什么感觉? 你还能列举一些类似的实例吗?

思考2:将一本书打开直立在桌面上, 观察书脊(想象成一条直线)与桌 面的位置关系呈什么状态?此时书 脊与每页书和桌面的交线的位置关 系如何?

思考3:如图,在阳光下观察直立于 地面的旗杆及它在地面的影子,随 着时间的变化,影子BC的位置在移 动,在各时刻旗杆AB所在直线与影 子BC所在直线的位置关系如何?
A B C

思考4:上述旗杆与地面、书脊与桌 面的位置关系,称为直线与平面垂 直.一般地,直线与平面垂直的基本 特征是什么?怎样定义直线与平面 垂直?
如果一条直线与平面内的任意 一条直线都垂直,则称这条直线与 这个平面垂直.

思考5:在图形上、符号上怎样表示 直线与平面垂直?
l

α

l ??

思考6:如果直线l与平面α 垂直,则 直线l叫做平面α 的垂线,平面α 叫 做直线l的垂面,它们的交点叫做垂 足.那么过一点可作多少条平面α 的 垂线?过一点可作多少个直线l的垂 面? 垂线
l

垂面
α
A

垂足

知识探究(二):直线与平面垂直的判定

思考1:对于一条直线和一个平面,如果 根据定义来判断它们是否垂直,需要解 决什么问题?如何操作?

思考2:我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直. 如果直线l与平面α内的一条直线垂直, 能保证l⊥α吗? 如果直线l与平面α内的两条直线垂直, 能保证l⊥α吗?

思考3:如图,将一块三角形纸片 ABC沿折痕AD折起,把翻折后的纸片 竖起放置在桌面上,使BD、DC与桌 面接触,观察折痕AD与桌面的位置 关系. A A
D C

B

D

C

B

如何调整折痕AD的位置,才能使翻折后 直线AD与桌面所在的平面垂直?
A B B D C A D C

?

思考4:由上可知当折痕AD垂直平 面α 内的两条相交直线时,折痕AD 与平面α垂直.由此我们是否能得出 直线与平面垂直的判定方法?

定理: 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直,那么这 条直线垂直于这个平面.
思考5:上述定理通常称为直线和平面垂 直的判定定理,它是判定直线与平面垂 直的理论依据.结合下图,怎样用符号语 言表述这个定理? l

a ? ? , b ? ? , a ? b ? P, l ? a, l ? b ? l ? ?
α
a

P b

思考6:如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这条直 线与这个平面垂直吗?

理论迁移

例1 已知 a // b, a ? ? .求证: ? ? . b
a
b

α

c

d

例2 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点, 求证:AD⊥PC.
P D

C

A B

例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直 棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 当底面四边形ABCD满足什么条件时, 有A1C⊥B1D1,说明你的理由.
A1

B1
C1 B C A

D1

D

D. 小结作业

P67 练习: 1. P74习题2.3B组:2,4.


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