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上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何



上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 部分:立体几何 第 8 部分 立体几何
一、选择题: 选择题:

15、 上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)给定空间中的直线 l 及平 ( 2010学年第二学期高三教学质量测试理科) 面 α ,条件“直线 l 与平面 α 垂直”是“直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直”的( B ) A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 16 . ( 上 海 市 五 校 2011 年 联 合 教 学 调 研 理 科 下 列 四 个 命 题 中 真 命 题 是 2011 ( B )

(A)同垂直于一直线的两条直线互相平行; (B)过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条; (C)底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱; (D)过球面上任意两点的大圆有且只有一个。 16. (上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)(文)将图所示的一个直角三角形 ABC(∠C 月高三调研测试) 上海市奉贤区 =90°)绕斜边 AB 旋转一周,所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的( B )

(A)

(B)

(C )

(D)

17.上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的侧面 ABB1 A1 内 . (上海市杨浦区 月高三模拟理科) 有一动点 P 到直线 A1 B1 与直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在的曲线的形状为………… ( A1 P A (A) B A (B) B ) B1 A1 P B A (C) B1 A1 P B A (D) B1 A1 P B B1

17、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)如图,在下列四个几何体中,它们的三视 、 上海市徐汇区 月高三学习诊断文科)如图, 下列四个几何体中, 图(主视图、左视图、俯视图)中有且仅有两个相同,而另一个不同的几何体 是……………………………………………………………( A ) ……………………………………………………………( .

(1)棱长为 1 的正方体

(2)底面直径和高均为 1 的圆柱

(3)底面直径和高均为 1 的圆锥

(4)底面边长为 1、高为 2 的正四棱柱

(A) 2) ) 4) (B) 1) 2) 3) (C) 1) ) 4) (D) 1) 2) 4) ) ) ( (3) ) ( ( ) ) ) ) ( ( ( ) ) ( (3) ) ( ( ) ) ) ) ( ( ( 填空题: 二、填空题: 11.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科)已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半 月高考二模试题理科) ( 径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则它们的体积之比 V圆柱:V球 = 答). 3
4

(用数值作

8. 上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长是 3, ( 月高考二模试题文 点 M 、N 分别是棱 AB、AA1 的中点,则异面直线 MN 与 BC1 所成的角是



π
3

10.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半 ( 月高考二模试题文

径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则它们的体积之比 V圆柱:V球 = 答).

(用数值作

3 4

13 . ( 上 海 市 十 校 2010-2011 学 年 第 二 学 期 高 三 第 二 次 联 考 理 科 ) 平 面 上 三 条 直 线 2010-

x ? 2 y + 1 = 0, x ? 1 = 0, x + ky = 0 ,如果这三条直线将平面划分为六部分,则实数 k 的
取值集合为 . {0, ?1, ?2}
0 0 0

10. (上海市五校 2011 年 联合教学调研理科在北纬 45 东经 30 有一座城市 A,在北纬 45 东经 2011 联合教学调研理科
R 3 8.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)一个圆锥有三条母线两两垂直,则它的侧面 年高三第二次联考理科) (

120 有一座城市 B,设地球半径为 R,则 A、B 两地之间的距离是

0



π

展开图的圆心角为

2 6 π。 3

6.(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)圆锥的侧面展开图为扇形,若其弧长为 ( 2011 届高三下学期质量调研文科)

2π cm,半径为 2 cm,则该圆锥的体积为

cm 3 .

π
3

9.(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)如图是一个正三棱柱零件,面 AB1 平行 ( 届高三下学期质量调研文科) 于正投影面,则零件的左视图的面积为 . A1 2 C1 B1 C 4 B

4 3

A 4、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试 ) 在正方体 上海市奉贤区 月高三调研测试)

ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 D B 与 B1C 所成角的为

π
3

月高三模拟理科) 7. (上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)已知直线 m ⊥ 平面 α ,直线 n 在平面 β 内,给 上海市杨浦区 出下列四个命题:① α // β ? m ⊥ n ; ② α ⊥ β ? m // n ; ③ m ⊥ n ? α // β ; ④ m // n ? α ⊥ β , 其 中 真 命 题 的 序 号 是 【①,④】. .

月高三模拟理科) AB=1, AC= 3 , AD=2; 12. (上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)在平行四边形 ABCD 中, 上海市杨浦区 线段 PA⊥平行四边形 ABCD 所在的平面,且 PA =2,则异面直线 PC 与 BD 所成的角等于 (用反三角函数表示). 【arccos

3 14 或 2 arcsin 】 7 7

[来源:学科网] [来源:学科网] :学科网 ] 学科网

10、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习 诊断文科)在一个水平放置的底面半径为 3 cm 的 、 上海市徐汇区 诊断文科) 圆柱形量杯中装有适量的水, 的实心铁球, 圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半径为 R cm 的实心铁球,球完全浸没于水中且无 水溢出, 水溢出,若水面高度恰好上升 R cm,则 R = ________cm. , .

3 2

三、解答题: 解答题: 20.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 月高考二模试题理科) 本题满分 . 本题共有 个小题, 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a. (1)求点 C1 到平面 AB1 D1 的距离; (2)求平面 CDD1C1 与平面 AB1 D1 所成的二面角(结果用反三角函 B1 数值表示).

A1 C1 A B C

D1

D

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. . 本题满分 本题共有 个小题, 解

(1)按如图所示建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(0, 0) 、 D1 (0,a,a ) 、 0,

uuur uuur uuuu r B1 (a,0,a ) 、C1 (a,a,a ) , C1 A = (?a, a, a) ,AD1 = (0,a,a ) ,AB1 = (a,0,a) . 向量 ? ?
2分 设 n = ( x,y,z ) 是平面 AB1 D1 的法向量,于是,有 z

r

A1 B1 A (O) B
x

D1 C1 D y C

r uuuu r ?n ? AD1 = 0 ?ay + az = 0 ? ,即 ? . ? r uuur ?ax + az = 0 ?n ? AB1 = 0 ?
令 z = ?1, x = 1 y = 1 .于是平面 AB1 D1 的一个法向量是 得 ,

r n = (1,1,-1) .
uuur r | C1 A ? n | 3 r = 因此, C1 到平面 AB1 D1 的距离 d = a .(也可用等积法求得) 3 |n|

5分

8分

(2) 由(1)知,平面 AB1 D1 的一个法向量是 n = (11, 1) .又因 AD ⊥ 平面CDD1C1 ,故平 ,?

r

1, 面 CDD1C1 的一个法向量是 n1 = (0,0) .
设所求二面角的平面角为 θ (结合图形可知二面角是锐角,即 θ 为锐角),则

ur

10 分

r ur | n ? n1 | 3 cos θ = r ur = . | n || n1 | 3
所以,平面 CDD1C1 与平面 AB1 D1 所成的二面角为 arccos

13 分

3 . 3

14 分

19.上海市十校 2010-2011 学年第二学期高三第二次联考理科(本 ( 2010学年第二学期高三第二次联考理科) ) 题满分 12 分)如图,已知圆锥的底面半径为 r = 10 ,点 Q 为 半圆弧 AB 的中点,点 P 为母线 SA 的中点.若 PQ 与 SO 所成 角为

S

π
4

,求此圆锥的全面积与体积.

P

B Q

O

A

19、(上海市虹口区 2 010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)(本题满分 14 分) ( 010学年第二学期高三教学质量测试理科 量测试理科) 已知: 四棱锥 P ? ABCD , 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, P PA ⊥ 平面 ABCD , PA = 2 ,∠ABC = 60° ,E ,F 分 且 别是 BC , PC 的中点. (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)求二面角 F ? AE ? C 的大小. F
A D

19、(14 分)(1) V P ? ABCD

4 3 = …………4 分 3
B E C

Q ∴ (2) AC 的中点 O, 取 连接 FO, F 为 PC 中点, FO // PA
且 FO =

1 PA , 又 PA ⊥ 平 面 ABCD , ∴ FO ⊥ 平 面 2

P

ABCD .……………………6 分 过 O 作 OG ⊥ AE 于 G , 则 ∠FGO 就 是 二 面 角 F ? AE ? C 的平面角.…………………………8 分
1 , 得 二 面 角 的 大 小 为 由 FO = 1 , GO = 2
B

F A O G E C D

arctan 2 ………………14 分

20、(上海市五校 2011 年联合教学调研理科 ( 2011 年联合教学调研理科(满分 14 分) 如图已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PD⊥底面 ABCD,E,F 分别为 棱 BC,AD 的中点. (1)若 PD=1,求异面直线 PB 和 DE 所成角的大小。 6 (2 若二面角 P-BF-C 的余弦值为 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. P 6

D F
A B E

C

20、解: (1)E,F 分别为棱 BC,AD 的中点,ABCD 是边长为 2 的正方形 ? DF ∥ BE 且 DF = BE ? DFBE 为平行四边形 P ? DE ∥ BF ? ∠PBF是PB与DE 的所成角 2分

?PBF 中,BF= 5 ,PF= 2 ,PB=3? cos ∠PBF =
?异面直线 PB 和 DE 所成角的大小为 arccos

2 5 5
5分

2 5 5

D F B E

C

A
2)如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a, 可得如下点的坐标: P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) uuu r uuu r 则 有: PF = (1, 0, ? a), FB = (1, 2, 0), 因为 PD⊥底面 ABCD,所以平面 ABCD 的 一个法向量为 m = (0, 0,1) , 设平面 PFB 的一个法向量为 n = ( x, y , z ) ,则可得 uuu r ? ? x ? az = 0 ? PF ? n = 0 即 ? r ? uuu ?x + 2 y = 0 ? FB ? n = 0 ?
1 1 1 1 , y = ? ,所以 n = (1, ? , ) . a 2 2 a 6 由已知,二面角 P-BF-C 的余弦值为 ,所以得: 6 1 m?n 6 a cos < m , n > = = = | m || n | 6 5 1 + 4 a2 解得 a =2.……

7分 8分

令 x=1,得 z =

10 分

12 分

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

因为 PD 是四棱锥 P-ABCD 的高, 1 8 所以,其体积为 VP ? ABCD = × 2 × 4 = 3 3

14 分

20.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分, ( 年高三第二次联考理科) 第 2 小题满分 7 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,且 AB // CD ,

∠BAD = 90 o , PA = AD = DC = 2 , AB = 4 。 (1)求证: BC ⊥ PC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。
20. (1)如图建系,则 B ( 0 , 4 , 0 ) , D ( 2 , 0 , 0 ) , C ( 2 , 2 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 2 ) 。 分) (2 BC = ( 2 , ? 2 , 0 ) , PC = ( 2 , 2 , ? 2 ) ,…………………………(4 分) BC ? PC = 2 ? 2 + ( ? 2 ) ? 2 = 0 ,故 BC ⊥ PC 。…………………(7 分)

y P

A D x C

B y

(2) PB = ( 0 , 4 , ? 2 ) , PC = ( 2 , 2 , ? 2 ) ,设平面 PBC 的法向量为 n = ( a , b , c ) , ? PB ? n = 0 ?2b ? c = 0 ? 依题意, ? ?? ,取 n = (1 , 1 , 2 ) 。……………………………………………(11 ?PC ? n = 0 ?a + b ? c = 0 ? AB = ( 0 , 4 , 0 ) ,所以点 A 到平面 PBC 的距离 d =
| AB ? n | = 4 6 = 2 6 。………………………(14 3

分)

|n| 分) 解法二: 由 PA ⊥ 平面 ABCD 可推得 PA ⊥ BC , AC ⊥ BC , (1) 又 所以 BC ⊥ 平面 PAC 。 从而可得 BC ⊥ PC 。

(2)过 A 作 AH ⊥ PC ,由(1)知: BC ⊥ 平面 PAC ,所以 BC ⊥ AH 。所以 AH ⊥ 平面 PBC 。 在 直 角 三 角 形 PAC 中 , PA = 2 , AC = 2 2 , PC = 2 3 , 故 点 A 到 平 面 PBC 的 距 离
AH = 2 6 。 3

届高三下学期质量调研文科) 19. (上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)(本题满分 12 分) 如图,已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是底面为正方形的长方 B 体, ∠AD1 A1 = 60 , AD1 = 4 ,点 P 是 AD1 的中点,求
o

A C P

D

.
异面直线 AA1 与 B1 P 所成的角(结果用反三角函数表示) . A1 B1 C1 D1

19.解: (1)解法一:过点 P 作 PE ⊥ A1 D1 ,垂足为 E ,连结 B1 E (如图) ,则 PE ∥ AA1 ,

∴∠B1 PE 是异面直线 AA1 与 B1 P 所成的角.
在 Rt△ AA1 D1 中 ∵ ∠AD1 A1 = 60
o

(3 分)
o

∴ ∠A1 AD1 = 30

A1 B1 = A1 D1 =

1 1 AD1 = 2 , A1 E = A1 D1 = 1 , 2 2

∴ B1 E = B1 A12 + A1 E 2 = 5 .又 PE =
∴ 在 Rt△B1 PE 中, tan ∠B1 PE =
学科网]

1 AA1 = 3 . 分) (8 2
z A D C P

B1 E 5 15 (10 分)[来源: = = PE 3 3
B

∴ 异面直线 AA1 与 B1 P 所成的角为 arctan

15 . 3

(12 分)
A1

解法二:以 A1 为原点, A1 B1 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标 系如图所示, A1 (0, 0) ,A(0, 2 3) ,B1 (2, 0) ,P (0, 3) 则 0, 0, 0, 1,
x B1

y D1 C1



4

0, 1, 分)∴ A1 A = (0, 2 3) , B1 P = ( ?2, 3) (8 分)
uuur uuur uuur uuur A1 A ? B1 P 6 6 ∴ cos < A1 A B1 P >= uuuur uuuur = , = . (10 分) 4 | A1 A |? | B1 P | 2 3 ? 2 2
6 . (12 分) 4

uuur

uuur

∴异面直线 AA1 与 B1 P 所成的角为 arccos

月高三质量调研) 21. (上海市普陀区 2011 年 4 月高三质量调研) (理) 本题满分 14 分) ( 是正方形, 如图, 如图 , PA ⊥ 平面 ABCD , 四边形 ABCD 是正方形 , PA = AD = 2 , E 、 、 分别为线段 PA 、 和 CD F G 分别为 PD 点 的中点. 的中点. 所成角的大小 大小; (1)求异面直线 EG 与 BD 所成角的大小; ( 2 ) 在线段 CD 上是否存在一点 Q , 使得点 A 到平面

P

E

F

4 EFQ 的距离恰为 ?若存在,求出线段 CQ 的长;若不 的距离恰 若存在, 的长; 5
存在,请说明理由. 存在,请说明理由. 21. (本题满分 14 分) 为坐标原点, (理科)解: )以点 A 为坐标原点,射线 AB, AD, AZ 理科) (1) (

A D B C Q G

的正半轴建立空间直角坐标系如图示, 分别为 x轴、y轴、z轴 的正半轴建立空间直角坐标系如图示 , 点 E (0,0,1) 、 G (1,2,0) 、

B (2,0,0) 、 D (0,2,0) ,则 EG = (1,2,?1) , BD = (?2,2,0) .
设异面直线 EG 与 BD 所成角为 θ

z
P

E

F

cos θ =

EG ? BD EG ? BD

=

?2+4

A B Q G

3 = ,所以异面直线 6 6? 8
3 . 6

D C

y

x

第 21 题

EG 与 BD 所成角大小为 arccos

(2)假设在线段 CD 上存在一点 Q 满足条件,设点 Q ( x0 ,2,0) ,平面 EFQ 的法向量为 ) 满足条件,

? n ? EF = 0 ? n = ( x, y, z ) , 则有 ? 得到 y = 0, z = xx0 , 取 x = 1 , 所以 n = (1,0, x0 ) , 则 ? n ? EQ = 0 ? EA ? n n = 0.8 , x0 > 0 , 又 解得 x 0 =
4 4 2 2 , 所以点 Q ( ,2,0) 即 CQ = (? ,0,0) , CQ = . 则 3 3 3 3 2 . 3

满足条件, 所以在线段 CD 上存在一点 Q 满足条件,且长度为

月高三质量调研) 21. (上海市普陀区 2011 年 4 月高三质量调研) (文) 本题 ( 满分 14 分) 已 知 坐 标 平 面 内 的 一 组 基 向 量 为 e1 = (1,sin x ) ,

P

r

r 1r r 3r ? π? e2 = ( 0,cos x ) ,其中 x ∈ ?0, ? ,且向量 a = e1 + e2 . 2 2 ? 2? r r r 都为单位向量时, (1)当 e1 和 e2 都为单位向量时,求 a ;
共线, 的夹角. (2)若向量 a 和向量 b = (1, 2 ) 共线,求向量 e1 和 e2 的夹角.

E

F

A D B C Q G

r

r

r

r

(文科)解:(1)由题意,当 x = 0 时, sin x = 0, cos x = 1 ,此时 e1 = (1,0 ) , e2 = ( 0,1) 都为 文科) (1)由题意, 由题意 单位向量. 单位向量.故 a =

r

r

r

r 1r 3 r ?1 3? e1 + e2 = ? , ? ,所以 a = 1 . 2 2 ?2 2 ?

(2) 由条件 a =

r

? 1r 3 r ?1 1 3 e1 + e2 = ? , sin x + cos x ? 2 2 2 ?2 2 ? 1 3 sin x + cos x =0 2 2 2

1 r r 共线, 因为向量 a 和向量 b = (1, 2 ) 共线,所以 2 1

?1 ? 3 π? π ? ? π? ? 1 ? ? sin x + cos x ? = 1 ? sin ? x + ? = 0 ,因为 x ∈ ?0, ? ,所以 x = . 2 3? 6 ? ? 2? ?2 ?
于是 e1 = ? 1, ? , e2 = ? 0,

r

? 1? ? 2?

r

? ?

3? r r ? ,设向量 e1 和 e2 的夹角为 θ 2 ?

r r e ?e 则 cos θ = r1 r2 = e1 e2

3 4 5 3 ? 2 2

=

5 r r 5 ,即向量 e1 和 e2 的夹角为 arccos . 5 5

19、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)用 2π 平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容 上海市奉贤区 月高三调研测试) 器,如果在制作过程中材料无损耗,且材料的厚度忽略不计,底面半径长为 x ,圆锥母线的长 为y (1) 、建立 y 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; 分) (6 (2) 、圆锥的母线与底面所成的角大小为 0. 01m3) (6 分)

π
3

,求所制作的圆锥形容器容积多少立方米(精确 到

2 ? x2 19、解: (1)Q πx + πxy = 2π ∴ y = x 2 2?x Qx < y∴x < ,∴ 0 < x < 1 x (2)依题意,作圆锥的高 SO , ∠SAO 是母线与底面所成的线面角, π x 1 设圆锥高 h ,Q cos = = , y = 2 x ∴ h = 3x 3 y 2
2

4分 6分 7分

∴x =

2 3

,h =

2

9分 11 分 12 分

1 3 3 V = πx 2 h = πx ≈ 0.99m 3 3 3 答:所制作的圆锥形容器容积 0.99 立方米

S

[来源:Z,xx,k.Com]

B

O

A

19. 上海市杨浦区 月高三模拟理科) 19.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科) (本题满分 12 分) 如图,用半径为 10 2 cm,面积为 100

2π cm2 的扇形铁皮

制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计) 该容器最 , 多盛水多少?(结果精确到 0.1 cm )
3

19. 19.(本题满分 12 分) 解:设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l,圆锥形容器的高和底面半径分别为 h、r,则由题 、, 、, 意得 R= 10 2 ,由

1 Rl = 100 2π 得 2

l = 20π ;

……………………………………………………………2 ……………………………………………………………2 分

…………………………………5 由 2 π r = l 得 r = 10 ;…………………………………5 分 ……………………………………………8 由 R = r + h 得 h = 10 ;……………………………………………8 分
2 2 2

由V 锥 =

1 1 π r 2 h = ? π ? 100 ? 10 ≈ 1047 . 2 cm 3 3

3

所以该容器最多盛水 1047.2
3 cm 3

……………………………………………………………………12 ……………………………………………………………………12 分 ………

毫升不扣分) (说明: π 用 3.14 得 1046.7 毫升不扣分) 说明: 20、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)(本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分, 、 上海市徐汇区 月高三学习诊断文科) ) 第(2)小题满分 8 分。 ) 如图,已知点 的直径, 如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上, AB 为圆 O 的直径,圆柱 OO1 的表面积为 24π ,

OA = 2 , ∠AOP = 120° 。
的体积。 (1)求三棱锥 A1 ? APB 的体积。 所成角的大小 的大小; (2)求异面直线 A1 B 与 OP 所成角的大小; 结果用反三角函数值表示) (结果用反三角函数值表示)

A1

O1

B1

A

O P
(第 20 题)

B

20.解: . (1)由题意 S表 = 2π ? 2 + 2π ? 2 ? AA1 = 24π ,解得 AA1 = 4 . )
2
0

-------------------2 分

在 ?AOP 中, OA = OP = 2, ∠AOP = 120 ,所以 AP = 2 3 -------------------3 分
0 在 ?BOP 中, OB = OP = 2, ∠BOP = 60 ,所以 BP = 2 -------------------4 分

1 VA1 ? APB = S ?APB ? AA1 3

-------------------5 分

1 1 8 3 = ? ?2 3 ?2?4 = -------------------6 分 3 2 3
(2)取 AA1 中点 Q ,连接 OQ , PQ ,则 OQ // A1 B , 所成的角. 得 ∠POQ 或它的补角为异面直线 A1 B 与 OP 所成的角. -------------------8 分 -------------------10 分

又 AP = 2 3 , AQ = AO = 2 ,得 OQ = 2 2 , PQ = 4 , 由余弦定理得 cos ∠POQ =

PO 2 + OQ 2 ? PQ 2 2 =? ,-------------------12 分 2 PO ? OQ 4
2 . -------------------14 分 4

得异面直线 A1 B 与 OP 所成的角为 arc cos

19.(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 12 分) 月高考模拟理科) 已知矩形 ABCD 内接于圆柱下底面的圆 O , PA 是圆柱的母线,若 AB = 6 , AD = 8 , 此圆柱的体积为 300π ,求异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值.
z
P

P

A

D O

A
B

D

O
C

B

y

C

x

19.解:设圆柱下底面圆 O 的半径为 r ,连 AC , 由矩形 ABCD 内接于圆 O ,可知 AC 是圆 O 的直径, 于是 2 r = AC = 62 + 82 = 10 ,得 r = 5 , ……………3 分
[来源:学_科_网]

又圆柱的体积 V = 25π ? PA = 300π ,可得 PA = 12 .……6 分 分别以直线 AB, AD, AP 为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标 uuur uuu r 系 A ? xyz ,可得 AC = (6,8,0), PB = (6,0, ?12) ,………8 分 r uuur uuu 设异面直线 AC 与 PB 所成角所成的角 θ ,向量 AC 与 PB 的夹角为 ? ,

uuur uuu r | AC ? PB | 36 3 5 r 则 cos θ =| cos ? |= uuur uuu = , = 25 | AC | ? | PB | 10 × 6 5
故异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值为

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

3 5 . 25

………………………………12 分



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