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2.4.2抛物线的简单几何性质(公开课)



二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、


范围

y

由抛物线y2 =2px(p>0)

2 px ? y ? 0
2

o

??0 x

p?0

p F ( ,0) 2

x

所以抛物线的范围为 x ? 0

2、

对称性
关于x轴

y

? ( x, y )

对称

( x, ? y)
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线

的顶点。

y2 = 2px (p>0)中, ?

o

F(

p ,0) 2

x

令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0) 2

x

5、

通径

过焦点而垂直于对称轴的弦 AB,称为抛物线的通径, |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.

y
A H O B

y2=2px
?p ? ? , p? ?2 ?

F

2p

x

?p ? ? ,? p ? ?2 ?

2p越大,抛物线张口越大.

6、

焦半径

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 y 焦半径公式:
P
A

|PF|=x0+p/2
焦点弦公式:
O

| AB |? x1 ? x2 ? p

F B

x

图与方程
l

焦点
x

通径

焦半径

焦点弦

y
O

F

p F( 2

,0)

2p
x0+p/2

y ? 2 px
2

x1+x2+p

( p ? 0)
y
l
O F

x

x ? ?2 py
2

( p ? 0)

p F (0,? ) 2

2p

p/2-y0

p-(y1+y2)

归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,它也可以 无限延伸; (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; (4)、抛物线的离心率e是确定的为1,

⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张 口越大.

三、典例精析
例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 原点,并且经过点M(2, 2 2 ),求它的标准方程. ?

解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原
点,并且经过点M(2, 2 2 ), ? 所以设方程为: y 2 ? 2 px ( p ? 0) 又因为点M在抛物线上: 所以:?2 (

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2
2

因此所求抛物线标准方程为:2 y

? 4x

练习 :已知过抛物线y ? 4 x的焦点,
2

且倾斜角为45 ?的直线交抛物线与 A, B两点,求 | AB | 的长

四、课堂练习
(1)已知点A(-2,3)与抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
4

的焦点的距离是5,则P =
(2)抛物线
2



y ? 4 x 的弦AB垂直x轴,若|AB|= 4
2
2

3 ,

则焦点到AB的距离为 (3)已知直线x-y=2与抛物线



y ? 4 x交于A、B两
(4, 2)


点,那么线段AB的中点坐标是

4、求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点在直线x-2y-4=0上.

y 2 ? 16 x或x 2 ? ?8 y
2

5.点A的坐标为(3,1),若P是抛物线 y ? 4 x上的一动 点,F是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小值为( B ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

6、已知Q(4,0),P为抛物线 则|PQ|的最小值为( C)
A.

y ? x ? 1 上任一点,
2

3 2

B.

10 2

C.

19 2

D.

3

五、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大. 6、光学性质: 从焦点出发的光线,通过抛物线反射就 变成了平行光束.

例题3
思考题 例3:图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离 水面2米,水面宽4米. 水下降1米后,水面宽多少?
y

A(2,-2)

x2=-2y

y=-3代入得 x ?

6
l

o 2 B A x 2

?水面宽2 6

4

例题3
思考题 若在水面上有一宽为2米,高

为1.6米的船只,能否安全通过拱桥?
y

B(1,y) y=-0.5
o

B到水面的距离为1.5米

不能安全通过

l

2

B A

x

2

4



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