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高一数学必修1知识点总结及练习题



高 一 数学 必 修 1 各 章知 识 点 总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员

},{太平洋,大西洋,印 度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c??} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示 集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2 =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一 集合。

三、集合的运算 运算 交 类型 定 义











由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A ? B 读 (

由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A ? B

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合, 叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集)

作‘A 交 B’),即 (读作‘A 并 B’), 记作 C A ,即 S A ? B={x|x ? A,且 即 A ? B ={x|x ? A, x ? B}. 韦 恩 图 示 性
A B

或 x ? B}).

CS A= {x | x ? S , 且x ? A} S A

A

B

图1

图2

A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A? B ?A A? B ?B

(Cu A) ? (Cu B) = Cu (A ? B) (Cu A) ? (Cu B) = Cu (A ? B) A ? (Cu A)=U A ? (Cu A)= Φ .



反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2 -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集

?

?

例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 2 3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 4.设集合 A= ? x 1 ? x ? 2? ,B= x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实验做得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= . 7.已知集合 A={x| x2 +2x-8=0}, B={x| x2 -5x+6=0}, C={x| .

?

x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ ,A∩C=Φ ,求 m 的值 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义 域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A } 叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定 义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字 母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横 坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x, 的集合 C, y) 叫做函数 y=f(x),(x ∈ A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来, 以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 为坐标的点(x, , y y) 均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间

2

2

(3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法 则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的 元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射。记作“f(对应关系):A(原象) ? B(象)” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内 的任意两个自变量 x1 , 2 , x1 <x2 时, x 当 都有 f(x1 )<f(x2 ), 那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 ,x2 ,当 x1 <x2 时,都有 f(x1 )>f(x2 ), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到 右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 任取 x1 ,x2 ∈D,且 x1 <x2 ; 2 ○ 作差 f(x1 )-f(x2 ); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方); 4 ○ 定号(即判断差 f(x1 )-f(x2 )的正负); 5 ○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调 性密切相关,其规律:“同增异减”

注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同 的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=—f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x) 是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函 数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首 先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)= ±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数 关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减 则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增 则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴y?
x 2 ? 2 x ? 15 x ?3 ?3

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _ 3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域是 4.函数
? x ? 2( x ? ?1) ? ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ?2 x( x ? 2) ?

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R) (3) y ? x ? 1 ? 2x

⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2] (4) y ? ? x2 ? 4 x ? 5

6.已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式 7.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) = 。

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??,0) 时 f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
9.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? ? x2 ? 2x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ? 1

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 11.设函数 f ( x) ? 1 ? x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) . 1? x2 x 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 n 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其 * 中 n >1,且 n ∈ N .
2

?

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
n n
n n

当 n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时, a ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n



?

1 a
m n

?

1
n

x ?1 2 ⑵ y ? 1? ( ) x ?1

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质

r (1) a · a ? a r

r ?s

说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1
x 2 ○ a ? N ? loga N ? x ; 3 ○ 注意对数的书写格式.

(a ? 0, r , s ? R) ;
(2) (a ) ? a
r s r rs

loga N

(a ? 0, r , s ? R) ;
(3) (ab) ? a a
r s

(a ? 0, r , s ? R) .
(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函 数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 2 ○ 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数

ab = N ? log a N = b
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ loga (M · N ) ? loga M + loga N ;

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

M ? loga M - loga N ; N 3 ○ loga M n ? n loga M (n ? R) .
2 ○ log a 注意:换底公式

loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). logc a
1 n . log a b ;(2) loga b ? m logb a

利用换底公式推导下面的结论 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: ( 1 ) 在 [a , b]上 , f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值 域 是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(1) log a m b n ?

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数
x

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数, 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 1 如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称其为对数型

1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数
x

x 叫做

5

以 a 为底 N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, . ..

loga N — 对数式)

函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1

3

3

2.5

2.5

2

2

3.函数 y=log 1 (2x2 -3x+1)的递减区间为
2
1

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

4.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= 5.已知 f ( x) ? log 1 ? x (a ? 0且a ? 1) ,(1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围
a

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

1? x

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2 (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 2 (3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无 交点,二次函数无零点. 5.函数的模型
2

(三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其 中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函 数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数 的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限 内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, 当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 例题: 1. 已知 a>0,a 0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )

收集数据

画散点图 2.计算: ① log3 2 ?
log27 64
1 3

;② 2 4? log 3 =
2

; 25 =

1 log5 3

27 ? 2 log5 2

=

;

③ 0.064 ?

1 7 ?4 ? (? ) 0 ? [( ?2) 3 ] 3 ? 16 ?0.75 ? 0.01 2 8

不 符 合 实 际

选择函数模型

检验 求函数模型



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