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九上册:三角形内角平分线性质


九上第四章 第二课时 § 4.2 三角形内角平分线性质
【老师的话】 三角形是最常见的几何图形之一,在生产和生活中有着广泛的应用.前面我们已经学习 了与三角形有关的许多概念和性质, 这一节我们将进一步学习三角形的另外一些性质, 主要 是与三角形内角平分线有关的性质. 【知识要点】 1.角平分线的性质:①角平分线上的点到角两边的距离相等. ②角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 2.三角形的角平分线:在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶 点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 3.三角形内角平分线性质:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边所成的两 线段之比. 【课前热身】 1.如图 1,AE 是△ABC 的角平分线,已知∠B=50°,∠C=60°,求下列角的大小: (1)∠BAE; (2)∠AEB. 2.△ABC 中,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,则

BD =______. DC

3.作一个△ABC,使 AB=1cm,AC=2cm,∠A 分别为下列各角: (1)30°;(2)90°;(3)120°. 再作∠A 的角平分线 AD,分别量出 BD,DC 的长,并计算

BD . DC

【问题提出】 你能通过与同学的合作,证明下面这个命题吗? 命题:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边所成的两线段之比. 已知:如图 2 所示,AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线. 求证:

AB BD . ? AC DC

思路 1:过 C 作角平分线 AD 的平行线,用平行线分线段成比例定理证 明. 证明 1:过 C 作 CE∥DA 与 BA 的延长线交于点 E,如图 3. 则有

AB BD . ? AE DC

∵∠BAD=∠AEC,(两直线平行,同位角相等) ∠CAD=∠ACE,(两直线平行,内错角相等) ∠BAD=∠CAD,(已知) ∴∠AEC=∠ACE.(等量代换) ∴AE=AC. ∴

AB BD . ? AC DC

思路 2:利用面积法证明. 已知:如图 2 所示,AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线.

求证:

AB BD . ? AC DC

证明 2:过 D 作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,过 A 作 AG⊥BC 于 G,如图 4. ∵∠BAD=∠CAD,(已知) ∴DE=DF.

1 AB ? DE S ?BAD AB 2 ∴ ; ? ? 1 S ?DAC AC AC ? DF 2 1 BD ? AG S ?BAD BD 又∵ , ? 2 ? 1 S ?DAC DC DC ? AG 2 AB BD ∴ . ? AC DC
思考:你还有其它的方法来证明这个命题吗? 【例题示范】 例 1.已知在 ?ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AD 是 RtΔ ABC 的角平分线.求证:BD=2CD. 证明:由∠C=90°,∠B=30°,知 AB=2AC.因为 AD 是 RtΔ ABC 的角平分线,所以

BD AB = ? 2 ,即 BD=2CD. DC AC 例 2.如图 5,在 ?ABC 中,AB=7,AC=11,点 M 是 BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,FM∥
AD,求 FC 的长. 解:如图 5,∵点 M 是 BC 的中点, ∴MB=MC, 又∵AD 是∠BAC 的平分线,

MC ? DM 7 BD AB 7 = = ,即 ? , DC AC 11 MC ? DM 11 DM 2 ∴ = . MC 9
∴ 又∵FM∥AD, ∴

AF DM 2 = = , FC MC 9

又由于 AF+FC=11, ∴FC=9. 思考:还有其它不同的解法吗? 例 3.已知:如图 6, ? ABC 的角平分线 BD 和 CE 交于点 F. (l)求证:点 F 到 AB,BC 和 AC 边的距离都相等; (2)求证:AF 平分∠BAC; (3)求证:三角形中三条内角的平分线交于一点,而且这 点到三角形三边的距离相等. 证明: ⑴点 F 在角平分线 BD 上,所以由角平分线性质,点 F 到 ⊿ABC 的两边 AB 和 BC 的距离相等.同理,点 F 在角平分线 CF

上,所以点 F 到⊿ABC 的两边 AC 和 BC 的距离相等.所以点 F 到 AB,BC 和 AC 边的距离相等. ⑵由⑴,点 F 到 AB 和 AC 边的距离相等,所以点 F 在∠BAC 的角平分线上,所以 AF 平 分∠BAC. ⑶由⑵,AF 平分∠BAC,设 AF 延长线交 BC 于 G,则 AG 就是⊿ABC 的角平分线,所以三 角形的三条内角的平分线 BD、 和 AG 交于交于一点 F, CE 而且这点到三角形三边的距离相等. 【随堂练习】 1.已知 AD 是⊿ ABC 的角平分线, AB=5cm , AC=4cm, 则 BC=6cm, BD=_______ . 2.如图 7, ?ABC 中, AD 平分 ?BAC , BE 平分 ?ABC 交 AD 于点 E .则与 ( ) A.

DC 相等的是 AC

DE AE

B.

DE BE

C.

BD DC

D.

BE AD

3.已知:如图 8,Δ ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F. 求证: F 在∠DAE 的平分线上 点 (注: F 称为三角形的旁心) 点 .

【巩固提高】 1.已知 AD 是⊿ ABC 的角平分线, AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8, AB=_______ . 则 2.如图 9, ?ABC 中, ?B ? 60 , AD ? BC 于点 D , CE 平分 ?ACB 交 AD 于点 E ,
0

若 AB ? 2, AC ? 2DC ,则 AE ?

, DE ?

.

3.如图 10,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 , ?B ? 30 , AC ? 1, CD 是 ?ACB 的平分线交 AB 于
0 0

点 D .试求 AD 、 BD 的长.

4.如图 11,在 Rt△ABC 中,∠C= 90? ,AD 是∠BAC 的平分线. (1)若 AB∶BD= 3 ,求∠B; (2)若 AB∶BD= 3 ,且 BD=4,求 S ?ABC .

【参考答案】 略


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