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1.2.2《导数运算法则2》课件



公式1.若f ( x ) ? c, 则f '( x ) ? 0; 公式2.若f ( x ) ? x , 则f '( x ) ? nx
n n ?1

;

公式3.若f ( x ) ? sin x, 则f '( x ) ? cos x; 公式4.若f ( x ) ? cos x, 则f '( x )

? ? sin x; 公式5.若f ( x ) ? a , 则f '( x ) ? a ln a ( a ? 0);
x x

公式6.若f ( x ) ? e , 则f '( x ) ? e ;
x x

公式7.若f ( x ) ? log a x, 则f '( x ) ? 公式8.若f ( x ) ? ln x, 则f '( x ) ? 1 x ;

1 x ln a

( a ? 0, 且a ? 1);

f ( x) ? g ( x) ?? ? f ?( x) ? g ?( x) ?

? ? f ( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x)?

f ( x) ? g ( x) ?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ?

1 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5%,物 价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系

p(t ) ? p0 (1 ? 5%)

t

其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第 10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精 确到0.01)? 解:根据基本初等函数导数公式表,有

p' (t ) ? 1.05 ln 1.05
t

? p' (10) ? 1.05 ln 1.05 ? 0.08(元 / 年)
10

因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。

2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则, 求函数y=x? -2x+3的导数。
解:因为y’=(x?-2x+3)’ = (x?)’-(2x)’+(3)’ =3x? -2 ∴函数y=x? -2x+3的导数是y’=3x?-2

[kf ( x)]' ? kf ' ( x)
推广:[aU(x)±bV(x)]’=aU(x)’±bV(x)’

3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净 度的提高,所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到 纯净度x%时所需费用(单位:元)为
c( x) ? 5284 100 ? x (80 ? x ? 100)

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90% (2)98% 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c' ( x) ? ( )' ? 100 ? x
?

5284

5284'?(100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x)' (100 ? x) ? 5284 (100 ? x)
2 2

0 ? (100 ? x) ? 5284 ? (?1) (100 ? x)
2

(1)因为c' (90) ?

5284 (100 ? 90)
2

? 52.84

所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨
5284 (100 ? 98)
2

(2)因为c' (98) ?

? 1321

所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨

6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.

解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S 1 , y ? ? 2 x , 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S 2 , y ? ? ? 2 ( x ? 2 ), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
? 2 x1 ? ? 2( x 2 ? 2 ) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ? ? 或? . 因为两切线重合, ? ? 2 2 ? ? x1 ? x 2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0

若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.

所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.

一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通 过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函 数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作 y=f(g(x)).

如下函数由多少个函数复合而成:

1. y ? sin 2 x 2. y ? ? 2 x ?1
2 2

3. y ? (sin 2 x ? 1)

复合函数y ? f ( g ( x))的导数和函数 y ? f (u ), u ? g ( x)的导数间的关系为 y x ' ? yu '?u x '

4 求下列函数的导数

(1) y ? (2 x ? 3)
2

2

解:)函数y ? (2 x ? 3) 可以看作函数y ? u 和 (1
2

u ? 2 x ? 3的复合函数。根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '?u x ' ? (u )'?( 2 x ? 3)'
2

? 4u ? 8 x ? 12

(2) y ? e
解:)函数y ? e (1

?0.05 x ?1

?0.05 x ?1

可以看作函数y ? e 和
u

u ? ?0.05 x ? 1 的复合函数。根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '?u x ' ? (e )'?(?0.05 x ? 1)'
u

? ?0.05e ? ?0.05e

u ?0.05 x ?1

(3) y ? sin( ?x ? ? )(其中?,?均为常数)
解:)函数y ? sin( ?x ? ? )可以看作函数y ? sin u和 (1 u ? ?x ? ?的复合函数。根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '?u x ' ? (sin u )'?(?x ? ? )' ? ? cos u ? ? cos(?x ? ? )

函数求导的基本步骤:
1,分析函数的结构和特征

2,选择恰当的求导法则和导数公式
3,整理得到结果

求下列函数的导数

1. y ? x ? sin
2

x 2

cos

x 2

2. y ? sin (2 x ?
1 1? x ?

?
3

)

3.y=

1 1? x

若可导函数f(x)是奇函数,求证:其导函数 f′(x)是偶函数.
2.利用积的运算法则和求导公式证明:

[

f ( x) g ( x)

]' ?

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) [ g ( x)]
2

已知函数y=(x)是可导的周期函数,试 求证其导函数y=f′(x)也为周期函数.

设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相 等的实根,且f’(x)=2x+2.求y=f(x)的表达式。



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