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直线和双曲线的位置关系9



直线和双曲线的位置关系

直线和椭圆的位置关系:

相交 → 两个公共点 → △ > 0

相切 → 一个公共点 → △ =

0

相离 → 没有公共点 → △ < 0

练习:求下列直线与双曲线的交点坐标
x2 y 2 ? 14 2 ? 2 x

? y ? 10 ? 0 与 ? ? 1 2 ?, ? ? 1、 ? 6, ? , 20 5 ? 3 3?

x2 y 2 ?1 2、 4 x ? 3 y ? 16 ? 0与 ? 25 16

? 25 ? 3? ? , ? 4 ?

x2 y 2 3、 2 x ? y ? 1 ? 0与 ? ?1 9 16

无解

4、 x ? y ? 1 ? 0与x ? y ? 3
2 2

?1? ? ?2,

x ? y ? 1 ? 0与x2 ? y 2 ? 3
答案:
y

?1? ? ?2,

x-y+1=0

x

y=x

y= - x

直线与双曲线的位置关系 :
相交 → 有两个公共点,△>0

有一个公共点(直线与 渐进线平行或二次方程 的二次项系数为零) 相切 → 有一个公共点,△ = 0

相离



没有公共点,△ < 0

2 2 y ? kx ? 1 如果直线 与双曲线 x ? y ? 4

仅有一个公共点,求 k 的取值范围.

2 2 y ? kx ? 1 如果直线 与双曲线 x ? y ? 4

仅有一个公共点,求 k 的取值范围.
2 2 ? y ? kx ? 1 1-k x ? 2kx ? 5 ? 0 解: 由 ? 2 2 得 ?x ? y ? 4

?

?

方程只有一解 当 1 ? k 2 ? 0 即 k ? ? 1 时,方程只有一解 当 1 ? k 2 ? 0 时,应满足 ? ? 4k 2 ? 20(1 ? k 2 ) ? 0 解得
5 k ?? 2

5 , ? 故 k的值为? 1 2

2 2 y ? kx ? 1 如果直线 与双曲线 x ? y ? 4

仅有一个公共点,求 k 的取值范围.
l2 l4

y

l1 l3

x -1

2 2 y ? kx ? 1 x ? y ? 4 满足 如果直线 与双曲线 以下条件,请分别求出 k 的取值范围。

①有两个公共点

? 5 5? k ?? ?? 2 , 2 ? ? 且k ? ?1 ? ? ? ? 5? ? 5 k ?? ? ??, ? 2 ? ??? ? 2 , ?? ? ? ? ? ? ?
? 5 k ?? 1 , ? 2 ? ? ? ? ?

②没有公共点

③与右支有两个公共点

④与左、右两支各有一个公共点 k ? ? ?11 , ?

①有两个公共点

②没有公共点

③与右支有两个公共点 ④与左、右两支各有一个公共点
l2 k 4 ? ?1 l 4
k2 ? ? 5 2

y

k1 ?

l1 k ? 1 3 l3

5 2

x -1

①有两个公共点

②没有公共点

③与右支有两个公共点 ④与左、右两支各有一个公共点
l2 l4

y

l1 l3

x -1

①有两个公共点

②没有公共点

③与右支有两个公共点 ④与左、右两支各有一个公共点
l2 l4

y

l1 l3

x -1

①有两个公共点

②没有公共点

③与右支有两个公共点 ④与左、右两支各有一个公共点
l2 l4

y

l1 l3

x -1

解题回顾:
根据直线与已知双曲线公共点的个数,求 直线斜率k的取值范围问题的方法: 1、有两个或没有公共点时,根据双曲线 联立 后的一元二次方程的判别式或根 的分布来判断。 有一个公共点时,考虑一元二次方程的二 次项系数为零和判别式等于零两种情况。

2、 利用数形结合,求出渐进线和切线斜率, 利用图形观察直线变化时与曲线交点的 情况确定k的取值范围。

2 y 例2、已知双曲线的方程为 x 2 ? ? 1,试问过 2

点A(1,1)能否作直线 l使它与双曲线 交于P1 ,P2 两点,且 点A是线段 PP 1 2 的中点? 这样的直线 l如果存在,求出它的方程及 弦长| PP |,如果不存在,请说明理由。 1 2

解题回顾:
求以定点为中点的弦所在的直线方程 的解题思路 (1)通过联立方程组,消去一个变量转 化成一元二次方程结合根与系数关系 求斜率. (2)利用点差法求斜率,但要注意检验, 解题要领:设而不求,两式相减

2 y 例2、已知双曲线的方程为 x 2 ? ? 1,试问过 2

点A(2,1)能否作直线 l使它与双曲线 交于P1 ,P2 两点,且 点A是线段 PP 1 2 的中点? 这样的直线 l如果存在,求出它的方程及 弦长| PP |,如果不存在,请说明理由。 1 2

解题回顾:
求直线与双曲线弦长方法:
2 (1) 利用公式 | AB |? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ?

和根与系数关系求弦长

1 y1 ? y2 2 k

(2)若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形: ① 如果两点在同一支上,那么| AB |?| AF1 | ? | BF1 | (见图一) ② 如果两交点分别在两支上,那么| AB |?|| AF1 | ? | BF1 || (见图二)
y A F1 B 图1 x F1 A 图2 B y

x

反馈练习:
1、过点 l : y ? k ( x ? 2)与双曲线 x2 ? y 2 ? 1( x ? 0)

相交于A、B两点,则 l 的斜率的范围是(
x2 y 2 2、直线 l : y ? 3x ? 10 与双曲线 ? ? 1 相交于 9 4



A、B,线段|AB|的中点为M,则直线OM的 斜率是( )

小结: 1、直线与双曲线的位置关系 :
相交 → 有两个公共点,△>0 有一个公共点(直线与 渐进线平行或二次方程 的二次项系数为零) 相切 → 有一个公共点,△ = 0 相离 → 没有公共点,△ < 0

2、注意二次曲线、二次方程、二次函 数三者之间的内在联系,直线与双 曲线的位置关系通常是转化为二次 方程,运用判别式、根与系数关系 二次方程实根分布原理来解决。



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