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黄冈中学高考数学第一轮复习专题



黄冈中学高中数学(2013)第一轮复习专题 华南师范附中 第一章 第一节 集合

集合的含义、表示及基本关系 A组 1.已知 A={1,2},B={x|x∈A},则集合 A 与 B 的关 系为________. 解析:由集合 B={x|x∈A}知,B={1,2}.答案: A=B 2.若? {x|x2≤a,a∈R},则实数 a 的取值范围是 ________.

解析: 由题意知, 2≤a 有解, a≥0.答案: x 故 a≥0 2 3.已知集合 A={y|y=x -2x-1,x∈R},集合 B= {x|-2≤x<8},则集合 A 与 B 的关系是________. 解析:y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A= {y|y≥-2},∴B A. 答案:B A 4.(2009 年高考广东卷改编)已知全集 U=R,则正确 表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2+x=0}关系的韦 恩(Venn)图是________.

解析:由 N={x|x2+x=0},得 N={-1,0},则 N M. 答案:②

5.(2010 年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合 A= {x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题 “x∈B”的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不 必要条件,∴A?B,∴a<5. 答案:a<5 6.(原创题)已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a, a∈Z}, B={x|x=2a+1, a∈Z}, C={x|x=4a+1, 又 a∈Z},判断 m+n 属于哪一个集合? 解:∵m∈A,∴设 m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B, ∴设 n=2a2+1,a2∈Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2∈Z,∴m+n∈B. B组 a b ab 1.设 a,b 都是非零实数,y= + + 可能取的 |a| |b| |ab| 值组成的集合是________. 解析: 分四种情况: (1)a>0 且 b>0; (2)a>0 且 b<0; (3)a<0 且 b>0;(4)a<0 且 b<0,讨论得 y=3 或 y=- 1.答案:{3,-1} 2. 已知集合 A={-1,3,2m-1}, 集合 B={3, 2}. m 若 B?A,则实数 m=________. 解析:∵B?A,显然 m2≠-1 且 m2≠3,故 m2 =2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1.答案:1 3.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是________个. 解析:依次分别取 a=0,2,5;b=1,2,6,并分别

求 和 , 注 意 到 集 合 元 素 的 互 异 性 , ∴P + Q = {1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:8 4.已知集合 M={x|x2=1},集合 N={x|ax=1},若 N?M,那么 a 的值是________. 解析:M={x|x=1 或 x=-1},N?M,所以 N 1 =?时,a=0;当 a≠0 时,x= =1 或-1,∴a=1 a 或-1.答案:0,1,-1 5.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________ 个. 解析: 中一定有元素 1, A 所以 A 有{1,2}, {1,3}, {1,2,3}.答案:3 1 b 1 6.已知集合 A={x|x=a+ ,a∈Z},B={x|x= - , 6 2 3 c 1 b∈Z},C={x|x= + ,c∈Z},则 A、B、C 之间的 2 6 关系是________. 解析:用列举法寻找规律.答案:A B=C 7.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A? B”是“a>5”的________. 解析:结合数轴若 A?B?a≥4,故“A?B”是 “a>5”的必要但不充分条件.答案:必要不充分条 件 8.(2010 年江苏启东模拟)设集合 M={m|m=2n , n∈N, m<500}, M 中所有元素的和为________. 且 则 n 解析:∵2 <500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中 所有元素的和 S=1+2+22+?+28=511.答案:511 9.(2009 年高考北京卷)设 A 是整数集的一个非空子 集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1?A,那么称 k

是 A 的一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8}, 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含“孤立元” 的集合共有________个. 解析:依题可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集 合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三 个数.故这样的集合共有 6 个.答案:6 10.已知 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且 A =B,试求 x,y 的值. 解:由 lg(xy)知,xy>0,故 x≠0,xy≠0,于是由 A=B 得 lg(xy)=0,xy=1. 1 ∴A={x,1,0},B={0,|x|, }. x 1 于是必有|x|=1, =x≠1,故 x=-1,从而 y= x -1. 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若 B?A, B={x|m+1≤x≤2m-1}, 求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B, B={x|m-6≤x≤2m-1}, 求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B, B={x|m-6≤x≤2m-1}, 求实数 m 的取值范围. 解 : 由 A = {x|x2 - 3x- 10≤0}, 得 A = {x|- 2≤x≤5}, (1)∵B?A,∴①若 B=?,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B?A.

?m+1≤2m-1, ? ②若 B≠?, ?-2≤m+1, 则 解得 2≤m≤3. ?2m-1≤5. ?
由①②得,m 的取值范围是(-∞,3].

?2m-1>m-6, ? (2)若 A?B,则依题意应有?m-6≤-2, 解 ?2m-1≥5. ? ?m>-5, ? 得?m≤4, 故 3≤m≤4, ?m≥3. ?
∴m 的取值范围是[3,4]. ?m-6=-2, ? (3)若 A=B,则必有? 解得 m∈?., ?2m-1=5, ? 即不存在 m 值使得 A=B. 12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+ 1)x+a≤0}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围. 解:由 x2 -3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得 1≤x≤2,故 A={x|1≤x≤2}, 而集合 B={x|(x-1)(x-a)≤0}, (1)若 A 是 B 的真子集,即 A?B,则此时 B= {x|1≤x ≤ a},故 a>2. (2)若 B 是 A 的子集,即 B?A,由数轴可知

1≤a≤2.

(3)若 A=B,则必有 a=2 第二节 集合的基本运算

A组 1.(2009 年高考浙江卷改编)设 U=R,A={x|x>0}, B={x|x>1},则 A∩?UB=____. 解析: UB={x|x≤1}, ? ∴A∩?UB={x|0<x≤1}. 答 案:{x|0<x≤1} 2.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)设集合 A={4,5,7,9}, B={3,4,7,8,9}, 全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的 元素共有________个. 解析:A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},? U(A∩B)={3,5,8}.答案:3 3.已知集合 M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则 集合 M∩N=________. 解析: 由题意知, N={0,2,4}, M∩N={0,2}. 故 答 案:{0,2} 4.(原创题)设 A,B 是非空集合,定义 A?B= {x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A={x|0≤x≤2},B= {y|y≥0},则 A?B=________. 解析:A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以 A ?B=(2,+∞). 答案:(2,+∞) 5.(2009 年高考湖南卷)某班共 30 人,其中 15 人喜 爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动, 8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱

篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设两项运动都喜欢的人数为 x,画出韦恩 图得到方程 15-x+x+10-x+8=30 x=3,∴喜爱篮球运 动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15-3=12(人).答案: 12 6.(2010 年浙江嘉兴质检)已知集合 A={x|x>1}, 集合 B={x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 解: (1)当 m=-1 时, ={x|-1≤x≤2}, A∩B B ∴ ={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥-1}.(2)若 B?A,则 m>1,即 m 的取值范围为(1,+∞) B组 1 . 若 集 合 M = {x∈R| - 3<x<1} , N = {x∈Z| - 1≤x≤2},则 M∩N=________. 解析: 因为集合 N={-1,0,1,2}, 所以 M∩N={- 1,0}.答案:{-1,0} 2.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={-1,2},B= {0,2},则(?UA)∩B=________. 解析: UA={0,1}, ? 故(?UA)∩B={0}. 答案: {0} 3.(2010 年济南市高三模拟)若全集 U=R,集合 M ={x|-2≤x≤2},N={x|x2 -3x≤0},则 M∩(? UN) =________. 解 析 : 根 据 已 知 得 M∩( ? UN) = {x| - 2≤x≤2}∩{x|x<0 或 x>3}={x|-2≤x<0}.答案:{x| -2≤x<0} 4.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩B={2}, 则 A∪B=________.

解析:由 A∩B={2}得 log2a=2,∴a=4,从而 b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4} 5.(2009 年高考江西卷改编)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, UA)∪(?UB)中有 n 个元素. A∩B 非空, (? 若 则 A∩B 的元素个数为________. 解析:U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(? UA)∪(? UB)=? U(A∩B)中有 n 个元素,∴A∩B 中有 m-n 个元素.答 案:m-n 6.(2009 年高考重庆卷)设 U={n|n 是小于 9 的正整 数}, A={n∈U|n 是奇数}, B={n∈U|n 是 3 的倍数}, 则?U(A∪B)=________. 解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B= {3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7}, 得?U(A∪B)={2,4,8}.答案:{2,4,8} x 7.定义 A?B={z|z=xy+ ,x∈A,y∈B}.设集合 A y ={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A?B)?C 的所有 元素之和为________. 解析:由题意可求(A?B)中所含的元素有 0,4,5, 则(A?B)?C 中所含的元素有 0,8,10,故所有元素之和 为 18.答案:18 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4=0}? {( x, y)|y=3x+b},则 b=________. ?x+y-2=0, ?x=0, ? ? 解析:由? ?? 点(0,2)在 y ?x-2y+4=0. ?y=2. ? ? =3x+b 上,∴b=2.

9.设全集 I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?IA ={5},M={x|x=log2|a|},则集合 M 的所有子集是 ________. 解析: ∵A∪(?IA)=I, ∴{2,3, 2+2a-3}={2,5, a |a+1|},∴|a+1|=3,且 a2+2a-3=5,解得 a=-4 或 a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案:?,{1},{2},{1,2} 10. 设集合 A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x2+2(a+1)x +(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A ={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入 B 中的方程,得 a2+4a+3=0?a=-1 或 a=-3;当 a=-1 时,B ={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;当 a=-3 时, B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;综上,a 的值 为-1 或-3. (2)对于集合 B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+ 3).∵A∪B=A,∴B?A, ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件;②当 Δ =0,即 a=-3 时,B={2}满足条件;③当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系 数的关系得 ?a=-5, ?1+2=-2(a+1) ? ? 2 ? ?? 矛盾.综上,a 2 ?1×2=a -5 2 ? ?a =7, ? 的取值范围是 a≤-3.

6 -1的定义域为集合 A, x+1 函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 解:A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3},则?RB={x|x≤ -1 或 x≥3}, ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, ∴有-42+2×4+m=0,解得 m=8,此时 B= {x|-2<x<4},符合题意. 12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A; (3)求集合 M={a∈R|A≠?}. 解:(1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解. 2 若 a=0,方程有一解 x= ,不合题意. 3 若 a≠0,要方程 ax2-3x+2=0 无解,则 Δ=9 9 -8a<0,则 a> . 8 9 综上可知,若 A=?,则 a 的取值范围应为 a> . 8 (2)当 a=0 时,方程 ax2-3x+2=0 只有一根 x 2 2 = ,A={ }符合题意. 3 3 9 当 a≠0 时,则 Δ=9-8a=0,即 a= 时, 8 11.已知函数 f(x)=

4 4 方程有两个相等的实数根 x= ,则 A={ }. 3 3 2 9 综上可知,当 a=0 时,A={ };当 a= 时,A 3 8 4 ={ }. 3 2 (3)当 a=0 时,A={ }≠?.当 a≠0 时,要使方程 3 有实数根, 9 则 Δ=9-8a≥0,即 a≤ . 8 9 综 上 可 知 , a 的 取 值 范 围 是 a≤ , 即 M = 8 9 {a∈R|A≠?}={a|a≤ } 8

第二章 第一节

函数

对函数的进一步认识 A组

-x2-3x+4 1. (2009 年高考江西卷改编)函数 y= 的 x 定义域为________. ?-x2-3x+4≥0, ? 解析:? ? ?x≠0, ?

x∈[-4,0)∪(0,1] 答案:[-4,0)∪(0,1] 2.(2010 年绍兴第一次质检)如图,函数 f(x)的图象是 曲线段 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0), 1 (1,2),(3,1),则 f( )的值等于________. f(3) 1 解析:由图象知 f(3)=1,f( )=f(1)=2.答案: f(3) 2 ?3x,x≤1, ? 3.(2009 年高考北京卷)已知函数 f(x)=? ?-x,x>1. ? 若 f(x)=2,则 x=________. 解析:依题意得 x≤1 时,3x=2,∴x=log32; 当 x>1 时, -x=2, x=-2(舍去). 故 x=log32.答案:log32 4. (2010 年黄冈市高三质检)函数 f: {1, 2}→{1, 2}满足 f[f(x)]>1 的这样的函 数个数有________个. 解析:如图.答案:1 5.(原创题)由等式 x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x +1)2+b2(x+1)+b3 定义一个映射 f(a1,a2,a3)=(b1, b2,b3),则 f(2,1,-1)=________. 解析:由题意知 x3+2x2+x-1=(x+1)3+b1(x+ 1)2+b2(x+1)+b3, 令 x=-1 得:-1=b3; ?-1=1+b1+b2+b3 ? 再令 x=0 与 x=1 得? , ?3=8+4b1+2b2+b3 ? 解得 b1=-1,b2=0.

答案:(-1,0,-1)

?1+1 ? x 6. 已知函数 f(x)=?x2+1 ?2x+3 ?


(x>1), (-1≤x≤1), (x<-1). (1)求 f(1

1 ), f{f[f(-2)]}的值;(2)求 f(3x-1); (3)若 f(a) 2-1

3 = , 求 a. 2 解:f(x)为分段函数,应分段求解. 1 (1)∵1- =1-( 2+1)=- 2<-1, ∴f(- 2-1 2)=-2 2+3, 又∵f(-2)=-1, f[f(-2)]=f(-1)=2, ∴f{f[f(- 1 3 2)]}=1+ = . 2 2 2 1 (2)若 3x-1>1,即 x> ,f(3x-1)=1+ = 3 3x-1 3x ; 3x-1 3 若-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤ ,f(3x-1)=(3x- 2 2 2 1) +1=9x -6x+2; 若 3x-1<-1,即 x<0,f(3x-1)=2(3x-1)+3 =6x+1.

3x 2 ?3x-1 (x> ), 3 ? 2 ∴f(3x-1)=? 2 9x -6x+2 (0≤x≤ ), 3 ? ?6x+1 (x<0). 3 (3)∵f(a)= ,∴a>1 或-1≤a≤1. 2 1 3 当 a>1 时,有 1+ = ,∴a=2; a 2 3 2 当-1≤a≤1 时,a2+1= ,∴a=± . 2 2 2 ∴a=2 或± . 2 B组 1.(2010 年广东江门质检)函数 y= 1)的定义域是________. 2 2 解析: 3x-2>0,2x-1>0, x> .答案: 由 得 {x|x> } 3 3 2 . (2010 年 山 东 枣 庄 模 拟 ) 函 数 f(x) = 1 +lg(2x- 3x-2

?-2x+1,(x<-1), ? 3 ?-3,(-1≤x≤2), 则 f(f(f(2)+5))=_. ?2x-1,(x>2), ?
3 3 解析:∵-1≤ ≤2,∴f( )+5=-3+5=2,∵ 2 2 -1≤2≤2,∴f(2)=-3, ∴f(-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案:7

3.定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x) =lg(x+1),则 f(x)的解析式为________. 解析:∵对任意的 x∈(-1,1),有-x∈(-1,1), 由 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 由 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),② ①×2+②消去 f(-x), 3f(x)=2lg(x+1)+lg(- 得 x+1), 2 1 ∴f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),(-1<x<1). 3 3 2 1 答案:f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),(-1<x<1) 3 3 4. 设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1, 则函数 y=f(x) 与 y=x 图象交点的个数可能是________个. 解析: f(x+1)=f(x)+1 可得 f(1)=f(0)+1, 由 f(2) =f(0)+2,f(3)=f(0)+3,?本题中如果 f(0)=0,那 么 y=f(x)和 y=x 有无数个交点; f(0)≠0, y=f(x) 若 则 和 y=x 有零个交点.答案:0 或无数 ?2 (x>0) ? 5.设函数 f(x)=? 2 ,若 f(-4) ? ?x +bx+c (x≤0) = f(0) , f( - 2) = - 2 , 则 f(x) 的 解 析 式 为 f(x) = ________,关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为 ________个. 解析:由题意得
?16-4b+c=c ? ? ?4-2b+c=-2 ? ?b=4 ? ?? ?c=2 ?



?2 ? ∴f(x)=? 2 ?x +4x+2 ?

(x>0) (x≤0)

.

由数形结合得 f(x)=x 的解的个数有 3 个.
?2 ? 答案:? 2 ?x +4x+2 ?

(x>0) (x≤0)

3

6.设函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),函数 g(x)=-x2 1 +bx+c,若 f(2+ 2)-f( 2+1)= ,g(x)的图象过点 2 A(4,-5)及 B(-2,-5),则 a=__________,函数 f[g(x)]的定义域为__________. 答案:2 (-1,3) 7 . (2009 年 高 考 天 津 卷 改 编 ) 设 函 数 f(x) = ?x2-4x+6,x≥0 ? ? , 则 不 等 式 f(x)>f(1) 的 解 集 是 ?x+6,x<0 ? ________. 解析:由已知,函数先增后减再增,当 x≥0, f(x)>f(1)=3 时,令 f(x)=3, 解得 x=1,x=3.故 f(x)>f(1)的解集为 0≤x<1 或 x>3. 当 x<0,x+6=3 时,x=-3,故 f(x)>f(1)=3,

解得-3<x<0 或 x>3. 综上,f(x)>f(1)的解集为{x|-3<x<1 或 x>3}.答 案:{x|-3<x<1 或 x>3} 8.(2009 年高考山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 ?log2(4-x), x≤0, ? ? f(x) = 则 f(3) 的 值 为 ?f(x-1)-f(x-2), x>0, ? ________. 解析: ∵f(3)=f(2)-f(1), f(2)=f(1)-f(0), 又 ∴f(3) =-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3)=-2.答案:-2 9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进 水量是一定的,设从某时刻开始,5 分钟内只进水, 不出水,在随后的 15 分钟内既进水,又出水,得到 时间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图.再随后,只 放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即 x≥20), y 与 x 之间函数的函数关系是________.

解析:设进水速度为 a1 升/分钟,出水速度为 a2
?5a1=20 ? 升/分钟,则由题意得? ? ?5a1+15(a1-a2)=35

,得

?a1=4 ? ? ?a2=3 ?

,则 y=35-3(x-20),得 y=-3x+95,又 95 ,又知 x≥20, 3

因为水放完为止,所以时间为 x≤ 故解析式为 y=-3x+95(20≤x≤ 95 +95(20≤x≤ ) 3

95 ). 答案: y=-3x 3

10.函数 f(x)= (1-a2)x2+3(1-a)x+6. (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的定义域为[-2,1],求实数 a 的值. 解:(1)①若 1-a2=0,即 a=± 1, (ⅰ)若 a=1 时,f(x)= 6,定义域为 R,符合题 意; (ⅱ)当 a=-1 时,f(x)= 6x+6,定义域为[-1, +∞),不合题意. ②若 1-a2≠0,则 g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6 为二次函数. 由题意知 g(x)≥0 对 x∈R 恒成立, ?1-a2>0, ?-1<a<1, ? ? ? ∴ ∴? ?Δ≤0, ?(a-1)(11a+5)≤0, ? ? 5 5 ∴- ≤a<1.由①②可得- ≤a≤1. 11 11 (2)由题意知,不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0 的解集为[-2,1],显然 1-a2≠0 且-2,1 是方程(1-

a2)x2+3(1-a)x+6=0 的两个根.



? ? 3(1-a) -2+1= 2 , ? a -1 ? 6 -2= , ? 1-a2 ?Δ=[3(1-a)]2-24(1-a2)>0 ?
1-a2<0,

?a<-1或a>1, ?a=2, ∴?a=± 2. ?a<- 5 或a>1 ? 11

∴a=2.

11.已知 f(x+2)=f(x)(x∈R),并且当 x∈[-1,1]时, f(x)=-x2+1,求当 x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时、f(x) 的解析式. 解: f(x+2)=f(x), 由 可推知 f(x)是以 2 为周期的 周期函数. x∈[2k-1,2k+1]时, 当 2k-1≤x≤2k+1, -1≤x-2k≤1.∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1. 又 f(x)=f(x-2)=f(x-4)=?=f(x-2k), ∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z. 12.在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上,中国自主研制 的 ARJ 21 支线客机备受关注,接到了包括美国在内 的多国订单.某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每 小时能加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置.现将工

人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置, 设加工 C 型装置的工人有 x 位,他们加工完 C 型装 置所需时间为 g(x), 其余工人加工完 H 型装置所需时 间为 h(x).(单位:h,时间可不为整数) (1)写出 g(x),h(x)的解析式; (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解 析式; (3)应怎样分组, 才能使完成总任务的时间最少? 2000 1000 解: (1)g(x)= (0<x<216, x∈N*), h(x)= 3x 216-x * (0<x<216,x∈N ). ?2000 (0<x≤86,x∈N*). ? 3x (2)f(x)= ? (3)分 1000 * ?216-x (87≤x<216,x∈N ). ? 别为 86、130 或 87、129. 第二节 函数的单调性 A组 1.(2009 年高考福建卷改编)下列函数 f(x)中,满足 “对任意 x1 ,x2∈(0 ,+ ∞) , 当 x1<x2 时,都 有 f(x1)>f(x2)”的是________. ①f(x)= ln(x+1) 1 x ②f(x)=(x-1)2 ③f(x)=ex ④f(x)=

解析: ∵对任意的 x1, 2∈(0, x +∞), x1<x2 时, 当 都有 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答 案:① 2.函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数 g(x)= f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________. 解析: ∵0<a<1, y=logax 为减函数, ∴logax∈[0, 1 ]时,g(x)为减函数. 2 1 由 0≤logax≤ ? a≤x≤1.答案: a, [ 1](或( a, 2 1)) 3.函数 y= x-4+ 15-3x 的值域是________. π 解析:令 x=4+sin2α,α∈[0, ],y=sinα+ 3 2 π cosα=2sin(α+ ),∴1≤y≤2. 3 答案:[1,2] a 4.已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈R)在区间[0,1]上单调递 e 增,则实数 a 的取值范围__.

a a 解析:当 a<0,且 ex+ x≥0 时,只需满足 e0+ 0 e e ≥0 即可,则-1≤a<0;当 a=0 时,f(x)=|ex|=ex 符 a 合题意;当 a>0 时,f(x)=ex+ x,则满足 f′(x)=ex e a - x≥0 在 x∈[0,1]上恒成立.只需满足 a≤(e2x)min 成 e 立即可,故 a≤1,综上-1≤a≤1. 答案:-1≤a≤1 5.(原创题)如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都 有 f(x)≥M(M 为常数),称 M 为 f(x)的下界,下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界,下列函数中,有下确 界的所有函数是________. ①f(x)=sinx;②f(x)=lgx;③f(x)=ex ;④f(x)=

?1 (x>0) ? ?0 (x=0) ?-1 (x<-1) ?
解析: ∵sinx≥-1, ∴f(x)=sinx 的下确界为-1, 即 f(x)=sinx 是有下确界的函数;∵f(x)=lgx 的值域 为(-∞,+∞),∴f(x)=lgx 没有下确界;∴f(x)=ex 的值域为(0,+∞),∴f(x)=ex 的下确界为 0,即 f(x)

=ex 是有下确界的函数;

?1 (x>0) ? ∵f(x) = ?0 (x=0) ?-1 (x<-1) ?

的 下 确 界 为 - 1.∴f(x) =

?1 (x>0) ? 是有下确界的函数.答案:①③④ ?0 (x=0) ?-1 (x<-1) ?
6.已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值 范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在 [0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. 解 : (1) x∈R , f(x)<b· g(x)?x∈R , x2 - bx + b<0? Δ =(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4.(2)F(x)=x2-mx +1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4, 2 5 2 5 ①当 Δ≤0 即- ≤m≤ 时,则必需 5 5

?m≤0 ?2 ? 2 5 2 5 ?- 5 ≤m≤ 5 ?

?-

2 5 ≤m≤0. 5

②当 Δ>0 即 m<-

2 5 2 5 或 m> 时,设方程 F(x) 5 5

m =0 的根为 x1,x2(x1<x2),若 ≥1,则 x1≤0. 2

?m≥1 ?2 ? ?m≥2. 2 ?F(0)=1-m ≤0 ?
m 若 ≤0,则 x2≤0, 2

?m≤0 ?2 2 5 ? ?-1≤m<- .综上所述: 5 2 ?F(0)=1-m ≥0 ?
-1≤m≤0 或 m≥2. B组 1.(2010 年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间 是(-∞,0]的是________. ①y=- -|x| 解析:由函数 y=-|x|的图象可知其增区间为(- ∞,0].答案:④ 2.若函数 f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上 1 x ②y=-(x-1) ③y=x2 -2 ④y=

是增函数,则实数 a 的取值范围是________. 解析:令 g(x)=x2-ax+3a,由题知 g(x)在[2, +∞)上是增函数,且 g(2)>0.

?a≤2, ?2 ∴? ?4-2a+3a>0, ?
4<a≤4

∴ - 4<a≤4. 答 案 : -

a 3 3.若函数 f(x)=x+ (a>0)在( ,+∞)上是单调增函 x 4 数,则实数 a 的取值范围__. a 解析:∵f(x)=x+ (a>0)在( a,+∞)上为增函 x 3 9 数,∴ a≤ ,0<a≤ . 4 16 答案:(0, 9 ] 16

4.(2009 年高考陕西卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则下列结论正确的是________. ①f(3)<f(-2)<f(1) ③f(-2)<f(1)<f(3) ②f(1)<f(-2)<f(3) ④f(3)<f(1)<f(-2) f(x2)-f(x1) x2-x1

f(x2)-f(x1) 解析:由已知 <0,得 f(x)在 x∈[0,+ x2-x1 ∞)上单调递减,由偶函数性质得 f(2)=f(-2),即 f(3)<f(-2)<f(1).答案:① 5 . (2010 年 陕 西 西 安 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) =
?ax ? ? ?(a-3)x+4a ?

(x<0), (x≥0)

满 足 对 任 意 x1≠x2 , 都 有

f(x1)-f(x2) <0 成立,则 a 的取值范围是________. x1-x2 解 析 : 由 题 意 知 , f(x) 为 减 函 数 , 所 以

?0<a<1, ? 1 解得 0<a≤ . ?a-3<0, 4 ?a0≥(a-3)×0+4a, ?
6. (2010 年宁夏石嘴山模拟)函数 f(x) 的图象是如下图所示的折线段 OAB,点 A 的坐标为(1,2),点 B 的 坐标为(3,0),定义函数 g(x)=f(x)· (x-1),则函数 g(x) 的最大值为________.
?2x(x-1) ? 解析:g(x)=? ?(-x+3)(x-1) ?

(0≤x<1), (1≤x≤3),

当 0≤x<1 时,最大值为 0;当 1≤x≤3 时, 在 x=2 取得最大值 1.答案:1 7.(2010 年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的 函数 y=f(x)的值域为[-2,0], 则函数 y=f(cos x)的值 域是________. 解析: ∵cos x∈[-1,1], 函数 y=f(x)的值域为[- 2,0],∴y=f(cos x)的值域为[-2,0].答案:[-2,0] 8.已知 f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)]2 +f(x2)的最大值是________. 解析:∵函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为
?1≤x≤9, ? ? ?1≤x2≤9, ?

∴x∈[1,3],令 log3x=t,t∈[0,1],

∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,∴当 t=1 时, ymax=13.答案:13 1 9.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0, ) 2 内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间为__________. 1 解析:令 μ=2x2+x,当 x∈(0, )时,μ∈(0,1), 2 而此时 f(x)>0 恒成立,∴0<a<1.

1 1 1 μ=2(x+ )2- ,则减区间为(-∞,- ).而必 4 8 4 1 然有 2x2+x>0,即 x>0 或 x<- .∴f(x)的单调递增区 2 1 1 间为(-∞,- ).答案:(-∞,- ) 2 2 1 1 10.试讨论函数 y=2(log x)2-2log x+1 的单调性. 2 2 解:易知函数的定义域为(0,+∞).如果令 u= 1 g(x)=log x,y=f(u)=2u2-2u+1,那么原函数 y= 2 f[g(x)]是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数,而 u= 1 log x 在 x∈(0,+∞)内是减函数,y=2u2-2u+1= 2 1 1 1 1 2(u- )2+ 在 u∈(-∞, )上是减函数,在 u∈( , 2 2 2 2 1 1 1 2 +∞)上是增函数.又 u≤ ,即 log x≤ ,得 x≥ ; 2 2 2 2 1 2 u> , 0<x< .由此, 得 从下表讨论复合函数 y=f[g(x)] 2 2 的单调性: 函数 单调性

(0, 1 u=log x 2 f(u)=2u2-2u+1 1 1 y=2(log x)2-2log x 2 2 +1

2 ) 2

(

2 ,+ 2 ∞)

? ?

? ?

1 1 2 故函数 y=2(log x)2-2log x+1 在区间(0, )上单 2 2 2 调递减,在区间( 2 ,+∞)上单调递增. 2

11.(2010 年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞) x1 上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时, x2 f(x)<0. (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3) =-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解: (1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0, 故 f(1)=0.

x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, x2 由于当 x>1 时,f(x)<0, x1 所以 f( )<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), x2 所以函数 f(x)在区间(0, +∞)上是单调递减函数. x1 9 (3)由 f( )=f(x1)-f(x2)得 f( )=f(9)-f(3),而 f(3) x2 3 =-1,所以 f(9)=-2. 由于函数 f(x)在区间(0, +∞)上是单调递减函数, 由 f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9 或 x<-9.因此不等 式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. x2+ax+b 12.已知:f(x)=log3 ,x∈(0,+∞),是否 x 存在实数 a,b,使 f(x)同时满足下列三个条件:(1) 在(0,1]上是减函数, (2)在[1, +∞)上是增函数, (3)f(x) 的最小值是 1.若存在,求出 a、b;若不存在,说明 理由. 解:∵f(x)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增 1+a+b 函数,∴x=1 时,f(x)最小,log3 =1.即 a+b 1

=2. x12+ax1+b 设 0<x1<x2≤1, f(x1)>f(x2). 则 即 > x1 x22+ax2+b 恒成立. x2 由此得 (x1-x2)(x1x2-b) >0 恒成立. x1x2

又∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0 恒成立, ∴b≥1. 设 1≤x3 < x4 , 则 f(x3) < f(x4) 恒 成

(x3-x4)(x3x4-b) 立.∴ <0 恒成立. x3x4 ∵x3-x4<0, 3x4>0, 3x4>b 恒成立. x ∴x ∴b≤1. 由 b≥1 且 b≤1 可知 b=1,∴a=1.∴存在 a、b,使 f(x)同时满足三个条件. 第三节 函数的性质 A组 1.设偶函数 f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增, 则 f(a+1)与 f(b+2)的大小关系为________. 解析:由 f(x)为偶函数,知 b=0,∴f(x)=loga|x|, 又 f(x)在(-∞, 0)上单调递增, 所以 0<a<1,1<a+1<2, 则 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f(a+1)>f(b+ 2).答案:f(a+1)>f(b+2)

2.(2010 年广东三校模拟)定义在 R 上的函数 f(x)既 是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则 f(1)+f(4) +f(7)等于________. 解析:f(x)为奇函数,且 x∈R,所以 f(0)=0,由 周期为 2 可知, f(4)=0, f(7)=f(1), 又由 f(x+2)=f(x), 令 x=-1 得 f(1)=f(-1)=-f(1)?f(1)=0,所以 f(1) +f(4)+f(7)=0.答案:0 3.(2009 年高考山东卷改编)已知定义在 R 上的奇函 数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函 数,则 f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系为________. 解析:因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x- 8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数,则 f(- 25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为 f(x)在 R 上是奇函数, f(0)=0, f(80)=f(0)=0, 得 f(-25)=f(- 1)=-f(1), 而由 f(x-4)=-f(x)得 f(11)=f(3)=-f(- 3)=-f(1-4)=f(1),又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函 数 , 所 以 f(1)>f(0) = 0 , 所 以 - f(1)<0 , 即 f( - 25)<f(80)<f(11). 答案:f(-25)<f(80)<f(11) 4. (2009 年高考辽宁卷改编)已知偶函数 f(x)在区间[0, 1 +∞)上单调增加, 则满足 f(2x-1)<f( )的 x 取值范围 3 是________. 解析:由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|),由 f(|2x 1 1 1 -1|)<f( ),再根据 f(x)的单调性得|2x-1|< ,解得 3 3 3 2 1 2 <x< .答案:( , ) 3 3 3 5.(原创题)已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对

x∈R,f(2+x)=f(2-x),当 f(-3)=-2 时,f(2011) 的值为________. 解析:因为定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,所 以 f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),故函数 f(x)是以 4 为周 期的函数,所以 f(2011)=f(3+502×4)=f(3)=f(-3) =-2.答案:-2 6.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5, 函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, 又知 y=f(x) 在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x =2 时函数取得最小值-5.(1)证明: f(1)+f(4)=0; (2) 求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)求 y=f(x)在[4,9]上 的解析式. 解:(1)证明:∵f(x)是以 5 为周期的周期函数, ∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)= -f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)当 x∈[1,4]时,由题意可设 f(x)=a(x-2)2- 5(a>0),由 f(1)+f(4)=0,得 a(1-2)2-5+a(4-2)2 -5=0,∴a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(0)=0,又 知 y = f(x) 在 [0,1] 上 是 一 次 函 数 , ∴ 可 设 f(x) = kx(0≤x≤1),而 f(1)=2(1-2)2-5=-3,∴k=-3, ∴当 0≤x≤1 时,f(x)=-3x,从而当-1≤x<0 时, f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1 时,f(x)=-3x.∴ 当 4≤x≤6 时, 有-1≤x-5≤1, ∴f(x)=f(x-5)=- 3(x-5)=-3x+15.当 6<x≤9 时,1<x-5≤4,∴f(x) =f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.

?-3x+15, 4≤x≤6 ? ∴f(x)=? ?2(x-7)2-5, 6<x≤9 ?

.

B组 1. (2009 年高考全国卷Ⅰ改编)函数 f(x)的定义域为 R, 若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则下列结论正确的 是________. ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)=f(x+ 2) ④f(x+3)是奇函数 解析:∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,∴f(-x +1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),∴函数 f(x) 关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数 f(x)是周期 T= 2[1-(-1)]=4 的周期函数.∴f(-x-1+4)=-f(x -1+4), f(-x+3)=-f(x+3), f(x+3)是奇函数. 即 答 案:④ 3 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ ), 2 且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f(1)+f(2)+?+ f(2009)+f(2010)=________. 3 解析:f(x)=-f(x+ )?f(x+3)=f(x),即周期为 2 3,由 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,所以 f(1)=-1, f(2)=-1,f(3)=2,所以 f(1)+f(2)+?+f(2009)+ f(2010)=f(2008)+f(2009)+f(2010)=f(1)+f(2)+f(3) =0.答案:0 3.(2010 年浙江台州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的 奇函数,且 f(1)=1,若将 f(x)的图象向右平移一个单

位后, 得到一个偶函数的图象, f(1)+f(2)+f(3)+? 则 +f(2010)=________. 解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x) =-f(x),将 f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一 个偶函数的图象,则满足 f(-2+x)=-f(x),即 f(x+ 2)=-f(x), 所以周期为 4, f(1)=1, f(2)=f(0)=0, f(3) =-f(1)=-1,f(4)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4) =0, f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2010)=f(4)×502+f(2) 则 =0.答案:0 4.(2010 年湖南郴州质检)已知函数 f(x)是 R 上的偶 函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0,那 么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 解析:在(0,+∞)上有 f′(x)>0,则在(0,+∞) 上 f(x)是增函数,在(-∞,0)上是减函数,又 f(x)在 R 上是偶函数,且 f(-1)=0,∴f(1)=0.从而可知 x∈(-∞, -1)时, f(x)>0; x∈(-1,0)时, f(x)<0; x∈(0,1) 时,f(x)<0;x∈(1,+∞)时,f(x)>0.∴不等式的解集 为(-∞,-1)∪(0,1)答案:(-∞,-1)∪(0,1). 5.(2009 年高考江西卷改编)已知函数 f(x)是(-∞, +∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2009)+ f(2010)的值为________. 解 析 : ∵f(x) 是 偶 函 数 , ∴f( - 2009) = f(2009).∵f(x)在 x≥0 时 f(x+2)=f(x),∴f(x)周期为 2.∴f(-2009)+f(2010)=f(2009)+f(2010)=f(1)+f(0) =log22+log21=0+1=1.答案:1 6.(2010 年江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数,并

1 ,若 f(x) 当 2<x<3 时,f(x)=x,则 f(2009.5)=________. 1 解析:由 f(x+2)=- ,可得 f(x+4)=f(x), f(x) f(2009.5)=f(502×4+1.5)=f(1.5)=f(-2.5)∵f(x)是偶 5 5 函数,∴f(2009.5)=f(2.5)= .答案: 2 2 7. (2010 年安徽黄山质检)定义在 R 上的函数 f(x)在(- ∞, a]上是增函数, 函数 y=f(x+a)是偶函数, x1<a, 当 x2>a,且|x1-a|<|x2-a|时,则 f(2a-x1)与 f(x2)的大小 关系为________. 解析:∵y=f(x+a)为偶函数,∴y=f(x+a)的图 象关于 y 轴对称, ∴y=f(x)的图象关于 x=a 对称. 又 ∵f(x)在(-∞,a]上是增函数,∴f(x)在[a,+∞)上是 减函数.当 x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2-a|时,有 a- x1<x2-a,即 a<2a-x1<x2,∴f(2a-x1)>f(x2).答案: f(2a-x1)>f(x2) 8.已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x) =x(x+1).若 f(a)=-2,则实数 a=________. 解析:当 x≥0 时,f(x)=x(x+1)>0,由 f(x)为奇 函数知 x<0 时,f(x)<0,∴a<0,f(-a)=2,∴-a(- a+1)=2,∴a=2(舍)或 a=-1.答案:-1 9. (2009 年高考山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若 方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=________. 解析:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4) =-f(x),所以 f(4-x)=f(x),因此,函数图象关于直 且对于定义域内任意的 x,满足 f(x+2)=-

线 x=2 对称且 f(0)=0.由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)= f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数.又因为 f(x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在区间[-2,0]上也 是增函数,如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区 间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4, 所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案:-8

10.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时, f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解:∵f(x)是奇函数,可得 f(0)=-f(0),∴f(0) =0.当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),∴ -f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x) (x>0). ?-xlg(2-x) (x<0), ? ∴f(x)= ? 即 f(x)=-xlg(2 ?-xlg(2+x) (x≥0). ? +|x|)(x∈R). 11.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x) + +f(y). (1)求证: f(x)是奇函数; (2)如果 x∈R , f(x)<0, 1 并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 2 解:(1)证明:∴函数定义域为 R,其定义域关于 原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x,∴f(0)=f(x)+ f(-x). x=y=0, 令 ∴f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0.∴f(x) 得 +f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

(2)法一: x, 设 y∈R , ∵f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(x +y)-f(x)=f(y). + ∵x∈R , f(x)<0 , ∴f(x + y) - f(x)<0 , ∴f(x + y)<f(x).∵x+y>x,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.又 ∵f(x)为奇函数,f(0)=0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是 减函数.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)= 1 - , ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2[f(1) 2 +f(2)]=-3.∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. 法二:设 x1<x2,且 x1,x2∈R.则 f(x2-x1)=f[x2 +(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x1>0, ∴f(x2 -x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递 1 减.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=- , 2 ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+ f(2)]=-3.∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1, 最小值为-3. 12.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=- f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 1 求使 f(x)=- 在[0,2010]上的所有 x 的个数. 2 解: (1)证明: ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x +2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数.



1 (2)当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 1 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1,∴f(-x)= (-x) 2 1 =- x.∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)= 2 1 1 1 - x,即 f(x)= x.故 f(x)= x(-1≤x≤1) 2 2 2 1 又设 1<x<3, 则-1<x-2<1, ∴f(x-2)= (x-2), 2 又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f[(-x)+2]=-[- 1 1 f(-x)]=-f(x),∴-f(x)= (x-2),∴f(x)=- (x- 2 2 ?1x (-1≤x≤1) ?2 2)(1<x<3).∴f(x)=? 1 ?-2(x-2) (1<x<3) ? 1 由 f(x)=- , 解得 x=-1.∵f(x)是以 4 为周期的 2 1 周期函数.故 f(x)=- 的所有 x=4n-1(n∈Z).令 2 1 3 0≤4n - 1≤2010 , 则 ≤n≤502 , 又 ∵n∈Z , 4 4 ∴1≤n≤502(n∈Z),∴在[0,2010]上共有 502 个 x 使 1 f(x)=- . 2 第三章 指数函数和对数函数 指数函数

第一节

A组 1.(2010 年黑龙江哈尔滨模拟)若 a>1,b<0,且 ab+ - - a b=2 2,则 ab-a b 的值等于________. - 解析:∵a>1,b<0,∴0<ab<1,a b>1.又∵(ab - - - +a b)2=a2b+a 2b+2=8,∴a2b+a 2b=6,∴(ab-a -b 2 - - ) =a2b+a 2b-2=4,∴ab-a b=-2.答案:-2 2.已知 f(x)=ax +b 的图象如图所示,则 f(3)= ________. 解析:由图象知 f(0)=1+b=- 2,∴b=-3.又 f(2)=a2-3=0,∴a = 3,则 f(3)=( 3)3-3=3 3-3. 答案:3 3-3 1 - 2 3 . 函 数 y = ( )2x x 的 值 域 是 2 ________. 解析:∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1 -2 1 1 ∴( )2x x ≥ .答案:[ ,+∞) 2 2 2 4.(2009 年高考山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0, 且 a≠1) 有 两 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________. 解析:函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=ax 与 函数 y=x+a 交点的个数, 由函数的图象可知 a>1 时 两函数图象有两个交点,0<a<1 时两函数图象有惟一 交点,故 a>1. 答案:(1,+∞)

5.(原创题)若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域 和值域都是[0,2],则实数 a 等于________. ?0<a<1 ?a>1 ? 2 ? 0 解析:由题意知?a -1=0 无解或?a -1=0

?a0-1=2 ?

?a2-1=2 ?

?a= 3.答案: 3 -2x+b 6. 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. (1) 2 +a 求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒 成立,求 k 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, -1+b 即 =0,解得 b=1. 2+a -2x+1 从 而 有 f(x) = x+1 . 又 由 f(1) = - f( - 1) 知 2 +a 1 - +1 -2+1 2 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a -2x+1 1 1 (2)法一:由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,又因 f(x)是奇 函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0?f(t2-2t)<

-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 t2-2t>-2t2 +k. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+ 1 12k<0,解得 k<- . 3 -2x+1 法二:由(1)知 f(x)= x+1 ,又由题设条件得 2 +2 2 2- -2t -2t+1 -22t k+1 + 2- + <0 2 + 2t -2t 1+2 22t k 1+2 2- + 2- 2- + 2- 即(22t k 1+2)(-2t 2t+1)+(2t 2t 1+2)(-22t k +1)<0 2- - 整理得 23t 2t k>1,因底数 2>1,故 3t2-2t-k>0 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+ 1 12k<0,解得 k<- . 3 B组 1.如果函数 f(x)=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过 第一、二、四象限,不经过第三象限,那么一定有 ________. ①0<a<1 且 b>0 ②0<a<1 且 0<b<1 ③a>1 且 b<0 ④a>1 且 b>0 解析:当 0<a<1 时,把指数函数 f(x)=ax 的图象 向下平移,观察可知-1<b-1<0,即 0<b<1.答案: ② 2.(2010 年保定模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a - +1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数, a 的取值范围是 则 ________.

解析:f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,所以 f(x) 在[a,+∞)上为减函数,又 f(x),g(x)都在[1,2]上为 ?a≤1 ? 减函数,所以需? ?0<a≤1.答案:(0,1] ? ?a+1>1 3.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以 f(1) 下条件①f (x)=ax· g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;若 g(1) f(-1) 5 + = ,则 a 等于________. g(-1) 2 f(x) f(1) 解析:由 f(x)=ax· g(x)得 =ax ,所以 + g(x) g(1) f(-1) 5 5 1 1 - = ?a+a 1= ,解得 a=2 或 .答案:2 或 2 2 2 g(-1) 2 4.(2010 年北京朝阳模拟)已知函数 f(x)=ax(a>0 且 - - 1 a≠1),其反函数为 f 1(x).若 f(2)=9,则 f 1( )+f(1) 3 的值是________. 解析:因为 f(2)=a2=9,且 a>0,∴a=3,则 f(x) 1 =3x= ,∴x=-1, 3 - 1 - 1 故 f 1( )=-1.又 f(1)=3,所以 f 1( )+f(1)=2. 3 3 答案:2 1 5. (2010 年山东青岛质检)已知 f(x)=( )x, f(x)的图 若 3 象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x),则 g(x)的表达式为________. 解析:设 y=g(x)上任意一点 P(x,y),P(x,y)

1 关于 x=1 的对称点 P′(2-x,y)在 f(x)=( )x 上,∴y 3 1 - - - =( )2 x=3x 2.答案:y=3x 2(x∈R) 3 - ex+e x 6. (2009 年高考山东卷改编)函数 y= x -x的图象大 e -e 致为________.

e x+ex ex+e x 解析:∵f(-x)= -x x =- x -x =-f(x), e -e e -e ∴f(x)为奇函数,排除④. - ex+e x e2x+1 e2x-1+2 2 又∵y= x -x = 2x = 2x =1+ 2x e -e e -1 e -1 e -1 在(-∞,0)、(0,+∞)上都是减函数,排除②、③. 答案:① 7.(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)满足:当 1 x≥4 时,f(x)=( )x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1),则 f(2 2 +log23)=________. 解 析 : ∵2<3<4 = 22 , ∴1<log23<2.∴3<2 + log23<4,∴f(2+log23) 1 - =f(3+log23)=f(log224)=( )log224=2 log224= 2 1 1 1 2log2 = .答案: 24 24 24 8.(2009 年高考湖南卷改编)设函数 y=f(x)在(-∞,





+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 fK(x) ?f(x),f(x)≤K, ? 1 - =? 取函数 f(x)=2 |x|, K= 时, 当 函 2 ?K, f(x)>K. ? 数 fK(x)的单调递增区间为________. 1 - 解析: f(x)=2 |x|≤ 得 x≥1 或 x≤-1, K(x) 由 ∴f 2 -|x| ?2 ,x≥1或x≤-1, ? =?1 ?2,-1<x<1. ? 则单调增区间为(-∞,-1].答案:(-∞,- 1] 9.函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以是________.

解析:函数 y=2|x|的图象如图. 当 a=-4 时,0≤b≤4, 当 b=4 时,-4≤a≤0,答案: ② 10.(2010 年宁夏银川模拟)已知函 数 f(x)=a2x+2ax-1(a>0, a≠1)在区间[-1,1]上的 且 最大值为 14,求实数 a 的值. 解:f(x)=a2x +2ax -1=(ax +1)2 -2,∵x∈[- 1,1],

1 1 (1)当 0<a<1 时,a≤ax≤ ,∴当 ax= 时,f(x) a a 取得最大值. 1 1 1 ∴( +1)2-2=14,∴ =3,∴a= . a a 3 1 (2)当 a>1 时, ≤ax≤a,∴当 ax=a 时,f(x)取得 a 最大值. ∴(a+1)2-2=14,∴a=3.综上可知,实数 a 的 1 值为 或 3. 3 -2 11.已知函数 f(x)= x-a .(1)求证:f(x)的图象关于 2 +1 点 M(a,-1)对称; (2)若 f(x)≥-2x 在 x≥a 上恒成立, 求实数 a 的取 值范围. 解:(1)证明:设 f(x)的图象 C 上任一点为 P(x, 2 y),则 y=- x-a , 2 +1 P(x,y)关于点 M(a,-1)的对称点为 P′(2a-x, -2-y). - -2·x a 2 -2 2 ∴ - 2 - y = - 2 + x-a = x-a = - - = 2 +1 2 +1 1+2 (x a) -2 , (2a-x)-a 2 +1 -2 说明点 P′(2a-x,-2-y)也在函数 y= x-a 2 +1 的图象上, 由点 P 的任意性知, f(x)的图象关于点 M(a, -1)对称.

-2 2 (2)由 f(x)≥-2x 得 x-a ≥-2x, x-a ≤2x, 则 2 +1 2 +1 x-a x x x 2 a x 化为 2 · +2 -2≥0,则有(2 ) +2 · -2·a≥0 在 2 2 2 x≥a 上恒成立.令 g(t)=t2+2a· t-2·a,则有 g(t)≥0 2 a 在 t≥2 上恒成立.∵g(t)的对称轴在 t=0 的左侧, ∴g(t)在 t≥2a 上为增函数. ∴g(2a)≥0.∴(2a)2+(2a)2-2·a≥0,∴2a(2a-1)≥0, 2 则 a≥0.即实数 a 的取值范围为 a≥0. - - 12. (2008 年高考江苏)若 f1(x)=3|x p1|,2(x)=2·|x p2|, f 3 x∈R,p1、p2 为常数,且 ?f1(x),f1(x)≤f2(x), ? f(x)= ? (1)求 f(x)=f1(x)对所 ?f2(x),f1(x)>f2(x). ? 有实数 x 成立的充要条件(用 p1、p2 表示);(2)设 a,b 是两个实数,满足 a<b,且 p1、p2∈(a,b).若 f(a) =f(b),求证:函数 f(x)在区间[a,b]上的单调增区间 b-a 的长度之和为 (闭区间[m,n]的长度定义为 n- 2 m). - 解 : (1)f(x) = f1(x) 恒 成 立 ? f1(x)≤f2(x) ? 3|x - - - - p1| ≤2·|x p2|?3|x p1| |x p2|≤2 3 ?|x-p1|-|x-p2|≤log32.(*)若 p1 =p2 ,则(*)? 0≤log32,显然成立;若 p1≠p2,记 g(x)=|x-p1|-|x - p2| , 当 p1>p2 时 , g(x) =

?p1-p2,x<p2, ? ?-2x+p1+p2,p2≤x≤p1, ?p2-p1,x>p1. ?
所以 g(x)max=p1-p2,故只需 p1-p2≤log32.

?p1-p2,x<p1; ? 当 p1<p2 时,g(x)=?2x-p1-p2,p1≤x≤p2; ?p2-p1,x>p2. ?
所以 g(x)max=p2-p1,故只需 p2-p1≤log32. 综上所述, f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条 件是|p1-p2|≤log32. (2)证明:分两种情形讨论. ①当|p1-p2|≤log32 时,由(1)知 f(x)=f1(x)(对所 有实数 x∈[a,b]),则由 f(a)=f(b)及 a<p1<b 易知 p1 ?3p1-x,x<p1, ? a+b = .再由 f1(x)=? x-p1 的单调性可知, 2 ?3 ,x≥p1, ? f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度为 b- a+b = 2

b-a . 2 ②当|p1 -p2|>log32 时,不妨设 p1<p2 ,则 p2 - - - p1>log32.于是, x≤p1 时, f1(x)=3p1 x<3p2 x<f2(x), 当 有 从而 f(x)=f1(x). - - - - 当 x≥p2 时,f1(x)=3x p1=3p2 p1·x p2>3log32·x p2 3 3 =f2(x),从而 f(x)=f2(x). - - 当 p1<x<p2 时, 1(x)=3x p1 及 f2(x)=2·p2 x, f 3 由方 - - 程 3x0 p1=2·p2 x0,解得 f1(x)与 f2(x)图象交点的横坐 3 p1+p2 1 标为 x0= + log32.① 2 2 1 显然 p1<x0=p2- [(p2-p1)-log32]<p2,这表明 2 x0 在 p1 与 p2 之间.

由①易知

?f1(x),p1≤x≤x0, ? f(x)=? ?f2(x),x0<x≤p2. ?

综 上 可 知 , 在 区 间 [a , b] 上 , f(x) = ?f1(x),a≤x≤x0, ?
? ?f2(x),x0<x≤b. ?

故由函数 f1(x)与 f2(x)的单调性可知,f(x)在区间 [a,b]上的单调增区间的长度之和为(x0 -p1)+(b- - - p2),由于 f(a)=f(b),即 3p1 a=2·b p2,得 3 p1+p2=a+b+log32.② 1 故由①②得(x0 -p1)+(b-p2)=b- (p1 +p2 - 2 b-a log32)= . 2 综合①、②可知,f(x)在区间[a,b]上单调增区间 b-a 的长度之和为 . 2

第二节

对数函数 A组

1.(2009 年高考广东卷改编)若函数 y=f(x)是函数 y =ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a,a), 则 f(x)=________. 1 1 解析: 由题意 f(x)=logax, ∴a=logaa2= , ∴f(x) 2 =log1x.答案:log1x
2 2

2.(2009 年高考全国卷Ⅱ)设 a=log3π,b=log2 3,c =log3 2,则 a、b、c 的大小关系是________. 1 1 解析:a=log3π>1,b=log2 3= log23∈( ,1), 2 2 1 1 c=log3 2= log32∈(0, ),故有 a>b>c.答案:a>b>c 2 2 3 . 若 函 数 f(x) =
?? 1 ? x ? ? ? , x ? [ ? 1, 0 ) ?? 4 ? ? x ? 4 , x ? [ 0 ,1]

, 则 f(log43) =

________. 解析:0<log43<1,∴f(log43)=4log43=3.答案:3 - 4.如图所示,若函数 f(x)=ax 1 的图象经过点(4,2), 1 则函数 g(x)=loga 的图象是________. x+1

解析:由已知将点(4,2)代入 y=ax 1,∴2=a4 1,
1





即 a=23>1. 1 是单调递减的,故 g(x)递减且过(0,0)点, x+1 ∴④正确.答案:④ 5.(原创题)已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 1 f( )=4,则 f(2010)的值为_. 2010 解析: F(x)=f(x)-2, F(x)=alog2x+blog3x, 设 即 1 1 1 则 F( )=alog2 +blog3 =-(alog2x+blog3x)=- x x x 又

1 1 )=-[f( )-2]=-2, 2010 2010 即 f(2010)-2=-2,故 f(2010)=0.答案:0 6.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0 且 a≠1).(1)求 f(log2x)的最小值及相应 x 的值;(2) 若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)<f(1),求 x 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=x2-x+b,∴f(log2a)=(log2a)2- log2a+b=b,∴log2a=1,∴a=2.又∵log2f(a)=2, ∴f(a)=4.∴a2-a+b=4,∴b=2.∴f(x)=x2-x+2. 1 7 ∴f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x- )2+ . 2 4 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4 ?(log2x)2-log2x+2>2, ? (2) 由 题 意 知 ? ?log2(x2-x+2)<2. ? F(x),∴F(2010)=-F(
?log2x<0或log2x>1, ? ∴? ?0<x2-x+2<4. ? ?0<x<1或x>2, ? ∴? ?-1<x<2. ?

∴0<x<1. B组

x+3 10 的 图 象 , 只 需 把 函 数 y = lgx 的 图 象 上 所 有 的 点 ________. x+3 解析:∵y=lg =lg(x+3)-1,∴将 y=lgx 10 的图象上的点向左平移 3 个单位长度得到 y=lg(x+ 1.(2009 年高考北京卷改编)为了得到函数 y=lg

3)的图象,再将 y=lg(x+3)的图象上的点向下平移 1 个单位长度得到 y=lg(x+3)-1 的图象. 答案:向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个 单位长度 2.(2010 年安徽黄山质检)对于函数 f(x)=lgx 定义域 中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1+x2)=f(x1) f(x1)-f(x2) + f(x2) ; ②f(x1·2) = f(x1) + f(x2) ; ③ x >0 ; x1-x2 x1+x2 f(x1)+f(x2) ④f( )< .上述结论中正确结论的序号 2 2 是________. 解析:由运算律 f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lgx1x2 =f(x1x2),所以②对;因为 f(x)是定义域内的增函数, x1+x2 x1+x2 f(x1)+f(x2) 所 以 ③ 正 确 ; f( ) = lg , = 2 2 2 lgx1+lgx2 x1+x2 =lg x1x2 ,∵ ≥ x1x2 ,且 x1≠x2 , 2 2 x1+x2 ∴lg >lg x1x2,所以④错误. 2 答案:②③ 3.(2010 年枣庄第一次质检)对任意实数 a、b,定义 运算“*”如下: ?a(a≤b) ? a*b=? ,则函数 f(x)=log1(3x-2)*log2x ? ?b(a>b) 2 的值域为________. 1 解析:在同一直角坐标系中画出 y=log (3x-2) 2 和 y=log2x 两个函数的图象,

由图象可得 (0<x≤1) ?log2x ? f(x)=? 1 ,值域为(-∞, log (3x-2) (x>1) ? 2 ? 0].答案:(-∞,0] 4. 已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数, 函数 y=g(x) 的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,若 g(a)=1, 则实数 a 的值为________. 解析: y=f(x)与 y=ex 互为反函数, f(x)=lnx, 由 得 因为 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, 1 故有 g(x)=-lnx,g(a)=1?lna=-1,所以 a= . e 1 答案: e 2 5.已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|,则 f(x)的解 x+|x| 析式是________. 2 解析: log2 x|x|有意义可得 x>0, 由 所以, f( ) x+|x| 1 1 =f( ),log2 x|x|=log2x,即有 f( )=log2x,故 f(x)= x x 1 log2 =-log2x.答案:f(x)=-log2x,(x>0) x 6.(2009 年高考辽宁卷改编)若 x1 满足 2x+2x=5,x2

满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=________. 解析:由题意 2x1+2x1=5,①2x2+2log2(x2-1) =5,②所以 2x1=5-2x1,x1=log2(5-2x1),即 2x1 =2log2(5-2x1).令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t =2log2(2t-2)=2+2log2(t-1), ∴5-2t=2log2(t-1) T 与②式比较得 t=x2,于是 2x1=7-2x2.∴x1+x2= . 2 7 答案: 2 7.当 x∈[n,n+1),(n∈N)时, f(x)=n-2, 则方程 f(x)=log2x 根 的个数是________. 解析:当 n=0 时,x∈[0,1), f(x)=-2; 当 n=1 时,x∈[1,2),f(x)=-1; 当 n=2 时,x∈[2,3),f(x)=0; 当 n=3 时,x∈[3,4),f(x)=1; 当 n=4 时,x∈[4,5),f(x)=2; 当 n=5 时,x∈[5,6),f(x)=3.答案:2 8.(2010 年福建厦门模拟)已知 lga+lgb=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是________.

1 1 - 解析:由题知,a= ,则 f(x)=( )x=b x,g(x) b b =-logbx, 0<b<1 时, 当 f(x)单调递增, g(x)单调递增, ②正确;当 b>1 时,f(x)单调递减,g(x)单调递减.

答案:② 9. 已知曲线 C: 2+y2=9(x≥0, x y≥0)与函数 y=log3x x 及函数 y=3 的图象分别交于点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x12+x22 的值为________. 解析:∵y=log3x 与 y=3x 互为反函数,所以 A 与 B 两点关于 y=x 对称,所以 x1=y2,y1=x2,∴x12 +x22=x12+y12=9.答案:9 kx-1 10.已知函数 f(x)=lg (k∈R 且 k>0).(1)求函数 x-1 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围. 1 x- kx-1 k 1 解:(1)由 >0 及 k>0 得 >0,即(x- )(x k x-1 x-1 -1)>0. 1 ①当 0<k<1 时,x<1 或 x> ;②当 k=1 时,x∈R k 1 且 x≠1;③当 k>1 时,x< 或 x>1.综上可得当 0<k<1 k 1 时,函数的定义域为(-∞,1)∪( ,+∞); k 1 当 k≥1 时,函数的定义域为(-∞, )∪(1,+ k ∞). 10k-1 (2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数,∴ >0, 10-1 1 ∴k> . 10

kx-1 k-1 =lg(k+ ),故对任意的 x1, x-1 x-1 x2 , 当 10≤x1<x2 时 , 恒 有 f(x1)<f(x2) , 即 lg(k + k-1 k-1 k-1 k-1 1 )<lg(k+ ),∴ < ,∴(k-1)· ( x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 1 1 1 - )<0,又∵ > ,∴k-1<0,∴k<1.综 x2-1 x1-1 x2-1 1 上可知 k∈( ,1). 10 1+x 11.(2010 年天津和平质检)已知 f(x)=loga (a>0, 1-x a≠1).(1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明;(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 1+x 解:(1)由 >0 ,解得 x∈(-1,1). 1-x 1-x (2)f(-x)=loga =-f(x),且 x∈(-1,1),∴函 1+x 数 y=f(x)是奇函数. 1+x (3)若 a>1,f(x)>0,则 >1,解得 0<x<1;若 1-x 1+x 0<a<1,f(x)>0,则 0< <1,解得-1<x<0. 1-x a - 12.已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 (x-x 1),其中 a -1 a>0 且 a≠1. (1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1 2 -m )<0,求实数 m 的集合; 又 f(x)=lg

(2)x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负数,求 a 的取值范围. a 解:令 logax=t(t∈R),则 x=at,∴f(t)= 2 (at a -1 -t -a ), a a - - ∴f(x)= 2 (ax-a x). ∵f(-x)= 2 (a x-ax) a -1 a -1 =-f(x), ∴f(x)是 R 上的奇函数. a - 当 a>1 时, 2 >0,ax 是增函数,-a x 是增函 a -1 数,∴f(x)是 R 上的增函数; a - 当 0<a<1, 2 <0,ax 是减函数,-a x 是减函 a -1 数,∴f(x)是 R 上的增函数. 综上所述, 且 a≠1 时, a>0 f(x)是 R 上的增函数. (1)由 f(1-m)+f(1-m2)<0 有 f(1-m)<-f(1-m2) =f(m2-1),

?1-m<m -1, ? ∴?-1<1-m<1, 解得 m∈(1, 2). ?-1<m2-1<1. ?
2

(2)∵f(x)是 R 上的增函数, ∴f(x)-4 也是 R 上的 增函数,由 x<2,得 f(x)<f(2), ∴f(x)-4<f(2)-4,要使 f(x)-4 的值恒为负数, 只需 f(2)-4≤0, a - 即 2 (a2-a 2)-4≤0,解得 2- 3≤a≤2+ a -1 3,

∴a 的取值范围是 2- 3≤a≤2+ 3且 a≠1. 第三节 幂函数与二次函数的性质 A组 1.若 a>1 且 0<b<1,则不等式 alogb(x-3)>1 的解集 为________. 解析:∵a>1,0<b<1,∴alogb(x-3)>1?logb(x- 3)>0?logb(x-3)>logb1?0<x-3<1?3<x<4.答案: {x|3<x<4} 2. (2010 年广东广州质检)下列图象中,表示 y=x 的 是________.
3 2

3 解析:y=x = x2是偶函数,∴排除②、③,当
2 3

x>1 时,

x
2

=x >1,∴x>x ,∴排除①.答案:④
3 3

1

2

x3

3.(2010 年江苏海门质检)若 x∈(0,1),则下列结论正 确的是__________. ①2x>x ③x >2x>lgx
2 1 1 2

>lgx ④lgx>x >2x
2 1

②2x>lgx>x
x
1

1 2

解析: ∵x∈(0,1), ∴2>2 >1,0<x <1, lgx<0.答案:
2

① 4.(2010 年东北三省模拟)函数 f(x)

=|4x-x2|-a 恰有三个零点,则 a=__________. 解析:先画出 f(x)=4x-x2 的图象,再将 x 轴下 方的图象翻转到 x 轴的上方, 如图,y=a 过抛物线顶 点时恰有三个交点,故得 a 的值为 4.答案:4
1

5 . ( 原 创 题 ) 方 程 x 2 = logsin1x 的 实 根 个 数 是 __________. 解析:在同一坐标系中分别作出函数 y1=x 和 y2=logsin1x 的图象,可知只有惟一一个交点.答案: 1
2 1

6.(2009 年高考江苏卷)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2 +(x-a)· |x-a|. (1)若 f(0)≥1, a 的取值范围; 求 (2)求 f(x)的最小 值; (3)设函数 h(x)=f(x), x∈(a, +∞), 直接写出(不 需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集. 解:(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即 a<0.由 a2≥1 知 a≤-1.因此,a 的取值范围为(-∞, -1]. (2)记 f(x)的最小值为 g(a).则有 f(x)=2x2+(x- a)|x-a| 2 ?3(x-a)2+2a ,x>a, ① ? 3 3 =? ?(x+a)2-2a2,x≤a, ② ? (ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2,由①②知 f(x)≥

-2a2,此时 g(a)=-2a2. a 2 2 (ⅱ)当 a<0 时, )= a2.若 x>a, f( 则由①知 f(x)≥ 3 3 3 a2; 2 若 x≤a,则 x+a≤2a<0,由②知 f(x)≥2a2> a2. 3 2 此时 g(a)= a2. 3 2 ?-2a , a≥0, ? 综上,得 g(a)=?2a2 ? 3 , a<0. ? (3)(ⅰ)当 a∈(-∞,- 集为(a,+∞); a+ 3-2a2 2 2 (ⅱ)当 a∈[- , )时,解集为[ , 2 2 3 +∞); 6 2 (ⅲ) 当 a∈( - ,- ) 时 , 解 集 为 (a , 2 2 a- 3-2a2 a+ 3-2a2 ]∪[ ,+∞). 3 3 B组 1.(2010 年江苏无锡模拟)幂函数 y=f(x)的图象经过 1 点(-2, ), - 则满足 f(x)=27 的 x 的值是__________. 8 1 解析: 设幂函数为 y=xα, 图象经过点(-2, ), - 8 6 2 ]∪[ ,+∞)时,解 2 2

1 1 - 则- =(-2)α,∴α=-3,∵x 3=27,∴x= .答案: 8 3 1 3 2. (2010 年安徽蚌埠质检)已知幂函数 f(x)=xα 的部分 对应值如下表: 1 x 1 2 f(x 2 1 ) 2 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________. 1 1 2 1α 1 解析: 由表知 =( ) , ∴α= , ∴f(x)=x2.∴(|x|)2 2 2 2 ≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 答案:{x|-4≤x≤4} 3.(2010 年广东江门质检)设 k∈R,函数 f(x)= ?1(x>0), ?x ? F(x)=f(x)+kx,x∈R.当 k=1 时,F(x) x ?e (x≤0), ? 的值域为__________. 1 解析:当 x>0 时,F(x)= +x≥2;当 x≤0 时, x x F(x)=e +x,根据指数函数与幂函数的单调性,F(x) 是单调递增函数,F(x)≤F(0)=1,所以 k=1 时,F(x) 的值域为(-∞, 1]∪[2, +∞). 答案: (-∞, 1]∪[2, +∞) ?-2 (x>0), ? ? 2 4.设函数 f(x)= 若 f(-4)= ?x +bx+c (x≤0), ?

f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不等式 f(x)≤1 的解集为 __________. 解析:由 f(-4)=f(0),得 b=4.又 f(-2)=0,可 ?x≤0, ?x>0, ? ? 得 c=4,∴? 2 或? 可得- ?x +4x+4≤1 ?-2≤1, ? ? 3≤x≤-1 或 x>0.答案:{x|-3≤x≤-1 或 x>0} 5 . (2009 年 高 考 天 津 卷 改 编 ) 已 知 函 数 f(x) = ?x2+4x, x≥0, ? ? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取 2 ?4x-x , x<0. ? 值范围是__________. ?x2+4x,x≥0, ? 解析:函数 f(x)= ? 的图象如 ?4x-x2,x<0, ? 图. 知 f(x)在 R 上为增函数. ∵f(2-a2)>f(a),即 2-a2>a. 解得-2<a<1. 答案:-2<a<1 6. (2009 年高考江西卷改编)设函数 f(x)= ax2+bx+c(a<0)的定义域为 D,若所有点(s,f(t)) (s , t∈D) 构 成 一 个 正 方 形 区 域 , 则 a 的 值 为 __________. 解析:由题意定义域 D 为不等式 ax2+bx+c≥0 2 b 2 4ac-b 2 的解集.∵ax +bx+c=a(x+ ) + ,∵a<0, 2a 4a 4ac-b2 ∴0≤y≤ ,∴所有点(s,f(t)),(s,t∈D) 4a

构成一个正方形区域,意味着方程 ax2+bx+c=0 的 4ac-b2 两根 x1,x2 应满足|x1-x2|= ,由根与系数 4a 4ac-b2 b2 4c b2-4ac 的关系知 = 2- = , ∴4a = - 4a a a a2 a2.∵a<0,∴a=-4.答案:-4 7 . (2010 年 辽 宁 沈 阳 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = ?-2+x,x>0, ? ? 若 f(0)=-2f(-1)=1,则函数 ?-x2+bx+c,x≤0. ? g(x)=f(x)+x 的零点的个数为__________. 1 解析:∵f(0)=1,∴c=1.又 f(-1)=- ,∴-1 2 1 1 -b+1=- ,∴b= .当 x>0 时,g(x)=-2+2x=0, 2 2 1 ∴x=1;当 x≤0 时,g(x)=-x2+ x+1+x=0,∴x2 2 3 1 - x-1=0,∴x=2(舍)或 x=- ,所以有两个零 2 2 点.答案:2 8.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①c =0 时,f(x)是奇函数;②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根;③f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程 f(x) = 0 至 多 有 两 个 实 根 . 其 中 正 确 的 命 题 是 __________. 解析:c=0 时,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x| -bx=-f(x),故 f(x)是奇函数;b=0,c>0 时,f(x) =x|x|+c=0,∴x≥0 时,x2+c=0 无解,x<0 时,f(x) =-x2+c=0,∴x=- c,有一个实数根.答案:

①②③ 9.(2010 年湖南长沙质检)对于区间[a,b]上有意义的 两个函数 f(x)与 g(x), 如果对于区间[a, b]中的任意数 x 均有|f(x)-g(x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a, b]上是密切函数,[a,b]称为密切区间.若 m(x)=x2 -3x+4 与 n(x)=2x-3 在某个区间上是“密切函 数”,则它的一个密切区间可能是________. ①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4] 解析:|m(x)-n(x)|≤1?|x2-5x+7|≤1,解此绝 对值不等式得 2≤x≤3,故在区间[2,3]上|m(x)-n(x)| 的值域为[0,1],∴|m(x)-n(x)|≤1 在[2,3]上恒成立. 答案:③ 10.设函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,方程 f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m -4)的正负并加以证明. c+1 解: (1)证明: f(1)=0?1+2b+c=0?b=- . 2 c+1 1 又 c<b<1,故 c<- <1?-3<c<- .方程 f(x)+1 2 3 2 =0 有实根, x +2bx+c+1=0 有实根, Δ=4b2 即 故 2 -4(c+1)≥0, 即(c+1) -4(c+1)≥0?c≥3 或 c≤- 1.又 c<b<1,得-3<c≤-1, c+1 由 b=- 知 b≥0. 2 (2)f(x)=x2 +2bx+c=x2 -(c+1)x+c=(x-c)(x -1),f(m)=-1<0,

∴c<m<1,∴c-4<m-4<-3<c,∴f(m-4)=(m -4-c)(m-4-1)>0, ∴f(m-4)的符号为正. 11.(2010 年安徽合肥模拟)设函数 f(x)=ax2+bx+c, a b 3 且 f(1)=- , 3a>2c>2b, 求证: (1)a>0 且-3< <- ; 2 a 4 (2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设 x1、 57 x2 是函数 f(x)的两个零点,则 2≤|x1-x2|< . 4 a 证明:(1)∵f(1)=a+b+c=- ,∴3a+2b+2c 2 =0. 又 3a>2c>2b,∴3a>0,2b<0,∴a>0,b<0.又 2c =-3a-2b,由 3a>2c>2b, b 3 ∴3a>-3a-2b>2b.∵a>0,∴-3< <- . a 4 (2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c, a ①当 c>0 时, ∵a>0, ∴f(0)=c>0 且 f(1)=- <0, 2 ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点. a ②当 c≤0 时,∵a>0,∴f(1)=- <0 且 f(2)=a 2 -c>0,∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.综 合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点. (3)∵x1、x2 是函数 f(x)的两个零点,则 x1、x2 是 b 方程 ax2+bx+c=0 的两个根,∴x1+x2=- ,x1x2 a c 3 b = = - - , ∴|x1 - x2| = (x1+x2)2-4x1x2 = a 2 a

b 3 b b b (- )2-4(- - ) = ( +2)2+2 .∵ - 3< < - a 2 a a a 3 57 ,∴ 2≤|x1-x2|< . 4 4 12.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0,a、b∈R),设 关于 x 的方程 f(x)=0 的两实根为 x1、x2,方程 f(x)= x 的两实根为 α、β.(1)若|α-β|=1,求 a、b 的关系式; (2)若 a、b 均为负整数,且|α-β|=1,求 f(x)的解析 式;(3)若 α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7. 解: (1)由 f(x)=x 得 ax2+3x+b=0(a<0, b∈R) a、 有两个不等实根为 α、β, 3 b ∴Δ=9-4ab>0, α+β=- , β= .由|α-β|=1 α· a a 得(α-β)2=1, 9 4b 即(α+β)2-4αβ= 2- =1,∴9-4ab=a2,即 a a 2 a +4ab=9(a<0,a、b∈R). (2)由(1)得 a(a+4b)=9,∵a、b 均为负整数, ?a=-1 ?a=-9 ? ? ∴ ? 或 ? 或 ?a+4b=-9 ?a+4b=-1 ? ?
?a=-3, ? ? ? ?a+4b=-3,

显然后两种情况不合题意,应舍去,
?a=-1, ? ∴? ?b=-2. ?

?a=-1, ? 从而有? ?a+4b=-9, ?

故所求函数解析式为 f(x)=-x2+4x-2. 4 b (3)证明:由已知得 x1+x2=- ,x1·2= ,又由 x a a

3 b 1 α<1<β<2 得 α+β=- <3,α· <2,∴- <1,∴(x1 β= a a a b 4 +1)(x2 +1)=x1·2 +(x1 +x2)+1= - +1<2+4+1 x a a =7, 即(x1+1)(x2+1)<7. 第四节 函数的图像特征 A组 1. 命题甲: 已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x), f(x) 则 的图象关于直线 x=1 对称.命题乙:函数 f(1+x)与 函数 f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.则甲、乙命 题正确的是__________. 解析:可举实例说明如 f(x)=2x,依次作出函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象判断.答案:甲 x 2.(2010 年济南市高三模拟考试)函数 y= ·x(a>1) a |x| 的图象的基本形状是_____.

解析:先去绝对值将已知函数写成分段函数形 式,再作图象即可,函数解析式:y=

?ax(x>0) ? ? ? ?-ax(x<0)

,由指数函数图象易知①正确.

答案:① 1 3.已知函数 f(x)=( )x-log3x,若 x0 是方程 f(x) 5 =0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值为__________(正 负情况). 1 解析:分别作 y=( )x 与 y=log3x 的图象,如图 5 1x 可知,当 0<x1<x0 时,( ) 1>log3x1, 5 ∴f(x1)>0.答案:正值 4. (2009 年高考安徽卷改编)设 a<b, 函数 y=(x-a)2(x -b)的图象可能是_____.

解析:∵x>b 时,y>0.由数轴穿根法,从右上向 左下穿,奇次穿偶次不穿可知,只有 ③正确.答案:③ 5.(原创题)已知当 x≥0 时,函数 y= x2 与函数 y=2x 的图象如图所示,则 当 x≤0 时,不等式 2x·2≥1 的解集是 x __________.

解析: 2x·2≥1 中, x=-t, x≤0 得 t≥0, 在 x 令 由 -t 2 2 t ∴2 · (-t) ≥1, t ≥2 , 即 由所给图象得 2≤t≤4, ∴2≤-x≤4,解得-4≤x≤-2. 答案:-4≤x≤-2 6.已知函数
? 3- x 2, x ∈ [- 1,2] , f(x)= ? ? x - 3, x ∈ (2,5] .

(1)画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.,

(2)由 图 象可知, 函数 f(x)的 单调 递增 区间为 [-1,0],[2,5]. B组 1.(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)=ln 只可能是__________. 1-x 的图象 1+x

解析:本题中 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},从而 2 排除②③选项.又由于 u(x)=-1+ 在定义域{x| 1+x -1<x<1}内是减函数,而 g(x)=lnx 在定义域(0,+

1-x 2 ∞)内是增函数,从而 f(x)=ln =ln(-1+ )在 1+x 1+x 定义域{x|-1<x<1}是减函数. 答案:① 2.家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的 重要举措. 我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡 提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定 时间 T 内完成预期的运输任务 Q0,各种方案的运输 总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示. 在这四种方 案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是

解析: 运输效率是运输总量 Q 与时间 t 的函数的 导数,几何意义为图象的切线,切线斜率的增长表明 运输效率的提高,从图形看,②正确. 答案:② 3.如图,过原点 O 的直线与函数 y= 2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴 的垂线交函数 y=4x 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是 __________. 解析:设 C(a,4a),所以 A(a,2a), 2a 4a a B(2a,4 ),又 O,A,B 三点共线,所以 = ,故 4a a 2a

=2×2a,所以 2a=0(舍去)或 2a=2,即 a=1,所以 点 A 的坐标是(1,2).答案:(1,2) 4. 已知函数 f(x)=4-x2, g(x)是定义在(-∞, 0)∪(0, +∞)上的奇函数,当 x>0 时,g(x)=log2x,则函数 y =f(x)· g(x)的大致图象为__________.

解析: f(x)为偶函数, g(x)是奇函数, 所以 f(x)· g(x) 为奇函数, 图象关于原点对称, x→ 当 +∞时,f(x)→-∞,g(x)→+∞,所 以 f(x)· g(x)→-∞答案:② 5.某加油机接到指令,给附近空中 一运输机加油.运输机的余油量为 Q1(吨),加油机加油箱内余油 Q2(吨),加油时间为 t 分钟, 1、 2 与时间 t 的函数关系式的图象如右图. Q Q 若 运输机加完油后以原来的速度飞行需 11 小时到达目 的地,问运输机的油料是否够用?________. 解析:加油时间 10 分钟,Q1 由 30 减小为 0.Q2 由 40 增加到 69,因而 10 分钟时间内运输机用油 1 吨.以后的 11 小时需用油 66 吨.因 69>66,故运输 机的油料够用.答案:够用 6. 已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x), x∈(- 且 1,1]时,f(x)=|x|,则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数 为__________.

解析:由 f(x+2)=f(x)知函数 y=f(x)为周期为 2 的周期函数,作图. 答案:6
m

7.函数 y=x n (m,n∈Z,m≠0,|m|, |n|互质)图象如图所示, 则下列结论正确 的是__________. ①mn>0,m,n 均为奇数 ②mn<0,m,n 一奇一偶 ③mn<0,m,n 均为奇数 ④mn>0,m,n 一奇一偶 解析: 由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函 m 数在(0,+∞)上单调递减,此时只需保证 <0,即 n
m |m|

mn<0,有 y=x n =x- |n| ;同时函数只在第一象限有图 象,则函数的定义域为(0,+∞),此时|n|定为偶数, n 即为偶数, 由于两个数互质, m 定为奇数. 则 答案: ② 8. (2009 年高考福建卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x) 的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单调性不同的是 ①y=x2+1 ②y=|x|+1

?2x+1,x≥0 ? ③y=? 3 ?x +1,x<0 ? ?ex,x≥0 ? ④y=? -x ?e ,x<0 ?

解析:∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0) 上为减函数, y=x3+1 在(-∞, 而 0)上为增函数. 答 案:③ 9. (2010 年安徽合肥模拟)已知函数图象 C′与 C: y(x 2 +a+1)=ax+a +1 关于直线 y=x 对称, 且图象 C′ 关于点(2,-3)对称,则 a 的值为__________. 解析:∵C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于 直线 y=x 对称, ∴C′为 x(y+a+1)=ay+a2+1.整理得, y+1+ 1-a a= . x-a ∵C′关于点(2,-3)对称,∴a=2.答案:2 10.作下列函数的图象: 1-|x| 1 (1)y= ;(2)y=|x-2|(x+1);(3)y= ; |x|-1 |1-x| (4)y=|log2x-1|;(5)y=2|x-1|. 解:(1)定义域{x|x∈R 且 x≠± 1},且函数是偶函 1 1 数.又当 x≥0 且 x≠1 时,y= .先作函数 y= 的 x x-1 1 图象, 并将图象向右平移 1 个单位, 得到函数 y= x-1 (x≥0 且 x≠1)的图象(如图(a)所示).

又函数是偶函数,作关于 y 轴对称图象,得 y= 1 的图象(如图(b)所示). |x|-1

(2)函数式可化为 其图象如图①所示.

?(x-1)2-9 (x≥2), ? 2 4 y= ? 1 9 ?-(x-2)2+4 (x<2). ?

(3)函数式化为

?1+x ?1-x y=? 1 ?-1 ?

(x<0), (0≤x<1), (x>1). 其图象

如图②所示. (4)先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向下平 移 1 个单位长度,保留 x 轴上方的部分,将 x 轴下方 的图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图象, 如图③所示.

(5)先作出 y=2x 的图象,再将其图象在 y 轴左边 的部分去掉,并作出 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的 图象,即得 y=2|x|的图象,再将 y=2|x|的图象向右平 - 移 1 个单位长度,即得 y=2|x 1|的图象,如图④所示. a 11.已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1).(1)证明: a+ a 1 1 函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称;(2)求 f(-2) 2 2 +f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 解:(1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一点 1 1 (x,y),它关于点( ,- )对称的点的坐标为(1-x, 2 2 a -1-y).由已知,y=- x ,则-1-y=-1+ a+ a a ax a a =- x .,f(1-x)=- 1-x =- a ax+ a a+ a a + a + a ax a·x a ax =- =- x . a+ a·x a a+ a ∴-1-y=f(1-x).即函数 y=f(x)的图象关于点 1 1 ( ,- )对称. 2 2 (2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x).即 f(x)+f(1-x) =-1. ∴f(-2)+f(3)=-1, f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)

=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. x+b 1 12.设函数 f(x)= (x∈R,且 a≠0,x≠ ).(1) a ax-1 1 3 1 若 a= ,b=- ,指出 f(x)与 g(x)= 的图象变换关 2 2 x 系以及函数 f(x)的图象的对称中心;(2)证明:若 ab +1≠0,则 f(x)的图象必关于直线 y=x 对称. 3 x- 2 2x-3 1 3 解:(1)a= ,b=- ,f(x)= = =2+ 2 2 1 x-2 x-1 2 1 , x-2 ∴f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x 轴右移 2 个单 位,再沿 y 轴上移 2 个单位得到,f(x)的图象的对称 中心为点(2,2). (2)证明:设 P(x0,y0)为 f(x)图象上任一点,则 y0 x0+b = , 0,0)关于 y=x 的对称点为 P′(y0,0). P(x y x 由 ax0-1 x0+b y0+b y0= 得 x0= .∴P′(y0, 0)也在 f(x)的图象 x ax0-1 ay0-1 上.故 f(x)的图象关于直线 y=x 对称. 第四章 函数应用 A组 1.已知函数
?x(x+4),x<0, ? f(x)=? ?x(x-4),x≥0. ?

则函数 f(x)的零

点个数为________. 解析:只要画出分段函数的图象,就可以知道图 象与 x 轴有三个交点,即函数的零点有 3 个.答案: 3 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为___. x ex x+ 2 -1 0 0.3 1 7 1 2 1 2.7 2 3 2 7.3 9 4 3 20.0 9 5

解析:据题意令 f(x)=ex-x-2,由于 f(1)=e1- 1-2=2.72-3<0,f(2)=e2-4=7.39-4>0,故函数 在区间(1,2)内存在零点,即方程在相应区间内有根. 答案:(1,2) 3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内根的个 数是__________. 解析:由题意函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单 调函数,且 f(0)· f(a)<0,根据零点存在定理知:在区 间[0,a]内函数 f(x)一定存在惟一零点且 f(0)≠0,又 函数 f(x)是偶函数,故其在[-a,0]也惟一存在一个零 点,所以方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内根的个数为 2.答案:2 4.(2009 年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高 峰和低谷两个时间段进行分时计价. 该地区的电网销 售电价表如下:

高峰时间段用电价格 低谷时间段用电价格表 表 高峰月用电 高峰电 低谷电价 量 价 低谷月用电量 (单位:元 (单位:千瓦 (单位: (单位: 元 千瓦时) /千瓦时) 时) /千瓦时) 50 及以下的 50 及以下的部 0.568 0.288 部分 分 超过 50 至 超过 50 至 200 0.598 0.318 200 的部分 的部分 超过 200 的 超过 200 的部 0.668 0.388 部分 分 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦 时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费 方式该家庭本月应付的电费为________元 解 析 : 高 峰 时 段 电 费 a = 50×0.568 + (200 - 50)×0.598=118.1(元). 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318 =30.3(元). 故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元). 答 案:148.4 5.(原创题)已知 f(x)=|x|+|x-1|,若 g(x)=f(x)-a 的 零点个数不为 0,则 a 的最小值为________.

解析:作 f(x)的图象,如图,g(x)=f(x)-a=0,即 f(x)=a, a=1 时, 当 g(x)有无数个零点; a>1 时, 当 g(x) 有 2 个零点;∴a 的最小值为 1.答案:1 6 . (2009 年 高 考 上 海 卷 ) 有 时 可 用 函 数 f(x) = a ?0.1+15lna-x,x≤6, ? ?x-4.4 ? x-4 ,x>6, ? 描述学习某学科知识的掌握程度, 其中 x 表示某 学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识 的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1) -f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区 间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某 学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学 科. 解 : (1) 证 明 : 当 x≥7 时 , f(x + 1) - f(x) = 0.4 .而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x-4)单调 (x-3)(x-4) 递增,且(x-3)(x-4)>0,故 f(x+1)-f(x)单调递减. ∴当 x≥7,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是 下降. a a (2)由题意可知 0.1+15ln =0.85, 整理得 a-6 a-6 0.05 =e , e0.05 解 得 a = 0.05 · 6≈20.50×6 = 123.0 , e -1

123.0∈(121,127]. 由此可知,该学科是乙学科. B组 1.(2010 年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活 动,一组同学获得了下面的一组试验数据: 1.9 5. x 3 4 6.12 9 1 4.0 7. 18.0 y 1.5 12 4 5 1 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这 些数据的规律,其中最接近的一个是________ 1 ①y=2x-2 ②y=( )x ③y= 2 1 log2x ④y= (x2-1) 2 解析:代入点(2,1.5),(3,4)检验.答案:④ 2.(2010 年安徽省江南十校模拟)函数 f(x)=2x+x-7 的零点所在的区间是____. ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4) 解析: 因为 f(0)=-6<0, f(1)=2+1-7=-4<0, 2 f(2)=2 +2-7=-1<0,f(3)=23+3-7=4>0,所以 函数的零点在区间(2,3)内.答案:③ 1 3.已知函数 f(x)=x+log2x,则 f(x)在[ ,2]内的零点 2 的个数是______. 解析:易知 g(x)=x 与 h(x)=log2x 均为增函数, 1 故函数 f(x)为增函数,且 f(2)· )<0,故函数有且只有 f( 2 一个零点.答案:1

4.(2010 年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情 况下,时刻 t(单位:分钟)与细胞数 n(单位:个)的部 分数据如下: 14 t 0 20 60 0 12 n 1 2 8 8 根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时 刻 t 最接近于________分钟. 解析:由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数 关系为 n=220,令 n=1000,得 220=1000,又 210= 1024,所以时刻 t 最接近 200 分钟.答案:200 5.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环 保部门审批同意方可投入生产. 已知该生产线连续生 1 产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如 2 果年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护 环境, 环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产 期限是________年. 1 解析: 由题知第一年产量为 a1= ×1×2×3=3; 2 1 以后各年产量分别为 an=f(n)-f(n-1)= n· (n+1)(2n 2 1 +1)- n· (n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*),令 3n2≤150, 2 得 1≤n≤5 2?1≤n≤7, 故生产期限最长为 7 年. 答 案:7 6.(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收
t t

费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不超过 3 km 按 起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部 分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按 每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出 租车行驶了________km. 解析: 设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元, 由题意可得: f(x) =
8+ 1, x ∈ (0,3] 9+ ( x - 3) × 2.15 , x ∈ (3,8] 9+ 5 × 2.15 + ( x - 8) × 2.85 , x ∈ (8 , + ∞)

令 f(x)=22.6,解得 x=9.答案:9 7.(2010 年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为 3 的 正方形 ABCD 中设计图案, 他分别以 A、 3 B、C、D 为圆心,以 b(0<b≤ )为半径 2 画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上 线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构 成了丰富多彩的图形, 则这些图形中实线部分总长度 的最小值为________. 解析:由题意实线部分的总长度为 l=4(3-2b) +2πb=(2π-8)b+12,l 关于 b 的一次函数的一次项 系数 2π-8<0,故 l 关于 b 的函数单调递减,因此, 当 b 取最大值时,l 取得最小值,结合图形知,b 的

3 最大值为 ,代入上式得 l 2 答案:3π

最小

3 =(2π-8)× +12=3π. 2

8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg, 火箭(除燃料外)的质量 m kg 的函数关系是 v=2000· ln(1+M/m).当燃料质量是火 箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达 12 km/s. M M 解析: 由题意得 2000ln(1+ )≤12000, ∴ ≤e6 m m -1.答案:e6-1 9.(2010 年浙江省宁波市十校高三联考)定义域为 R

? 1 , x≠1 ? 的函数 f(x)=?|x-1| 若关于 x 的函数 h(x) ?1, x=1 ?
1 =f2(x)+bf(x)+ 有 5 个不同的零点 x1,x2,x3,x4, 2 x5,则 x12+x22+x32+x42+x52 等于________. 1 解析:假设关于 t 的方程 t2+bt+ =0 不存在 t 2 =1 的根,则使 h(x)=0 的 f(x)的值也不为 1,而显然

方程 f(x)=k 且 k≠1 的根最多有两个,而 h(x)是关于 f(x)的二次函数,因此方程 h(x)=0 的零点最多有四 1 个,与已知矛盾,可见 t=1 时 t2+bt+ =0,即得 b 2 3 3 1 1 =- ,所以 h(x)=f 2(x)- f(x)+ = (f(x)-1)(2f(x) 2 2 2 2 -1),而方程 f(x)-1=0 的解为 x=0,1,2,方程 2f(x) -1=0 的解为 x=-1,3,由此可见五根分别为-1, 0,1,2,3,因此直接计算得上述五数的平方和为 15.答 案:15 10.(2010 年黑龙江哈尔滨模拟)某商场在促销期间规 定:商场内所有商品按标价的 80%出售.同时,当顾 客在该商场内消费满一定金额后, 按如下方案获得相 应金额的奖券:, [20 消费金额(元) [400,50 [500,70 [700,90 0,4 ? 0) 0) 0) 的范围 00) 获得奖券的金 30 60 100 130 ? 额(元) 根据上述促销方法, 顾客在该商场购物可以获得 双重优惠.例如:购买标价为 400 元的商品,则消费 金额为 320 元,获得的优惠额为:400×0.2+30= 110( 元 ) . 设 购 买 商 品 的 优 惠 率 = 购买商品获得的优惠额 .试问: 商品的标价

(1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的 优惠率是多少? (2)对于标价在[500,800)(元)的商品,顾客购买标 1 价为多少元的商品时,可得到不小于 的优惠率? 3 1000×0.2+130 33 解:(1) = ,即顾客得到的优 1000 100 33 惠率是 . 100 (2)设商品的标价为 x 元,则 500≤x<800.则消费 金额满足 400≤0.8x<640. 0.2x+60 当 400≤0.8x<500, 500≤x<625 时, 即 由 x 1 ≥ 解得 x≤450,不合题意;当 500≤0.8x<640.即 3 0.2x+100 1 625≤x<800 时,由 ≥ 解得 625≤x≤725. x 3 因此,当顾客购买标价在[625,725](元)内的商品 1 时,可得到不小于 的优惠率. 3 11.已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企 业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危机给企业带来 的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的 策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该 企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年 给每位待岗员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,若 待岗员工人数为 x,则留岗员工每人每年可为企业多 81 创利润(1- )万元.为使企业年利润最大,应安排 100x

多少员工待岗? 解:设重组后,该企业年利润为 y 万元.依题意 得 81 324 y=(2000-x)(3.5+1- )-0.5x=-5(x+ ) 100x x +9000.81, 324 ∴y=-5(x+ )+9000.81(0<x≤100 且 x∈N), x 324 y = - 5(x + ) + 9000.81≤ - 5×2 324 + x 9000.81=8820.81, 324 ∴当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y x 取得最大值. 即为使企业年利润最大,应安排 18 人待岗. 12. (2010 年扬州调研)某汽车生产企业上年度生产一 品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万 元/辆, 年销售量为 5000 辆. 本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投 入成本增加的比例为 x(0<x<1), 则出厂价相应提高的 比例为 0.7x, 年销售量也相应增加. 已知年利润=(每 辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x, 为使本年度的 年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? (2)若年销售量 T 关于 x 的函数为 T=3240(-x2 5 +2x+ ),则当 x 为何值时,本年度的年利润最大? 3 最大利润为多少?

解 : (1) 由 题 意 得 : 上 年 度 的 利 润 为 (13 - 10)×5000=15000 万元; 本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x)万元; 本年度每辆车的出厂价为 13×(1+0.7x)万元; 本年度年销售量为 5000×(1+0.4x)辆. 因此本年度的利润为 y = [13×(1 + 0.7x) - 10×(1 + x)]×5000×(1 + 0.4x) = (3 - 0.9x)×5000×(1 + 0.4x) = - 1800x2 + 1500x+15000(0<x<1). 5 由-1800x2+1500x+15000>15000,解得 0<x< . 6 为使本年度的年利润比上年度有所增加, 则 5 0<x< . 6 (2)本年度的利润为 f(x)=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×3240×(-x2 5 +2x+ )=3240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5), 3 则 f′(x)=3240×(2.7x2 -9.6x+4.5)=972(9x- 5)(x-3). 5 令 f′(x)=0,解得 x= 或 x=3(舍去). 9 5 当 x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 9 5 当 x∈( ,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 9 5 5 ∴当 x= 时,f(x)取得最大值,f(x)max =f( )= 9 9 20000.

5 即当 x= 时, 本年度的年利润最大, 最大利润为 20000 9 万元 第五章三角函数 第一节 角的概念的推广与弧度制 A组 1.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆 x2 π +y2=1 顺时针方向运动 弧长到达 Q 3 点,则 Q 点的坐标为________. 解析:由于点 P 从(-1,0)出发, π 顺时针方向运动 弧长到达 Q 点,如图,因此 Q 点的 3 2π 2π 1 3 1 坐标为(cos ,sin ),即 Q(- , ).答案:(- , 3 3 2 2 2 3 ) 2 2.设 α 为第四象限角,则下列函数值一定是负值的 是________. α α α ①tan ②sin ③cos ④cos2α 2 2 2 α 解析:α 为第四象限角,则 为第二、四象限角, 2 α 因此 tan <0 恒成立,应填①,其余三个符号可正可 2 负.答案:① 3.(2008 年高考全国卷Ⅱ改编)若 sinα<0 且 tanα>0,

则 α 是第_______象限的角. 答案:三 |sinx| cosx |tanx| 4.函数 y= + + 的值域为________. sinx |cosx| tanx 解析:当 x 为第一象限角时,sinx>0,cosx>0, tanx>0,y=3; 当 x 为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0, y=-1; 当 x 为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0, y=-1; 当 x 为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0, y=-1.答案:{-1,3} 5.(原创题)若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a), 3 且 sinα· cosα= ,则 a 的值为________. 4 解析:依题意可知 α 角的终边在第三象限,点 3 P(-4, a)在其终边上且 sinα· cosα= , 易得 tanα= 3 4 3 4 4 或 ,则 a=-4 3或- 3.答案:-4 3或- 3 3 3 3 6.已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(- 3, 2 y)(y≠0),且 sinα= y,求 cosα,tanα 的值. 4 2 y 解: 因为 sinα= y= 所以 y2=5, 2 2, 4 (- 3) +y 6 15 当 y= 5时,cosα=- ,tanα=- ; 4 3 6 15 当 y=- 5时,cosα=- ,tanα= . 4 3

B组 1.已知角 α 的终边过点 P(a,|a|),且 a≠0,则 sinα 的值为________. 解析:当 a>0 时,点 P(a,a)在第一象限,sinα 2 = ; 2 2 当 a<0 时,点 P(a,-a)在第二象限,sinα= . 2 2 答案: 2 2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形 的圆心角的弧度数是_____. 解析:设扇形的圆心角为 α rad,半径为 R,则 R=6 ?2R+α· ? ?1 2 ,解得 α=1 或 α=4.答案:1 或 4 R· α=2 ?2 ? 3.如果一扇形的圆心角为 120° ,半径等于 10 cm, 则扇形的面积为________. 1 1 2 100 解析: S= |α|r2= × π×100= π(cm2). 答案: 2 2 3 3 100 π cm2 3 4. 若角 θ 的终边与 168° 角的终边相同, 则在 0° ~360° θ 内终边与 角的终边相同的角的集合为 3 __________.答案:{56° ,176° ,296° } 5. α=k· +45° 若 180° (k∈Z), α 是第________象限. 则 解析: k=2m+1(m∈Z)时, 当 α=2m· +225° 180° =m· +225° 故 α 为第三象限角; k=2m(m∈Z) 360° , 当

时,α=m· +45° 360° ,故 α 为第一象限角. 答案:一或三 6. 设角 α 的终边经过点 P(-6a, -8a)(a≠0), sinα 则 -cosα 的值是________. 解 析 : ∵x = - 6a , y = - 8a , ∴r = (-6a)2+(-8a)2=10|a|, y x -8a+6a -a 1 ∴sinα- cosα= - = = = ± .答 r r 10|a| 5|a| 5 1 案:± 5 7.(2010 年北京东城区质检)若点 A(x,y)是 300° 角终 y 边上异于原点的一点,则 的值为________. x y 解析: =tan300° =-tan60° =- 3.答案:- 3 x 3π 3π 8. (2010 年深圳调研)已知点 P(sin , cos )落在角 θ 4 4 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为________. 3π 3π 解析:由 sin >0,cos <0 知角 θ 在第四象限, 4 4 3π cos 4 7π 7π ∵tanθ= =-1,θ∈[0,2π),∴θ= .答案: 3π 4 4 sin 4 9.已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上,终边在直 2 线 y=kx 上,若 sinα= ,且 cosα<0,则 k 的值为 5 ________. 解析:设 α 终边上任一点 P(x,y),且|OP|≠0,

∴y=kx, ∴r = x2+(kx)2 = cosα<0.∴x<0,y>0,

1+k2 |x|. 又 sinα>0 ,

y kx ∴r=- 1+k2x,且 k<0.∴sinα= = r - 1+k2x k 2 =- ,又 sinα= . 5 1+k2 k 2 ∴- ,∴k=-2.答案:-2 2= 5 1+k 10.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R. 若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的 弓形面积. π 解:设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,∵α=60° , = 3 10 R=10,∴l= π(cm), 3 1 10 1 π S 弓 =S 扇 -S△ = · π·10- · 2sin60° 10 =50( - 2 3 2 3 3 )(cm2). 2 11.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2, 求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大 小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角 为 α,

?2r+l=8, ?r=3, ? ? (1) 由 题 意 可 得 ?1 解得? 或 ? lr=3, ?l=2, ?2 ?
?r=1 ? ? ?l=6, ?

l 2 l ∴α= = 或 α= =6. r 3 r (2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r= 8 .∴S 2+α


1 = αr2 2

1 64 32 = α· ≤4, 2= 2 (2+α) 4 α+ +4 α 4 当且仅当 α= ,即 α=2 时,扇形面积取得最大 α 8 值 4.此时,r= =2 (cm), 2+2 ∴|AB|=2×2sin1=4 sin1 (cm). 12.(1)角 α 的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 2sinα +cosα 的值; (2)已知角 β 的终边在直线 y= 3x 上,用三角函 数定义求 sinβ 的值. 解:(1)根据题意,有 x=4t,y=-3t,所以 r= (4t)2+(-3t)2=5|t|, 3 4 ①当 t>0 时,r=5t,sinα=- ,cosα= ,所以 5 5 6 4 2 2sinα+cosα=- + =- . 5 5 5

②当 t<0 时, r=-5t, sinα= 4 =- , 5

-3t 3 4t = , cosα= -5t 5 -5t

6 4 2 所以 2sinα+cosα= - = . 5 5 5 (2)设 P(a, 3a)(a≠0)是角 β 终边 y= 3x 上一点, 3a 若 a<0, β 是第三象限角, 则 r=-2a, 此时 sinβ= -2a 3 =- ;若 a>0,则 β 是第一象限角,r=2a, 2 3a 3 此时 sinβ= = . 2a 2 第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 A组 3 π 1.若 cosα=- ,α∈( ,π),则 tanα=________. 5 2 3 π 4 解析: cosα=- , α∈( , 所以 sinα= , π), ∴tanα 5 2 5 sinα 4 = =- . cosα 3 4 答案:- 3 4 2. (2009 年高考北京卷)若 sinθ=- , tanθ>0, cosθ 则 5 =________. 4 解析:由 sinθ=- <0,tanθ>0 知,θ 是第三象 5

3 限角,故 cosθ=- . 5 3 答案:- 5 π 3 π 3.若 sin( +α)= ,则 cos( -α)=________. 6 5 3 π π π π 3 解析:cos( -α)=cos[ -( +α)]=sin( +α)= . 3 2 6 6 5 3 答案: 5 5sinx-cosx 4. (2010 年合肥质检)已知 sinx=2cosx, 则 2sinx+cosx =______. 5sinx-cosx 解析:∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴ 2sinx+cosx 5tanx-1 9 = = . 2tanx+1 5 9 答案: 5 5.(原创题)若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ= ________. 解析:由 cos2θ+cosθ=0,得 2cos2θ-1+cosθ 1 =0,所以 cosθ=-1 或 cosθ= ,当 cosθ=-1 时, 2 1 3 有 sinθ=0,当 cosθ= 时,有 sinθ=± .于是 sin2θ 2 2 +sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0 或 3或- 3.答案: 或 3 0 或- 3 60 π π 6.已知 sin(π-α)cos(-8π-α)= ,且 α∈( , ), 169 4 2

求 cosα,sinα 的值. 解:由题意,得 2sinαcosα= cos2α=1,② ①+②得:(sinα+cosα)2= -cosα)2= 289 ,②-①得:(sinα 169 120 .①又∵sin2α+ 169

49 . 169 π π 又∵α∈( , ), ∴sinα>cosα>0, sinα+cosα>0, 即 4 2 sinα-cosα>0, 17 7 ∴sinα+cosα= .③sinα-cosα= ,④ 13 13 12 5 ③+④得:sinα= .③-④得:cosα= . 13 13 B组 1.已知 sinx=2cosx,则 sin2x+1=________. 解析: 由已知, tanx=2, 得 所以 sin2x+1=2sin2x 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 9 2 +cos x= 2 = 2 = .答案: 5 sin x+cos2x tan x+1 5 10π 2.(2010 年南京调研)cos =________. 3 10π 4π π 1 1 解析:cos =cos =-cos =- .答案:- 3 3 3 2 2 3 π 3.(2010 年西安调研)已知 sinα= ,且 α∈( ,π), 5 2 sin2α 那么 2 的值等于________. cos α 4 sin2α 解 析 : cosα = - 1-sin2α = - , = 5 cos2α

3 5 2sinαcosα 2sinα 3 = = =- . 2 cos α cosα 4 2 - 5 3 答案:- 2 2× 4. (2010 年南昌质检)若 tanα=2, 则 sinα+cosα +cos2α sinα-cosα

=_________________. sinα+cosα sinα+cosα 解 析 : + cos2α = + sinα-cosα sinα-cosα tanα+1 cos2α 1 16 16 + 2 = .答案: 2 2 = 5 sin α+cos α tanα-1 tan α+1 5 π 5.(2010 年苏州调研)已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx 2 =___________________. π 解析:∵tanx=sin(x+ )=cosx,∴sinx=cos2x, 2 5-1 5-1 ∴sin2x+sinx-1=0,解得 sinx= .答案: 2 2 6.若 θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ= ________. 解析:由 cosθ(sinθ+cosθ)=1?sinθ· cosθ=1- 2 2 cos θ=sin θ?sinθ(sinθ-cosθ)=0?sinθ=0 或 sinθ- π π cosθ=0,又∵θ∈[0,π),∴θ=0 或 .答案:0 或 4 4 π 1 7π 7 .已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于 12 3 12 ________.

解析:由已知,得 cos(α+

7π π π )=cos[(α+ )+ ] 12 12 2

π 1 =-sin(α+ )=- . 12 3 1 答案:- 3 8.(2008 年高考浙江卷改编)若 cosα+2sinα=- 5, 则 tanα=________.
?cosα+2sinα=- 5, ? 解析:由? 2 ?sin α+cos2α=1, ② ?

① 2 5 , 5

将①代入②得( 5sinα+2)2=0,∴sinα=- cosα=- 5 ,∴tanα=2. 5 答案:2 sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ 9. 已知 f(α)= cos(-π-α) 3π ) 2

, f(- 则

31π )的值为________. 3 sinα· cosα· cotα 31 解析:∵f(α)= =-cosα,∴f(- 3 -cosα π 1 1 π)=-cos =- .答案:- 3 2 2 2π 4π 10.求 sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )(n∈Z)的值. 3 3 2π 4π 解:(1)当 n 为奇数时,sin(2nπ+ )· cos(nπ+ ) 3 3

2π π =sin · cos[(n+1)π+ ] 3 3 π π π π 3 1 3 =sin(π- )· =sin · = × = . cos cos 3 3 3 3 2 2 4 2π 4π (2)当 n 为偶数时,sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )= 3 3 2π 4π π π π π 3 sin · cos =sin(π- )·cos(π+ )=sin · (-cos )= 3 3 3 3 3 3 2 1 3 ×(- )=- . 2 4 11.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3 cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三内角. ② 2 ①2+②2 得:2cos2A=1,即 cosA=± . 2 2 3 (1)当 cosA= 时,cosB= ,又 A、B 是三角 2 2 π π 7 形内角,∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= π.(2) 4 6 12 2 3 当 cosA=- 时,cosB=- .又 A、B 是三角形内 2 2 3 5 π 角,∴A= π,B= π,不合题意.综上知,A= ,B 4 6 4 π 7 = ,C= π. 6 12 12.已知向量 a=( 3,1),向量 b=(sinα-m,cosα). (1)若 a∥b, α∈[0,2π), m 表示为 α 的函数, 且 将 并求 m 的最小值及相应的 α 值; (2)若 a⊥b, m=0, 且
?sinA= 2sinB, ? 解:由已知,得? ? 3cosA= 2cosB, ?



π cos( -α)· sin(π+2α) 2 求 的值. cos(π-α) 解:(1)∵a∥b,∴ 3cosα-1· (sinα-m)=0,∴m π =sinα- 3cosα=2sin(α- ). 3 π 又∵α∈[0,2π),∴当 sin(α- )=-1 时,mmin= 3 -2. π 3 11 此时 α- = π,即 α= π. 3 2 6 (2)∵a⊥b,且 m=0,∴ 3sinα+cosα=0.∴tanα 3 =- . 3 π cos( -α)· sin(π+2α) 2 sinα· (-sin2α) ∴ = = cos(π-α) -cosα tanα· 2sinα· cosα 2sinα· cosα 2tanα 1 =tanα· 2 2 =tanα· 2 = . sin α+cos α 1+tan α 2 第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质 A组 1.(2009 年高考四川卷改编)已知函数 f(x)=sin(x- π )(x∈R),下面结论错误的是. 2 ①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间 π [0, ]上是增函数 2

③函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④函数 f(x) 是奇函数 π 解析:∵y=sin(x- )=-cosx,y=-cosx 为偶 2 函数, π ∴T=2π,在[0, ]上是增函数,图象关于 y 轴对 2 称.答案:④ π 2.(2009 年高考广东卷改编)函数 y=2cos2(x- )-1 4 是________. ①最小正周期为 π 的奇函数 ②最小正周期为 π π 的偶函数 ③最小正周期为 的奇函数 ④最小正周 2 π 期为 的偶函数 2 π π 解析:y=2cos2(x- )-1=cos(2x- )=sin2x, 4 2 ∴T=π,且为奇函数. 答案:① 3.(2009 年高考江西卷改编)若函数 f(x)=(1+ 3 π tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为________. 2 sinx 解析:f(x)=(1+ 3· )· cosx=cosx+ 3sinx= cosx π 2sin(x+ ), 6 π π π 2π π π ∵0≤x< ,∴ ≤x+ < ,∴当 x+ = 时,f(x) 2 6 6 3 6 2 取得最大值 2.答案:2

4.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对 π 称轴方程为 x= ,则 a 的值为________. 12 π π 解析:∵x= 是对称轴,∴f(0)=f( ),即 cos0 12 6 π π 3 =asin +cos ,∴a= . 3 3 3 3 答案: 3 5.(原创题)设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关 π 于直线 x= 对称,它的最小正周期是 π,则 f(x)图象 3 上的一个对称中心是________(写出一个即可). 2π 解析:∵T= =π,∴ω=2,又∵函数的图象 ω π π 关于直线 x= 对称,所以有 sin(2× +φ)=± 1,∴φ 3 3 π π =k1π- (k1∈Z),由 sin(2x+k1π- )=0 得 2x+k1π- 6 6 π π π =k2π(k2∈Z),∴x= +(k2-k1) ,当 k1=k2 时,x 6 12 2 π π = ,∴f(x)图象的一个对称中心为( ,0).答案: 12 12 π ( ,0) 12 6.(2010 年宁波调研)设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx 3 - . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x) 的单调递增区间;

(2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. 3 1 3 3 解 : (1)f(x) = (cos2x + 1) + sin2x - = 2 2 2 2 1 π cos2x+ sin2x=sin(2x+ ), 2 3 π π π 故 T=π.由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), kπ 得 2 3 2 5 π - π≤x≤kπ+ , 12 12 5 π 所以单调递增区间为[kπ- π,kπ+ ](k∈Z). 12 12 π π (2)令 f(x)=1,即 sin(2x+ )=1,则 2x+ =2kπ 3 3 π π + (k∈Z).于是 x=kπ+ (k∈Z),∵0≤x<3π,且 2 12 π π π 13π k∈Z,∴k=0,1,2,则 +(π+ )+(2π+ )= . 12 12 12 4 13 ∴在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为 4 π. B组 2 π 2 1.函数 f(x)=sin( x+ )+sin x 的图象相邻的两条对 3 2 3 称轴之间的距离是________. 2x 2x 2x π 解析:f(x)=cos +sin = 2sin( + ),相邻 3 3 3 4 2π 的两条对称轴之间的距离是半个周期,T= =3π, 2 3 T 3π 3π ∴ = .答案: 2 2 2

2.(2010 年天津河西区质检)给定性质:a 最小正周期 π 为 π; 图象关于直线 x= 对称. b 则下列四个函数中, 3 同时具有性质 ab 的是________. x π π ①y = sin( + ) ②y = sin(2x + ) 2 6 6 π ③y=sin|x| ④y=sin(2x- ) 6 2π π π 解析:④中,∵T= =π,∴ω=2.又 2× - = ω 3 6 π π ,所以 x= 为对称轴. 2 3 答案:④ π π 3.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)若 <x< ,则函数 y= 4 2 3 tan2xtan x 的最大值为__. π π 解析: <x< ,tanx>1,令 tan2x-1=t>0,则 y 4 2 2(t+1)2 2tan4x 1 3 =tan2xtan x= =-2(t+ +2)≤- 2 = t 1-tan x -t 8,故填-8.答案:-8 4.(2010 年烟台质检)函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间 2 [- π,θ]上的最大值为 1,则 θ 的值是________. 3 解析:因为 f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx 2π +1=-(cosx-1)2+2,又其在区间[- ,θ]上的最 3 π π 大值为 1,可知 θ 只能取- . 答案:- 2 2 5.(2010 年苏北四市调研)若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)

2π 2π , ]上单调递增, ω 的最大值为________. 则 3 3 2π 2π 3 解析:由题意,得 ≥ ,∴0<ω≤ ,则 ω 的 4ω 3 4 3 3 最大值为 .答案: 4 4 π 6.(2010 年南京调研)设函数 y=2sin(2x+ )的图象关 3 π 于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈[- ,0],则 x0= 2 ________. 解析:因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点, π π 所以由 y=2sin(2x0+ )=0,x0∈[- ,0],得 x0=- 3 2 π π .答案:- 6 6 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小 π π 值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条 2 3 对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是 ________. π π ①y=4sin(4x+ )②y=2sin(2x+ )+2③y=2sin(4x+ 6 3 π π )+2 ④y=2sin(4x+ )+2 3 6 解析:因为已知函数的最大值为 4,最小值为 0, ?A+m=4 ? 2π 所以? ,解得 A=m=2,又最小正周期为 ω ?m-A=0 ? 在[- π π = , 所以 ω=4, 又直线 x= 是其图象的一条对称轴, 2 3

π π 4π π 将 x= 代入得 sin(4× +φ)=± 所以 φ+ =kπ+ 1, 3 3 3 2 5π π (k∈Z), φ=kπ- (k∈Z), k=1 时, 即 当 φ= .答案: 6 6 ④ π 8.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在 2 区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整 数 t 的最小值是________. π 解析:函数 y=sin x 的周期 T=4,若在区间[0, 2 5 t]上至少出现两个波峰,则 t≥ T=5.答案:5 4 9.(2009 年高考安徽卷改编)已知函数 f(x)= 3sinωx +cosωx(ω>0), y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻 交 点 的 距 离 等 于 π , 则 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ________. π 解析:∵y= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ),且 6 由函数 y=f(x)与直线 y=2 的两个相邻交点间的距离 2π 为 π 知,函数 y=f(x)的周期 T=π,∴T= =π,解 ω π π π 得 ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+ ). 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ 令 6 2 6 π π π + (k∈Z),得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).答案:[kπ- 2 3 6 π π ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 10 . 已 知 向 量 a = (2sinωx , cos2ωx) , 向 量 b = (cosωx,2 3),其中 ω>0,函数 f(x)=a· b,若 f(x)图象

的相邻两对称轴间的距离为 π.(1)求 f(x)的解析式; (2) π π 若对任意实数 x∈[ , ],恒有|f(x)-m|<2 成立,求实 6 3 数 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a· b=(2sinωx,cos2ωx)· (cosωx,2 3) π =sin2ωx+ 3(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+ )+ 3.∵相 3 2π 1 邻两对称轴的距离为 π,∴ =2π,∴ω= , 2ω 2 π ∴f(x)=2sin(x+ )+ 3. 3 π π π π 2π (2)∵x∈[ , ], ∴x+ ∈[ , ], ∴2 3≤f(x)≤2 6 3 3 2 3 + 3.又∵|f(x)-m|<2, π π ∴-2+m<f(x)<2+m.,若对任意 x∈[ , ],恒有 6 3 |f(x)-m|<2 成立,则有 解得 3≤m≤2+2 3. 3, 11. 设函数 f(x)=a· 其中向量 a=(2cosx,1), b, b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调 递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时, f(x)的最大值为 4, m 的值. 求 6 解 : (1)∵f(x) = a· = 2cos2x + 3 sin2x + m = b π 2sin(2x+ )+m+1, 6
?-2+m≤2 ? ? ?2+m≥2+ ?

3,

2π =π. 2 π 2π 在[0,π]上的单调递增区间为[0, ],[ ,π]. 6 3 π π (2)当 x∈[0, ]时, ∵f(x)单调递增, ∴当 x= 时, 6 6 f(x)取得最大值为 m+3,即 m+3=4,解之得 m=1, ∴m 的值为 1. ωx 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2 +m(ω>0)的最 2 小正周期为 3π,且当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小 值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式; (2)在△ABC 中, f(C) 若 2 =1,且 2sin B=cosB+cos(A-C),求 sinA 的值. 解: (1)f(x)= 3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+ π )-1+m. 6 2π 依题意, 函数 f(x)的最小正周期为 3π, 即 =3π, ω 2 解得 ω= . 3 2x π ∴f(x)=2sin( + )-1+m. 3 6 π 2x π 5π 1 2x π 当 x∈[0, π]时, ≤ + ≤ , ≤sin( + )≤1, 6 3 6 6 2 3 6 ∴f(x) 的 最 小 值 为 m. 依 题 意 , m = 0.∴f(x) = 2x π 2sin( + )-1. 3 6 2C π 2C (2)由题意, f(C)=2sin( + )-1=1, 得 ∴sin( 3 6 3 ∴函数 f(x)的最小正周期 T=

π + )=1. 6 π 2C π 5π 2C π π π 而 ≤ + ≤ ,∴ + = ,解得 C= .∴A 6 3 6 6 3 6 2 2 π +B= . 2 π 在 Rt△ABC 中, ∵A+B= , 2B=cosB+cos(A 2sin 2 -C). ∴2cos2A - sinA - sinA = 0 , 解 得 sinA = -1± 5 5-1 .∵0<sinA<1,∴sinA= . 2 2 第四节 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像 A组 1.(2009 年高考浙江卷改编)已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________.

2π , ∴当|a|>1 时, |a| T<2π.当 0<|a|<1 时,T>2π,观察图形中周期与振幅的 关系,发现④不符合要求.答案:④ 2. (2009 年高考湖南卷改编)将函数 y=sinx 的图象向 解析: 函数的最小正周期为 T=

π 左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y=sin(x- ) 6 的图象,则 φ 等于________. π π 解 析 : y = sin(x - ) = sin(x - + 2π) = sin(x + 6 6 11π 11π ).答案: 6 6 3. 将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0) 个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 φ 的最小 值为________. π 解析:因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- ),f(x) 6 的图象向右平移 φ 个单位所得图象 对应的函数为奇函数, φ 的最小值 则 5π 为 . 6 5π 答案: 6 4.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0 ,- π<φ<π),x∈R 的部分图象,则下列命题中,正确命 题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= π; 12 π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π). 3

T 5π π 解析:据图象可得:A= 3, = - ?T=π, 2 6 3 7π 7π 故 ω=2,又由 f( )= 3?sin(2× +φ)=1,解得 φ 12 12 2π 2π =2kπ- (k∈Z),又-π<φ<π,故 φ=- ,故 f(x) 3 3 2π = 3sin(2x- ),依次判断各选项,易知①②是错误 3 7π 的,由图象易知 x= 是函数图象的一条对称轴,故 12 ③正确,④函数的单调递增区间有无穷多个,区间 π 7π [ , ]只是函数的一个单调递增区间,⑤由上述推 12 12 导易知正确.答案:③⑤ 5.(原创题)已知函数 f(x)=sinωx+cosωx,如果存在 实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1 +2010)成立,则 ω 的最小值为________. 解析: 显然结论成立只需保证区间[x1, 1+2010] x 能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可, f(x) 且 2π ω π = sinωx + cosωx = 2 sin(ωx + ) , 则 2010≥ ? 4 2 π π ω≥ .答案: 2010 2010 6.(2010 年苏北四市质检)已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3 π sinωx· sin(ωx+ )+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在 y 轴右侧 2 π 的第一个最高点的横坐标为 . (1)求 ω; 6

π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再 6 将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐 标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 求函数 g(x)的最大 值及单调递减区间. 3 1 3 π 解: (1)f(x)= sin2ωx+ cos2ωx+ =sin(2ωx+ ) 2 2 2 6 3 + , 2 π π π 令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得:ω=1. 6 2 6 π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ , 6 2 1 π 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin( x- )+ 2 6 3 , 2 4 5 当 x=4kπ+ π,k∈Z 时,函数取得最大值 . 3 2 π 1 π 3 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π(k∈Z), 2 2 6 2 4π 10 ∴4kπ+ ≤x≤4kπ+ π(k∈Z). 3 3 4π 10 即 x∈[4kπ+ , 4kπ+ π], k∈Z 为函数的单调 3 3 递减区间. B组 1.(2009 年高考宁夏、海南卷)已知函数 y=sin(ωx+ φ)(ω>0, -π≤φ<π)的图象如图所示, φ=________. 则

T 解析: 由图可知, =2π 2 3 - π, 4 5 2π 5 ∴T= π,∴ = π, 2 ω 2 4 ∴ω= , 5 4 ∴y=sin( x+φ). 5 4 3 又∵sin( × π+φ)=-1, 5 4 3 ∴sin( π+φ)=-1, 5 3 3 ∴ π+φ= π+2kπ,k∈Z. 5 2 9 ∵ - π≤φ<π , ∴φ = π. 10 9 答案: π 10 2.(2010 年南京调研)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则 φ= ________. 2π π 解析:由图象知 T=2( - )=π. 3 6 2π π π π ∴ω= =2, 把点( , 1)代入, 可得 2× +φ= , T 6 6 2 π π φ= .答案: 6 6 3.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=sin(ωx+

π )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x) 4 =cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的图象________. π 解析:∵f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正 4 周期为 π, 2π ∴ =π,故 ω=2. ω π π π 又 f(x)= sin(2x+ )∴g(x)= sin[2(x+ )+ ]= 4 8 4 π sin(2x+ )=cos2x. 2 π 答案: 向左平移 个单位长度 8 4. (2009 年高考辽宁卷改编)已知 函数 f(x)=Acos(ωx+φ) 的图象 π 2 如图所示,f( )=- ,则 f(0)= 2 3 ________. T 11 7 π 2π 解析: = π- π= ,∴ω= =3. 2 12 12 3 T 7 又( π,0)是函数的一个上升段的零点, 12 7 3π π ∴3× π+φ= +2kπ(k∈Z), φ=- +2kπ, 得 12 2 4 k∈Z, π 2 2 2 2 代入 f( )=- ,得 A= ,∴f(0)= . 答案: 2 3 3 3 2 3

π 5 . 将 函 数 y = sin(2x + ) 的 图 象 向 ________ 平 移 3 π ________个单位长度后所得的图象关于点(- ,0) 12 中心对称. π π 解析:由 y=sin(2x+ )=sin2(x+ )可知其函数 3 6 π 图象关于点(- ,0)对称,因此要使平移后的图象关 6 π π 于(- ,0)对称,只需向右平移 即可.答案:右 12 12 π 12 ?a1 a2? ? ? 6. (2010 年深圳调研)定义行列式运算: ? ?=a1a4 ?a3 a4? ? 3 cosx? ? -a2a3,将函数 f(x)=? 的图象向左平移 m ? sinx ? ?1 ? 个单位(m>0),若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是________. 3 解析:由题意,知 f(x)= 3sinx-cosx=2( sinx 2 1 π - cosx)=2sin(x- ), 2 6 π 其图象向左平移 m 个单位后变为 y=2sin(x- + 6 π π m),平移后其对称轴为 x- +m=kπ+ ,k∈Z.若为 6 2 2π 偶函数,则 x=0,所以 m=kπ+ (k∈Z),故 m 的最 3

2π 2π .答案: 3 3 7.(2009 年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数 y=tan(ωx+ π π )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y= 4 6 π tan(ωx+ )的图象重合,则 ω 的最小值为________. 6 π π 解析:y=tan(ωx+ )向右平移 个单位长度后得 4 6 π π π 到函数解析式 y=tan[ω(x- )+ ], y=tan(ωx+ - 即 6 4 4 πω π πω π ),显然当 - = +kπ(k∈Z)时,两图象重合, 6 4 6 6 1 此时 ω= -6k(k∈Z).∵ω>0,∴k=0 时,ω 的最小 2 1 1 值为 .答案: 2 2 π 8.给出三个命题:①函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周 3 π 3π 3π 期是 ;②函数 y=sin(x- )在区间[π, ]上单调递 2 2 2 5π 5π 增; ③x= 是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称 4 6 轴.其中真命题的个数是________. π 解析: 由于函数 y=sin(2x+ )的最小正周期是 π, 3 π π 故函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 ,①正确;y 3 2 3π 3π =sin(x- )=cosx, 该函数在[π, )上单调递增, ② 2 2 小值为

5π 5π 5π 5π π 时, y=sin(2x+ )=sin( + )=sin( 4 6 2 6 2 5π 5π 3 5π + )=cos =- , 不等于函数的最值, x= 不 故 6 6 2 4 5π 是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴,③不正 6 确.答案:2 9.(2009 年高考上海卷)当 0≤x≤1 πx 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实 2 数 k 的取值范围是________. πx 解析: 0≤x≤1 时, 当 y=sin 的 2 图象如图所示,y=kx 的图象在[0,1] 之间的部分应位于此图象下方,当 k≤0 时,y=kx 在 [0,1]上的图象恒在 x 轴下方,原不等式成立. πx 当 k>0,kx≤sin 时,在 x∈[0,1]上恒成立,k≤1 即 2 可. πx 故 k≤1 时, x∈[0,1]上恒有 sin ≥kx.答案: k≤1 2 10. (2009 年高考重庆卷)设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2 2π +2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 .(1)求 ω 的值;(2) 3 π 若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个 2 单位长度得到,求 y=g(x)的单调增区间. 解:(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωx· cosωx+1 π +cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2= 2sin(2ωx+ )+2, 4 正确; x= 当

依题意,得

2π 2π 3 = ,故 ω= . 2ω 3 2

π π (2)依题意,得 g(x)= 2sin[3(x- )+ ]+2= 2 2 4 5π sin(3x- )+2. 4 π 5π π 2 π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z),解得 kπ+ 2 4 2 3 4 2 7π ≤x≤ kπ+ (k∈Z). 3 12 2 π 2 7π 故 g(x)的单调增区间为[ kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 3 4 3 12 11. (2009 年高考陕西卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ), π x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期为 π,且图象上 2 2π 一个最低点为 M( ,-2). 3 π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0, ]时,求 f(x) 12 的最值. 2π 解:(1)由最低点为 M( ,-2)得 A=2.由 T=π 3 2π 2π 得 ω= = =2. T π 2π 4π 由点 M( ,-2)在图象上得 2sin( +φ)=-2, 3 3 4π 即 sin( +φ)=-1, 3 4π π 11π ∴ +φ=2kπ- (k∈Z), φ=2kπ- , 即 k∈Z. 3 2 6

π π 又 φ∈(0, ),∴φ= , 2 6 π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π (2)∵x∈[0, ], ∴2x+ ∈[ , ], ∴当 2x+ = 12 6 6 3 6 π π π ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;当 2x+ = ,即 x 6 6 3 π = 时,f(x)取得最大值 3. 12 12.(2009 年高考福建卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ), π 其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 (2)在(1)的条件下, 若函数 f(x)的图象的相邻两条 π 对称轴之间的距离等于 , 求函数 f(x)的解析式; 并求 3 最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单 位后所对应的函数是偶函数. π 3π π 解:法一:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 cos 4 4 4 π cosφ-sin sinφ=0, 4 π π π 即 cos( +φ)=0.又|φ|< ,∴φ= . 4 2 4 π T π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = , 4 2 3 2π 又 T= ,故 ω=3, ω

π ∴f(x)=sin(3x+ ).函数 f(x)的图象向左平移 m 4 个单位后所对应的函数为 π g(x)=sin[3(x+m)+ ],g(x)是偶函数当且仅当 4 π π 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 2 kπ π π 即 m= + (k∈Z).从而,最小正实数 m= . 3 12 12 法二:(1)同法一. π T π (2)由(1)得 ,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = . 4 2 3 2π 又 T= ,故 ω=3, ω π ∴f(x)=sin(3x+ ). 4 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函 π 数为 g(x)=sin[3(x+m)+ ]. 4 g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成 立, π π 亦即 sin(-3x+3m+ )=sin(3x+3m+ )对 x∈R 4 4 恒成立. π π ∴sin(-3x)cos(3m+ )+cos(-3x)· sin(3m+ ) 4 4 π π =sin3xcos(3m+ )+cos3xsin(3m+ ), 4 4 π 即 2sin3xcos(3m + ) = 0 对 x∈R 恒 成 4

π π π 立.∴cos(3m+ )=0,故 3m+ =kπ+ (k∈Z),∴m 4 4 2 kπ π π = + (k∈Z),从而,最小正实数 m= . 3 12 12 第六章 三角恒等变形 第一节 同角三角函数的基本关系 A组 5 10 1.已知 sinα= ,sin(α-β)=- ,α、β 均为锐 5 10 角,则 β 等于________. π π 解析: ∵α、 均为锐角, β ∴- <α-β< , ∴cos(α 2 2 3 10 -β)= 1-sin2(α-β)= . 10 5 5 2 5 ∵sinα= ,∴cosα= 1-( )2= . 5 5 5 ∴sinβ = sin[α - (α - β)] = sinαcos(α - β) - 2 cosαsin(α-β)= . 2 π π π ∵0<β< ,∴β= .答案: 2 4 4 π 3 3 2.已知 0<α< <β<π,cosα= ,sin(α+β)=- ,则 2 5 5 cosβ 的值为________. π π π 3 解析:∵0<α< , <β<π,∴ <α+β< π.∴sinα= 2 2 2 2 4 4 ,cos(α+β)=- , 5 5 ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α

4 3 3 4 24 24 +β)sinα=(- )× +(- )× =- .答案:- 5 5 5 5 25 25 2 3.如果 tanα、tanβ 是方程 x -3x-3=0 的两根,则 sin(α+β) =________. cos(α-β) sin(α+β) 解析: tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3, 则 cos(α-β) sinαcosβ+cosαsinβ = cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ 3 3 3 = = =- .答案:- 2 2 1+tanαtanβ 1-3 π 4 4.(2008 年高考山东卷改编)已知 cos(α- )+sinα= 6 5 7π 3,则 sin(α+ )的值是___. 6 3 1 4 1 解析: 由已知得 cosα+ sinα+sinα= 3, 即 2 2 5 2 3 4 cosα+ sinα= , 2 5 π 4 7 π 4 得 sin(α+ )= ,sin(α+ π)=-sin(α+ )=- . 6 5 6 6 5 4 答案:- 5 π 5.(原创题)定义运算 a?b=a2 -ab-b2 ,则 sin 12 π ? cos =________. 12 π π π π π π 解析: sin ? cos =sin2 -sin cos -cos2 12 12 12 12 12 12

π π 1 π π π 1 -sin2 )- ×2sin cos =-cos - 12 12 2 12 12 6 2 1+2 3 1+2 3 π sin =- .答案:- 6 4 4 π α α 6 6.已知 α∈( ,π),且 sin +cos = . 2 2 2 2 3 π (1)求 cosα 的值; (2)若 sin(α-β)=- , β∈( , π), 5 2 求 cosβ 的值. α α 6 解:(1)因为 sin +cos = ,两边同时平方得 2 2 2 1 sinα= . 2 π 3 又 <α<π.所以 cosα=- . 2 2 π π π (2)因为 <α<π, <β<π,所以-π<-β<- ,故- 2 2 2 π π <α-β< . 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α -β) 4 3+3 3 4 1 3 =- × + ×(- )=- . 2 5 2 5 10 B组 cos2α 1+tanα 1. · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα =-(cos2

2 2 cos2α 1+tanα cos α-sin α 1+tanα 解析: · = · 1+sin2α 1-tanα (sinα+cosα)2 1-tanα cosα-sinα 1+tanα 1-tanα 1+tanα = · = · =1. sinα+cosα 1-tanα 1+tanα 1-tanα sin2x-2sin2x π 3 2 . 已 知 cos( + x) = , 则 的值为 4 5 1-tanx ________. π 3 3 解析:∵cos( +x)= ,∴cosx-sinx= 2, 4 5 5 sin2x-2sin2x 18 7 ∴1-sin2x= ,sin2x= ,∴ = 25 25 1-tanx 2sinx(cosx-sinx) 7 =sin2x= . 25 cosx-sinx cosx π π 3.已知 cos(α+ )=sin(α- ),则 tanα=________. 3 3 π π π 1 解析:cos(α+ )=cosαcos -sinαsin = cosα- 3 3 3 2 3 π sinα,sin(α- ) 2 3 π π 1 3 =sinαcos -cosαsin = sinα- cosα, 3 3 2 2 1 3 1 3 由已知得:( + )sinα=( + )cosα,tanα=1. 2 2 2 2 π 3π π π 3 3π 4.设 α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( + 4 4 4 4 5 4 5 β)= ,则 sin(α+β)=________. 13

π 3π π π π 解析:α∈( , ),α- ∈(0, ),又 cos(α- ) 4 4 4 2 4 3 π 4 = ,∴sin(α- )= . 5 4 5 π 3π 3π 3π ∵β∈(0, ),∴ +β∈( ,π).∵sin( +β) 4 4 4 4 5 3π 12 = ,∴cos( +β)=- , 13 4 13 π 3π ∴sin(α+β)=-cos[(α- )+( +β)] 4 4 π 3π π 3π =-cos(α- )· cos( +β)+sin(α- )· sin( +β) 4 4 4 4 3 12 4 5 56 =- ×(- )+ × = , 5 13 5 13 65 56 即 sin(α+β)= . 65 1 1 π 5.已知 cosα= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈(0, ), 3 3 2 则 cos(α-β)的值等于________. π 1 解析:∵α∈(0, ),∴2α∈(0,π).∵cosα= , 2 3 7 ∴cos2α=2cos2α-1=- ,∴sin2α= 1-cos22α= 9 4 2 π ,而 α,β∈(0, ),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β) 9 2 2 2 = 1-cos2(α+β)= ,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+ 3 7 1 β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(- )×(- ) 9 3 4 2 2 2 23 + × = . 9 3 27

3 6 . 已 知 角 α 在 第 一 象 限 , 且 cosα = , 则 5 π 1+ 2cos(2α- ) 4 =________. π sin(α+ ) 2 3 4 解析:∵α 在第一象限,且 cosα= ,∴sinα= , 5 5 π 2 2 1+ 2cos(2α- ) 1+ 2( cos2α+ sin2α) 4 2 2 则 = = π cosα sin(α+ ) 2 2cos2α+2sinαcosα 4 3 14 =2(sinα+cosα)=2( + )= . cosα 5 5 5 π 7.已知 a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈( , 2 2 π π),若 a· ,则 tan(α+ )的值为________. b= 5 4 解析:a· b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+ 2 3 π 2sin2α-sinα=1-sinα= ,∴sinα= ,又 α∈( ,π), 5 5 2 4 3 π tanα+1 1 ∴cosα=- ,tanα=- ,∴tan(α+ )= = . 5 4 4 1-tanα 7 tan10° tan70° 8. 的值为______. tan70° -tan10° +tan120° tan70° -tan10° 解析:由 tan(70° -10° )= = 3, 1+tan70°tan10° · 故 tan70° -tan10° 3(1+tan70° = tan10° 代入所 ), 求代数式得:

tan70° tan10° = 3(1+tan70° tan10° )+tan120° tan70° tan10° tan70° tan10° 3 = = . 3(1+tan70° tan10° )- 3 3tan70° tan10° 3 9 . 已 知 角 α 的 终 边 经 过 点 A( - 1 , 15 ) , 则 π sin(α+ ) 4 的值等于________. sin2α+cos2α+1 1 解 析 : ∵sinα + cosα≠0 , cosα = - , 4 π sin(α+ ) 4 2 ∴ = =- 2. sin2α+cos2α+1 4cosα cos20° 10.求值: · cos10° 3sin10° + tan70° -2cos40° . sin20° cos20° cos10° 3sin10° sin70° 解:原式= + - sin20° cos70° 2cos40° cos20° cos10° 3sin10° + cos20° = -2cos40° sin20° cos20° (cos10° 3sin10° + ) = -2cos40° sin20° 2cos20° (cos10° sin30° +sin10° cos30° ) = - sin20° 2cos40° 2cos20° sin40° -2sin20° cos40° = =2. sin20° x x 11.已知向量 m=(2cos ,1),n=(sin ,1)(x∈R), 2 2

设函数 f(x)=m· n-1. (1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角△ABC 的三个 5 3 内角分别为 A,B,C,若 f(A)= ,f(B)= ,求 f(C) 13 5 的值. x x 解:(1)f(x)=m· n-1=(2cos ,1)· ,1)-1= (sin 2 2 x x 2cos sin +1-1=sinx. 2 2 ∵x∈R,∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= ,∴sinA= ,sinB= . 13 5 13 5 12 ∵A, 都为锐角, B ∴cosA= 1-sin2A= , cosB 13 4 = 1-sin2B= . 5 ∴f(C) = sinC = sin[π - (A + B)] = sin(A + B) = sinAcosB+cosAsinB 5 4 12 3 56 56 = × + × = .∴f(C)的值为 . 13 5 13 5 65 65 π π 12.(2010 年南京调研)已知:0<α< <β<π,cos(β- ) 2 4 1 4 = ,sin(α+β)= . 3 5 π (1)求 sin2β 的值;(2)求 cos(α+ )的值. 4 π π π 解:(1)法一:∵cos(β- )=cos cosβ+sin sinβ 4 4 4 2 2 1 = cosβ+ sinβ= , 2 2 3

∴cosβ+sinβ= 7 . 9

2 2 ,∴1+sin2β= ,∴sin2β=- 3 9

π π 7 法二:sin2β=cos( -2β)=2cos2(β- )-1=- . 2 4 9 π π π 3π π 3π (2)∵0<α< <β<π,∴ <β- < , <α+β< , 2 4 4 4 2 2 π ∴sin(β- )>0,cos(α+β)<0. 4 π 1 4 π ∵cos(β- )= ,sin(α+β)= ,∴sin(β- )= 4 3 5 4 2 2 3 ,cos(α+β)=- . 3 5 π π ∴cos(α + ) = cos[(α + β) - (β - )] = cos(α + 4 4 π π β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- ) 4 4 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 第二节 两角和与差及二倍角的三角函数 A组 3 π π 5π 1. sinα= , 若 α∈(- , ), cos(α+ )=________. 则 5 2 2 4 π π 3 4 解析:由于 α∈(- , ),sinα= 得 cosα= , 2 2 5 5 5π 2 由两角和与差的余弦公式得:cos(α+ )=- (cosα 4 2 2 -sinα)=- . 10

3 2. 已知 π<θ< π, 则 2

1 1 1 1 + + cosθ=________. 2 2 2 2 3π π θ 3π π θ 3π 解析:∵π<θ< ,∴ < < , < < . 2 2 2 4 4 4 8 1 1 1 1 1 1 θ + + cosθ= + cos2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 θ θ = - cos =sin . 2 2 2 4 cos10° 3sin10° + 3.(2010 年南京市调研)计算: = 1-cos80° ________. cos10° 3sin10° 2cos(10° + -60° ) 解析: = = 2sin240° 1-cos80° 2cos50° = 2. 2sin40° 4. (2009 年高考上海卷)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小 值是__________________. 解析: y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x +cos2x+1 π = 2sin(2x+ )+1≥1- 2. 4 1 2 5 . ( 原 创 题 ) 函 数 f(x) = (sin2x + 2 )(cos x + 2010sin x 1 )的最小值是________. 2010cos2x (2010sin4x+1)(2010cos4x+1) 解析:f(x)= 20102sin2xcos2x 20102sin4xcos4x+2010(sin4x+cos4x)+1 = 20102sin2xcos2x

= sin2xcos2x + ( 2011-1).

2011 2 2 ≥ 2 2 - 2010 sin xcos x 2010 2010
2

π π 6. 已知角 α∈( , ), 且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα) 4 2 =0. π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3 解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0, π π 4 4 3 又 α∈( , ),∴tanα= ,sinα= ,cosα= , 4 2 3 5 5 π 4 tanα+tan +1 4 3 π (1)tan(α+ )= = =-7. 4 π 4 1-tanαtan 1- 4 3 7 (2)cos2α=2cos2α-1=- , sin2α=2sinαcosα= 25 24 , 25 π π π 1 7 cos( -2α)=cos cos2α+sin sin2α= ×(- ) 3 3 3 2 25 3 24 24 3-7 + × = . 2 25 50 B组 2 π 1 π 1.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )= 5 4 4 4 _____. π π 解 析 : tan(α + ) = tan[(α + β) - (β - )] = 4 4

π 2 1 tan(α+β)-tan(β- ) - 4 5 4 3 = = . π 2 1 22 1+tan(α+β)tan(β- ) 1+ × 4 5 4 2.(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα+cosα=0,则 1 的值为________. 2 cos α+sin2α 解析:由 3sinα+cosα=0 得 cosα=-3sinα,则 sin2α+cos2α 9sin2α+sin2α 1 = = = cos2α+sin2α cos2α+2sinαcosα 9sin2α-6sin2α 10 . 3 6 3. a=sin14° 设 +cos14° b=sin16° , +cos16° c= , , 2 则 a、b、c 的大小关系是 解析:a= 2sin59° ,c= 2sin60° ,b= 2sin61° , ∴a<c<b. 1 3 1 或 a2=1+sin28° <1+ = ,b2=1+sin32° >1+ 2 2 2 3 3 = ,c2= ,∴a<c<b. 2 2 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 解析:原式= 4cos24+2 (sin4-cos4)2=|2cos4| +2|sin4-cos4|=-2sin4. 1 10 π π π 5.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值 tanα 3 4 2 4 为_________. π 2 解析: 由题意知, tanα=3,sin(2α+ )= (sin2α 4 2

1-tan2α 2tanα 3 +cos2α), sin2α= 而 = , cos2α= = 1+tan2α 5 1+tan2α 4 π 23 4 2 - .∴sin(2α+ )= ( - )=- . 5 4 2 5 5 10 2 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin x· sin2x(x∈R),则 f(x)的 最小正周期为________. 1 解 析 : f(x) = sin2x(1 - 2sin2x) = sin2xcos2x = 2 2π π sin4x,所以 T= = . 4 2 2cos5° -sin25° 7. (2010 年无锡质检) 的值为________. cos25° 2cos(30° -25° )-sin25° 解析:由已知得:原式= cos25° 3cos25° = = 3. cos25° 8.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ), |a-2b|=________________. 解析:|a-2b|2 =(cos10° -2cos70°2 +(sin10° ) - 2 2sin70° = 5 - 4cos10° ) cos70° 4sin10° - sin70° 5 - = 4cos60° =3,∴|a-2b|= 3. 1-cos2α 9. (2010 年江苏省南通市调研)已知 =1, tan(β sinαcosα 1 -α)=- ,则 tan(β-2α)=________. 3 1-cos2α 1-tan2α 1 解析:因为 =1,即 1- = sinαcosα 1+tan2α 2 2tanα 1 × 2 ,所以 2tanα=1,即 tanα= ,所以 tan(β 2 1+tan α

1 1 - - tan(β-α)-tanα 3 2 -2α)=tan(β-α-α)= = = 1 1+tan(β-α)tanα 1- 6 -1. π 10 . 已 知 tanα = 2. 求 (1)tan(α + ) 的 值 ; 4 sin2α+cos2(π-α) (2) 的值. 1+cos2α π 1+tanα 解:(1)∵tan(α+ )= ,tanα=2,∴tan(α 4 1-tanα π 1+2 + )= =-3. 4 1-2 sin2α+cos2(π-α) 2sinαcosα+cos2α (2) = = 2cos2α 1+cos2α 2sinα+cosα 1 5 =tanα+ = . 2cosα 2 2 11. 如图, A, 是单位圆上的两点, 点 B A,B 两点分别在第一、二象限,点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点,△AOB 是 3 4 正三角形,若点 A 的坐标为( , ), 5 5 记∠COA=α. 1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α 3 4 解:(1)∵A 的坐标为( , ),根据三角函数的定 5 5 1+sin2α 1+2sinαcosα 4 3 义可知, sinα= , cosα= , ∴ = 5 5 2cos2α 1+cos2α

49 = . 18 (2)∵△AOB 为 正 三 角 形 , ∴∠AOB = 60° .∴cos∠COB = cos(α + 60° = cosαcos60°- ) 3 1 4 3 3-4 3 sinαsin60° × - × = .= , 5 2 5 2 10 ∴|BC|2 =|OC|2 +|OB|2 -2|OC|· |OB|cos∠COB=1 3-4 3 7+4 3 +1-2× = . 10 5 12.(2009 年高考江西卷)△ABC 中,A,B,C 所对的 sinA+sinB 边分别为 a,b,c,tanC= ,sin(B-A)= cosA+cosB cosC.(1)求角 A,C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB sinC 解 : (1) 因 为 tanC = ,即 = cosC cosA+cosB sinA+sinB , cosA+cosB 所 以 sinCcosA + sinCcosB = cosCsinA + cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成 立), π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3 1 π 又因为 sin(B-A)=cosC= ,则 B-A= 或 B- 2 6 5π A= (舍去), 6

π 5π π π 得 A= ,B= .故 A= ,C= . 4 12 4 3 6+ 2 1 a (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3,又 2 8 sinA c a c = ,即 = , sinC 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3. 第七章 解三角形 第一节 正弦定理与余弦定理 1.(2008·陕西理,3)△ABC 的内角 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c,若 c= 2 ,b= 6 ,B=120°,则 a 等于 ( ) A. 答案
6

B.2 D

C.

3

D.

2

2.(2008·福建理,10)在△ABC 中,角 A、B、C 的 对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3 ac, 则角 B 的值为( A. ?6 答案 D B. ?3 ) C. ?6 或 56? D. ?3 或 23?
2 2 2

3.下列判断中正确的是 ( )

A.△ABC 中,a=7,b=14,A=30°,有两解 B.△ABC 中,a=30,b=25,A=150°,有一解 C.△ABC 中,a=6,b=9,A=45°,有两解 D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解 答案 B

4. 在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 ( ) B.等腰三角形 C.直角

A.等腰直角三角形 三角形 D.等边三角形 答案 B

sin B 5. 在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 sin C 的值为

( A. 8 5 答案 D


5 B. 8

C. 5 3

3 D. 5

6.△ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ),则∠C 的度数是 ( A.60° D.30° 答案 B ) B.45°或 135° C.120°

4

4

4

2

2

2

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 a=1,b= 7 ,c= 3 ,则 B= 答案
5? 6

.

8. 在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积 为 答案
10 3

.?

9. (2008·浙江理,13)在△ABC 中,角 A、B、C 所 对的边分别为 a、b、c.若( 3 b-c)cosA=acosC,则 cosA= 答案
3 3

.

10. 在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= c. 解 两解. 由正弦定理得 sinA= a sin B = b 则 A 为 60°或 120°.

2

,B=45°,求 A、C 和

∵B=45°<90°且 asinB<b<a,∴△ABC 有

3 sin 45 ? 2

=

3 2

,

①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,
sin c= bsin BC =

2 sin 75 ? sin 45 ?

=

2 sin( 45 ? ? 30 ? ) sin 45 ?

=

6 ? 2

2

.

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°,

sin c= bsin BC =

2 sin 15 ? sin 45 ?

=

2 sin( 45 ? ? 30 ? ) sin 45 ?

=

6 ? 2

2

.
6 ? 2 2

故 在 △ ABC 中 , A=60 ° ,C=75 ° ,c= A=120°,C=15°,c=
6 ? 2 2



.

11. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,
cos B 且 cos C =- 2 ab? c .

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 的面积. 解 cosC= a
2

13

,a+c=4,求△ABC

( 1 ) 由 余 弦 定 理 知 : cosB=
?b ?c
2 2

a ? c ?b
2 2

2

2 ac



2 ab

.
2

cos B 将上式代入 cos C =- 2 ab? c 得: a

? c ?b
2

2

2 ac
2

·a
2 2

2 ab
2

?b ?c
2

2

=- 2 a b? c

整理得:a +c -b =-ac∴cosB= a

2

2

2

? c ?b 2 ac

ac = ? ac =- 12 2

∵B 为三角形的内角,∴B= 2 ? . 3 (2)将 b=
2 2
13

,a+c=4,B= 2 ? 代入 b =a +c -2accosB, 3

2

2

2

得 b =(a+c) -2ac-2accosB ∴b =16-2ac ?? 1 ? 1 ?? ,∴ac=3.∴S△ABC= 12 acsinB= 3 4 3 . 2
? ?

2

12. 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B) , 判断三角形的形状. 解 方法一 已知等式可化为 a [sin(A-B)-sin
2 2 2 2 2

( A+B )] =b [ -sin ( A+B ) -sin(A-B) ] ∴ 2a cosAsinB=2b cosBsinA 由 正 弦 定 理 可 知 上 式 可 化 为 : sin AcosAsinB=sin BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B, 由 0<2A,2B<2 ? 得 2A=2B 或 2A= ? -2B,即 A=B 或 A= ?2 -B,∴△ABC 为等 腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得 2a cosAsinB=2b sinAcosB
2
2

2

2

2

2

2

2

2

由正、余弦定理,可得 a b b a (b +c -a )=b (a +c -b )
2 2 2 2 2 2 2 2

? c ? a
2

2

2 bc

= baa

2

2

? c ?b
2

2

2 ac



即(a -b )(a +b -c )=0∴a=b 或 a +b =c ∴△ABC 为等 腰或直角三角形. 13. 已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b) -c ,求 tanC 的值. 解
2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

依题意得 absinC=a +b -c +2ab,由余弦定理
2 2

2

2

2

知,a +b -c =2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC),即 sinC=2+2cosC,所以

2sin C cos C =4cos 2 2
C

2C
2

化简得:tan 2 =2.从而 tanC=

2 tan 1 ? tan

C 2 C 2 2

=- 4 . 3

14. 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、 若 a、 c 成等差数列, 2cos2B-8cosB+5=0, c, b、 且 求角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 解
2

方 法 一

∵ 2cos2B-8cosB+5=0, ∴

2(2cos B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 12 或 cosB= 3 (舍去).∴cosB= 12 .∵0<B 2 < ? ,∴B= ?3 . ∵ a , b , c 成 等 差 数 列 , ∴ a+c=2b. ∴ cosB=
a ? c ?b
2 2 2

2

2 ac

=

a ?c ?(
2 2

a?c 2

)

2

2 ac

= 12 ,

化简得 a +c -2ac=0,解得 a=c.又∵B= ?3 ,∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos B-1)
2

2

2

-8cosB+5=0. ∴4cos B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 12 或 cosB= 3 (舍去).∴cosB= 12 ,∵0<B 2
2

< ? ,∴B= ?3 , ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin ?3 = 3 . ∴ sinA+sin
? 2? ? ? A? ? 3 ? ?

=

3





sinA+sin 23? cos A -cos 23? sin A = 3 . 化简得 3 sinA+ 2
3 2

cosA= 3 ,∴sin ?? A ? ?6 ?? =1.
? ?

∴A+ ?6 = ?2 ,∴A= ?3 ,∴C= ?3 ,∴△ABC 为等边三角形. 15. (2008·广东五校联考)在△ABC 中,角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c= 7 ,且 4sin
2 A? B
2

-cos2C= 72 .
2 A? B
2

(1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)∵A+B+C=180°,由 4sin 4cos C -cos2C= 72 , 2 ∴ 4 ·
2
1 ? cos C 2

-cos2C= 72 ,得

2

-(2cos C-1)=

2

7 2

, 整 理 , 得

4cos C-4cosC+1=0,解得 cosC= 12 , ∵0°<C<180°,∴C=60°. (2)由余弦定理得 c =a +b -2abcosC,即 7=a +b -ab, ∴7=(a+b) -3ab, 由 条 件 a+b=5, 得 7=25-3ab,ab=6, ∴ S
△ 2 2 2 2 2 2

ABC

= 12 absinC= 12 ×6× 第二节

3 2

= 3 23 .

正弦定理、余弦定理的应用

1.从 A 处望 B 处的仰角为 ? , B 处望 A 处的俯角为 ? , 从 则 ? 、 ? 的关系为 A. ? > ? B. ? = ? ( C. ? + ? =90° )

D. ? + ? =180° 答案 B

2.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°,则 A、C 两地的距离为 ( ) B.
3

A.10 km D.10
7

km

C. 10

5

km

km D

答案

3. 为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°,测得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是 ( A. 20 (1 ?
3 3 )


3)

m

B. 20 (1 ?

3 2

)

m

C. 20 (1 ?

m

D.30 m

答案

A

4.如图,位于港口 O 正东 20 海 里 B 处的渔船回港时出现故 障.位于港口南偏西 30° ,距港 口 10 海里 C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以 30 海里/小时的速度沿直线 CB 去营救渔船, 则拖轮到达 B 处需要________小时. 解 析 : 由 余 弦 定 理 得 BC = 202+102-2×10×20cos120° = 7 10 7, 从而需 小时到达 B 处. 答案: 3 7 3 5.(2010 年南京市高中联考)如图,海 岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于 灯塔 A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于 灯塔 A 的北偏西 75° ,与 A 相距 3 2海里的 D 处;乙 船位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处.则两艘轮船之间的距离为________海里. 解析:连结 AC.则 AC=5,在△ACD 中,AD= 3 2, AC=5, ∠DAC=45° 由余弦定理得 CD= 13. , 答案: 13 6.(2010 年宁波十校联考)一船向正北方向匀速行驶, 看见正西方向两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在 同一直线上,继续航行半小时后,看 见其中一座灯塔在南偏西 60° 方向上, 另一灯塔在南偏西 75° 方向上, 则该船 的速度是________海里/小时.

解析:假设该船从 A 处航行到了 D 处,两座灯 塔分别在 B、C 位置,如图,设 AD 长为 x,则 AB= xtan60° ,AC=xtan75° ,所以 BC=xtan75° -xtan60° 5 =10,解得 x=5,所以该船的速度 v= =10(海里/ 0.5 小时).答案:10 7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心 角为 120° 的扇形 AOB,C 是该小区 的一个出入口, 且小区里有一条平行 于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟, D 沿着 DC 走到 C 用了 3 从 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形 的半径为________米. 解析:连结 OC,在三角形 OCD 中,OD=100, CD=150, ∠CDO=60° 由余弦定理可得 OC2=1002 , 1 +1502 -2×100×150× =17500,∴OC=50 7.答 2 案:50 7 8.(原创题)在 Rt△ABC 中,斜边 AB=2,内切圆的半 径为 r,则 r 的最大值为________. a+b-c a+b 解 析 : ∵r = = - 1 , ∵4 = a2 + 2 2 2 (a+b) b2≥ , ∴(a+b)2≤8, ∴a+b≤2 2, ∴r≤ 2- 2 1.答案: 2-1 9.(2009 年高考辽宁卷)如图, A、 B、C、D 都在同一个与水平面 垂直的平面内,B、D 为两岛上 的两座灯塔的塔顶,测量船于

水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° 、30° , 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC= 0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离 相等, 然后求 B、 的距离(计算结果精确到 0.01 km, D 2≈1.414, 6≈2.449). 解:在△ACD 中,∠DAC=30° , ∠ADC=60° -∠DAC=30° , 所以 CD=AC=0.1.又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD= BA. AB AC 在△ABC 中, = ,所以 AB= sin∠BCA sin∠ABC ACsin60° 3 2+ 6 = . sin15° 20 3 2+ 6 同理,BD= ≈0.33(km), 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km. 第八章 数列 1.已知数列 ?a ? 满足条件 ( n ? 1 ) a ? ( n ? 1 )( a ? 1 ) ,且 a ? 6 ,设 b ? a ? n ,那么数列 ?a ? 的通项公式是
n n?1 n

2

n

n

n

an? 2n

2

? n

2、x= ab 是 a、x、b 成等比数列的( D ) 条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D. 既非充分又非必要 n 3、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a -1(a? R , a ? 0 ), 则数列{an} ( C )

A.一定是等差 B.一定是等比 C.或是等差或是 等比 D.既非等差又非等比 4、弹子跳棋共有 60 颗大小的球形弹子,现在棋盘上 将它叠成正四面体形球垛, 使剩下的弹子尽可能的 少,那么剩余的弹子有 ( B ) A. 0 颗 B.4 颗 C.5 颗 D.11 颗 5、某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于 2003 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元,为还清这笔贷 款, 该家长从 2004 年起每年的 8 月 20 号便去银行 偿还确定的金额,计划恰好在贷款的 m 年后还清, 若银行按年利息为 p 的复利计息(复利:即将一年 后的贷款利息也纳入本金计算新的利息) ,则该学 生家长每年的偿还金额是 ( D )
a

ap (1 ? p )

m ?1

ap (1 ? p )

m ?1

A.

m

B.
ap (1 ? p )
m m

(1 ? p )

m ?1

?1

C.

p

m

?1

D. (1 ? p ) ? 1 6、 已知 ?a ? 为等比数列,a ? 2 , q ? 3 , 又第 m 项至第 n 项 的和为 720 ( m ? n ) ,则 m ? 3 , n? 6 7 、 数 列 ?a ? 对 任 意 n ? N 都 满 足 a ? a ? a , 且 a ? 2, a ? 4, a ? 0 , 则a ? 8
n

1

王新敞
奎屯

新疆

*

2

n

n?2

n

n?4

3

7

n

王新敞
奎屯

新疆

11

8











f (x) ?

x

2 2

1? x
王新敞
奎屯 新疆







1 1 1 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( ) ? f ( 3 ) ? f ( ) ? f ( 4 ) ? f ( ) ? 2 3 4

7 2

9、一个项数为偶数的等比数列,首项是 1,且所有 奇数项之和是 85,所有偶数项之和是 170,则此数

列共有___8 _项 10 、 在 各 项 为 正 数 的 等 比 数 列 ?a ? 中 , 已 知 a ? a ? 11 a ? a ,且前 2 n 项的和等于它的前 2 n 项中偶 数项 之 和的 11 倍, 则 数 列 ?a ? 的通项 公 式 a ?
王新敞
奎屯 新疆

n

3

4

2

4

n

n

1 10
n?2
王新敞
奎屯 新疆

11 、 已 知 数 列
1 2 30
n

中 , a ? ? 60 , a ? a ? 3 , 那 么 | a | ? | a | ? ? ? | a | 的值为 765 。 12、等差数列 ?a ? 中, a ? 0 ,且 3 a ? 5 a ,则 { S } 中最大 S 项为 。 13、已知一个等差数列前五项的和是 120,后五项的 和是 180,又 各 项之和 是 360, 则此数 列共 有 12 项。 14、设 f ( x ) ? 1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项
?a n ?
1 n ?1 n 1 8 13 n 20

3 ?
x

3

和的公式的方法,可求得:
f ( ? 12 ) ? f ( ? 11 ) ? f ( ? 10 ) ? ? ? f ( 0 ) ? ? ? f (11 ) ? f (12 ) ? f (13 )
13 3 3
n ?1

的值为

15、 已知数列 ?a ? 的通项 a ? ( 2 n ? 1) ? 2 , n 项和为 S , 前 1 ? ( 2 n ? 1) 2 则S = 。 16 、 数 列 1 , 1 , 1 , 1 , ? 前 n 项 的 和 等 于
n

n

n

n

n

1 ? 2 2
2

2

? 4 3 ? 6 4
2

2

?8

3 4

?

2n ? 3 2 ( n ? 1)( n ? 2 )
n


1

17、已知数列 { a } 是首项为 a ,公差为 d (0 ? d ? 2 ? ) 的等 差 数 列 , 若 数 列 { co s a } 是 等 比 数 列 , 则 其 公 比 为 ( B )
n

A.
D.

1

B.

?1

C.

?1

2

18 、 已 知 在 数 列

?a n ?

中,

a 1 ? 1, a 2 n ? qa 2 n ? 1 , a 2 n ? 1 ? a 2 n

+d

( q 、 d ? R , q >0) . (1)若 q ? 2 , d ? ? 1, 求 a , a 并猜测 a ; (2)若 ?a ? 是等比数列,且 ?a ? 是等差数列,求 q , d 满足的条件. 解: (1)? a ? 1, a ? 2 , a ? a ? 1 ? 1, a ? 2 a ? 2 ,? 猜测 a ? 2 . (2) a ? qa a ? a + d qd , Rq喂 , 0 ) , a ? qa ? d . 由 得 ( 当 d ? 0 时,显然 a ? qa ,?a ? 是等比数 列. ? 当 d ? 0 时, 因为 a ? 1, 只有 a ? 1 时,a ? 才 是等比数列. 由 a ? qa ? d ,得 q ? d ? 1, 即 d ? 0 , q ? 0 ,或 q + d = 1. 由 a ? qa a ? a ? d 得 a ? qa ? qd ( n ? 2 ) . 当 q ? 1, a ? a ? d ( n ? 2 ) ,显然 ?a ? 是等差数列, 当 q ? 1 时, a ? qa ? q , 只有 a ? q 时, ?a ? 才是等差数列. 由 a ? q ( a ? d ) ,得 q ? d ? 1, 即 q ? 1, q ? d ? 1 . 综上所述: q + d = 1 .
3 4 2006 2 n ?1 2n 1 2 3 2 4 3 2006

2n

2 n ? 1,

2 n ?1

2n

2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

1

2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

2n

2 n ? 1,

2 n ?1

2n?2

2n

2n?2

2n

2n?2

2n

2

1

2n

2n

2n? 2

2n

19.已知一个等差数列的前 10 项和是 310,前 20 项 和是 1220,试求其前 n 项和。 解: 由题设:
? 10 a 1 ? 45 d ? 310 ? ? 20 a 1 ? 190 d ? 1220
? a1 ? 4 ? ? ?d ? 6

S 10 ? 310

S 20 ? 1220
n ( n ? 1) 2 ? 6 ? 3n

得:
2



S n ? 4n ?

? n

第九章 平面向量 1.已知三个向量 a=(cos ? ,sin ? ),b=(cos ? ,sin ? ),
1 1 2 2

c= (cos
2 3

?3

,sin ? ),满足 a ? b ? c ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为
3

?

2、 .下列命题: (1)若 a 与 b 为非零向量,且 a∥b 时,则 a—b 必与 a 或 b 中之一的方向相同; (2)若 e 为单位向量,且 a∥e,则 a=|a|e; 3 (3)a·a·a=|a| (4)若 a 与 b 共线,又 b 与 c 共线,则 a 与 c 必共线 (5)若平面内四个点 A、B、C、D 则必有 AC+BD=BC+AD 正确的命题个数为( D ) A、1 B、2 C、3 D、0 ? 3 、 若 o 为 平 行 四 边 形 ABCD 的 中 心 , A B =4 e? 1, ? ? ? ? B C ? 6 e , 则 3 e ? 2 e 等于( B ) ? ? ? A. A O B. B O C. C O ? D. D O ? ? ? ? ? 4、若 a ? ( 5 , ? 7 ), b ? ( ? 1, 2 ) ,且( a ? ? b ) ? b ,则实数 ? 的
2 2 1

值为______ 19 ______.
5

5、已知 | a |? | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 ? ,则 a ? b 在 a 上的投
3

影为 3 。 6、在直角坐标平面上,向量 OA ? ( 4 ,1) ,向量 OB ? ( 2 , ? 3 ) , 两向量在直线 l 上的正射影长度相等,则直线 l 的 1 3或 斜率为
2

7、设平面向量 a =(-2,1),b =(1, ? ),若 a 与 b 的夹角为钝 1 1 ( ?? , ? ) ? ( ? , 2 ) 角,则 ? 的取值范围是 。 2 2 8、 已知向量 OB .
? ( 2 , 0 ), OC ? ( 2 , 2 ), CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? )

,则向量

OA , OB

的夹角范围是
[

?
12

,

5? 12

]


?

9、 将函数 y ? 2 x 的图象按向量 a 平移后得到 y ? 2 x ? 6 的 图象,给出以下四个命题: ① a 的坐标可以是 ( ? 3 , 0 ) ; ② a 的坐标可以是 ( ? 3,0 ) 和 ( 0 ,6 ) ; ③ a 的坐标可以是 ( 0 , 6 ) ; ④ a 的坐标可以有无 数种情况。 上述说法正确的是 ①②③④ 。 10、已知 ? ABC 中,CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , S ? 15 , | a |? 3 , | b |? 5 ,则
? ? ? ?
? ABC

4

与 b 的夹角为 150 。 11、若△ABC 三边长 AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 等 ? 5 于 。 ? ? ? ? ? ? ? 12.已知 | a |? 4 , |b ?| 3 ,a b, 的夹角为 120°,且 c ? a ? 2 b , ? ? ? ? ? ? ? d ? 2 a ? k b ,当 c ? d 时,k= . 13.已知 A(3,y) B( ? 5 ,2) C(6, ? 9 )三点共 , , 线,则 y=_________. ? ? 14. 若 a =(1,2) b =( ? 3 ,2) k 为何值时: , , ? ? ? ? ? ? ? ? (1) a + b 与 a -3 b 垂直; k (2) a + b 与 a -3 b 平行? k
a
0

15. 已知| a |=4,| b |=3, a -3 b )(2 a + b )=61,求: (2 · ? ? ? ? (i) a 与 b 的夹角θ ; (ii) | a ? 2 b | .

?

?

?

?

?

?

16. 已知 ? A B C 的顶点坐标分别为 A(1,2) ,B(2,3) ,C (-2,5) ,求 co s A .

17. 设 a =(sinx-1,cosx-1) b =( ,
?

?

?

2 2



2 2

). (1)
? ?

若 a 为单位向量,求 x 的值; (2)设 f(x)= a · b , 则函数 y=f(x)的图象是由 y=sinx 的图象如何平移 得到?

18.已知 a ? (c o s 3 x , sin 3 x ),
2 2

?

? x x b ? (c o s , ? sin ) 2 2

,且 x ? [0 , ? ] .

(i)求 最小值.

? ? a ?b



? ? a?b

;

(ii)求函数

2 ? ? ? ? f ( x ) ? a ? b ? a ? b sin x



第十章 算法 第一节 程序框图 A组

1.(2009 年高考福建卷改编)阅读如图 所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果是________. 解析:试将程序分步运行: 1 第一循环:S= =-1,n=2; 1-2 1 1 第二循环: S= = , n=3; 1-(-1) 2

=2,n=4.答案:4 1 1- 2 2.(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如果执行如图的 程序框图,输入 x=-2,h=0.5,那么输出的各个数 的和等于________. 解析:由框图可知,当 x=-2 时,y=0; 当 x=-1.5 时,y=0;当 x=-1 时,y=0; 当 x=-0.5 时,y=0;当 x=0 时,y=0; 当 x=0.5 时,y=0.5;当 x=1 时,y=1; 当 x=1.5 时,y=1;当 x=2 时,y=1. ∴输出的各数之和为 3.5. 答案:3.5 3.(2009 年高考山东卷改编)执行下面的程序框图, 输出的 T=________.

第三循环:S=

1

第2题 解析:据框图依次为:

第3题

?S=5, ? ?n=2, ?T=2, ?

?S=10, ? ?n=4, ?T=6, ?

?S=15, ? ?n=6, ?T=12, ?

?S=20, ? ?n=8, ?T=20, ?

?S=25, ? ?n=10, ?T=30, ?
故此时应输出 T=30.答案:30 4.(2010 年南京市高三调研)阅读下面的流程图,若 输入 a=6,b=1,则输出的结果是________.

解析:a=6,b=1,则 x=5>2,再次进入循环 得 a=4,b=6,此时 x=2,退出循环.故输出 2.答 案:2 5.(2010 年苏、锡、常、镇四市高三调研)阅读如图 所示的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 的值是多少?

第5题 第6题 解析:由循环结构可得 S=100+99+?+3+2 =5049. 故输出的变量 S 的值为 5049.答案:5049 6.(原创题)已知如图所示的程序框图(未完成), 设当箭头 a 指向①时,输出的结果为 S=m,当箭头 a 指向②时,输出的结果为 S=n,求 m+n 的值. 解:(1)当箭头 a 指向①时,输出 S 和 i 的结果如 下: S 0+1 0+2 0+3 0+4 0+5 i 2 3 4 5 6 ∴S=m=5. (2)当箭头 a 指向②时,输出 S 和 i 的结果如下: S 0+1 0+1+2 0+1+2+3 0+1+2+3 +4 i 2 3 4 5 S 0+1+2+3+4+5 i 6 ∴S=n=1+2+3+4+5=15,于是 m+n=20. B组

1.(2010 年温州调研)如图是一算法的程序框图,若 此程序运行结果为 s=720,则在判断框中应填入 的关于 k 的判断条件是__________. 解析:s=10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8,判断条件 为“是”时进入循环体,7≥8 判断条件为“否”, 跳出循环,输出 s.答案:k≥8

(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) 2.若 R=8,则下列流程图的运行结果为___4___. 3.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等,则 x 的可能值的个数为 ________. 解析:x≤2 时,x2=x,∴x=0 或 x=1;2<x≤5 时,

2x-3=x,∴x=3; 1 x>5 时, =x,∴x=-1 或 x=1(都舍去).所以共有 x 3 个可取值.答案:3 4.如图,该程序运行后输出的结果为________. 解析:A=1≤9,“是”,则 S=0+1,A 变为 2; A=2≤9,“是”,则 S=0+1+2,A 变为 3;?;A =9≤9,“是”,则 S=0+1+?+9,A 变为 10;A =10≤9,“否”,则输出 S=45. 答案:45 5.已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出 的 b 值为 16,则循环体的判断框内①处应填____. 解析:a=1 时进入循环,此时 b=21=2;a=2 时再进入循环,此时 b=22=4;a=3 时再进入循环, 此时 b=24=16,∴a=4 时应跳出循环,∴循环满足 的条件为 a≤3,∴填 3. 答案:3

(第 4 题) (第 5 题) (第 6 题) 6. 按如图所示的程序框图运行后, 输出的结果是 63, 则判断框中的整数 M 的值是________.

解析:A=1≤M,“是”,则 S=2×1+1=3, A 变为 2; A=2≤M,“是”,则 S=2×3+1=7,A 变为 3; A=3≤M,“是”,则 S=2×7+1=15,A 变为 4; A=4≤M,“是”,则 S=2×15+1=31,A 变 为 5; A=5≤M,“是”,则 S=2×31+1=63,A 变 为 6; A=6≤M,“否”,则跳出循环,故填 5. 7.(2009 年高考广东卷改编)某篮球队 6 名主力队员 在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所 示: 1 2 3 4 5 6 队员 i a6 三分球个数 a1 a2 a3 a4 a5 下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的 三分球总数的程序框图,则图中判断框应填 ______,输出的 s=______. ( 注 : 框 图 中 的 赋 值 符 号 “←” 也 可 以 写 成 “=”或“:=”)

( 第 7 题 ) (第 8 题) 解析: 由题意该程序框图实际上是求该 6 名队员 在最近三场比赛中投进三分球总数,故判断框应填 i≤6 或 i<7,输出 s 为 a1+a2+a3+a4+a5+a6. 8. (2009 年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示, 则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是________. 解析:由程序框图的条件结构知:x>1 时,y=x -2;x≤1 时,y=2x. ?2x (x≤1), ? 故 y=? ?x-2 (x>1). ? 9.某流程如图所示,现输入如下四个函数 1 ①f(x)=x2;②f(x)= ;③f(x)=lnx;④f(x)=sinx. x 则输入函数与输出函数为同一函数的是 _____________. 解析: 由程序框图易知只需函数为奇函数且存在 零点时,输出与输入函数必是同一函数,分析上述四 个函数,易知只有 y=sinx 满足条件.答案:④

( 第 9 题 ) (第 10 题) 10. 如图所示的算法中, a=tanθ, 令 b=sinθ, c=cosθ, ? ? π ? ? 3π π π ? ?θ?- <θ< ,θ≠0, , ?中,给 θ 取 若在集合 4 4 2 ? ? ? 4 ? ? 一个值,输出的结果是 sinθ,求 θ 值所在的范围. π 解: 由框图知, 要输出 a、 c 中最大的, θ∈( , b、 当 2 3 π)时,sinθ 最大. 4 π 3 ∴θ 值所在的范围为( , π). 2 4 1 1 1 1 11. 画出计算 1+ + +?+ + 值的一个算法的流 2 3 9 10 程图.

(第 11 题) (第 12 题) 12.到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万元)时, 银行要收取一定的手续费. 汇款额不超过 100 元, 收取 1 元手续费;超过 100 元但不超过 5000 元, 按汇款额的 1%收取;超过 5000 元,一律收取 50 元手续费.设计算法求汇款额为 x 元时,银行收 取的手续费 y 元,只画出流程图. 解:要计算手续费,首先要建立汇款数与手续费 之 间 的 函 数 关 系 式 , 依 题 意 知 y = (0<x≤100), ?1 ? ?x×0.01 (100<x≤5000), ?50 (5000<x≤1000000). ? 流程图如上图所示. 程序语句 A组 1.(2010 年徐州调研)如图,给出一个算法的伪代码, 第二节

则 f(-3)+f(2)=____-8____. Input x If x<0 Then y←(x +1)(x-1) Else y←(x -1)
2

T←1 I←3 While I<50 T←T +I I←I+ 2 End While Print T 示的 (第 (第 运行

End If (第 1 题) 2 题 ) Print y 3 题) End 2.输入 x=5, 下面 的 程 序之 后得 到 的 y 等 于 ___16_____. 3.(2010 年泰州质检)根据如图所 Input x If x≤0

Then f(x)←4x

伪代码,可知输出的结果 T 为 ___625_____. 4. (2009 年高考安徽卷改编)程序框图 (即算法流程图)如图所示, 其输出结果 是___127_____. Input n

Else S←0 f(x)←2x End Print If f(x)

I←1

While_______ _ S←S+I I←I+1 (第 4 题) ( 第 5 题 ) (第 6 题) Wend 5.(原创题)编写 程序求 S=1+2 +3+?+n 的和 Print “S (n 由键盘输入), 程序如图,则横 线 上 应 填 _____ =”;S I≤n ___. 6.(2009 年高考 江苏卷改编)下 End 图是一个算法的 流程图,求最后 输出的 W 的值. 解:第一次:T=1,S=12-0=1; 第二次:T=3,S=32-1=8; 第三次:T=5,S=52-8=17. 此时满足 S≥10. 所以 W=S+T=17+5=22. B组 n←5 S←0 While

1.右面程序执行后输出的结果是 ___0_____. 2.下列程序的功能是:判断任意输入的 数 x 是否是正数,若是,输出它的平方 值;若不是,输出它的相反数.则填入 的条件应该是_____ x≤0___. x←Input(“x =”) If________

S<15

S←S+n

n←n-1 End While Print n

y←-x; Else y←x2 End If Print y

3.程序如下: a←Input( “a=”) b←Input( “b=”)

c←Input(“ c=”) a←b b←c c←a Print a,

b,c 若输入 10,20,30,则输出结果为____20,30,20____. 4.(2010 年南通调研)程序如下: t ←1 i ←2 W hile i≤4 t ←t×i i ←i+1 End While Print t 以上程序输出的结果是____24____. 5.有下面算法: p←1

For k From 1 To 10 Step 3 p←p+2×k-6 End For Print p 则运行后输出的结果是____21____. 6.(2010 年南京第一次调研)根据如图所示的伪 代码,可知输出的结果 I 为___5_____. S←1 I←1 While S<5 S←S× I+1 I I←I+1 End While Print I

1 1 1 7. 现欲求 1+ + +?+ 的和(其中 n 的值 3 5 2n-1 由键盘输入),已给出了其程序框图,请将其补充完 整并设计出程序. 1 解:①i←i+1 ②S←S+ 2i-1 程序如下: Input S←0 i←0 While i<n n

i←i+1 S←S+ 1 2i-1 Wend Print End S

8.已知函数 y=x2+2x(x∈[-10,10],x∈Z),编写程 序,求该函数的最大值.

第十一章 概率 第一节 古典概型 A组 1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属 次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概 率分别是 5%和 3%,则抽验一只是正品(甲级品)的概 率为________. 解析:记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级 品为事件 B,是丙级品为事件 C,这三个事件彼此互 斥,因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为 P(A)=1 -P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.答案:0.92 2.某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的 概率分别是 0.20,0.30,0.10,则此射手在一次射击中

不够 8 环的概率为________. 解析: 射中 8 环及以上的概率为 0.20+0.30+0.10 =0.60,故不够 8 环的概率为 1-0.60=0.40.答案: 0.40 3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选 中的概率为________. 解析:从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的 所有可能为:甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁, 满足题意的有:甲乙、甲丙、甲丁,所以概率为 P= 3 1 1 = .答案: 6 2 2 4.(2010 年佛山第二次质检)从一个信箱中任取一封 信,记一封信的重量为 ξ(单位:克),如果 P(ξ<10)= 0.3,P(10≤ξ≤30)=0.4,则 P(ξ>30)=________. 解析:P(ξ>30)=1-P(ξ<10)-P(10≤ξ≤30)=1 -0.3-0.4=0.3.答案:0.3 5.某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相 同的,有 3 个这样的电子元件,则出现至少有一个接 通的概率为________. 解析:设电子元件接通记为 1,没有接通记为 0. 又设 A 表示“3 个电子元件至少有一个接通”,显然 A 表示“3 个电子元件都没有接通”,Ω 表示“3 个 电子元件的状态”,则 Ω={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), (1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,1)(0,0,0)}.Ω 由 8 个基本事件组 成, 而且这些基本事件的出现是等可 能的, A ={(0,0,0)},事件 A 由 1 个

1 基本事件组成,因此 P( A )= ,∵P(A)+P( A )=1, 8 1 7 7 ∴P(A)=1-P( A )=1- = .答案: 8 8 8 6.(2010 年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、 乒乓球队各有 10 名队员,某些队员不止参加了一支 球队, 具体情况如图所示, 现从中随机抽取一名队员, 求: (1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. 解:从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员, (1)记“随机抽取一名队员, 该队员只属于一支球 3+5+4 3 队”为事件 A,则 P(A)= = .故随机抽取一 20 5 3 名队员,该队员只属于一支球队的概率为 . 5 (2)记“随机抽取一名队员, 该队员最多属于两支 2 9 球队”为事件 B,则 P(B)=1-P( B )=1- = . 20 10 故随机抽取一名队员, 该队员最多属于两支球队 9 的概率为 . 10 B组 1.(2009 年高考安徽卷)从长度分别为 2、3、4、5 的 四条线段中任意取出三条, 则以这三条线段为边可以 构成三角形的概率是________. 解析:从四条线段中任取三条有 4 种取法: (2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成三角形 的取法有 3 种:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故所求的概

3 率为 . 4 答案: 3 4

1 2.甲射手击中靶心的概率为 ,乙射手击中靶心的概 3 1 率为 ,甲、乙两人各射击一次,那么,甲、乙不全 2 击中靶心的概率为________. 1 1 5 5 解析:P=1- × = .答案: 3 2 6 6 3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球, 从中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.42,摸出白球 的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是________. 解析:P=1-0.42-0.28=0.30.答案:0.30 4.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人 中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ________. 解析:(甲送给丙,乙送给丁),(甲送给丁,乙送 给丙),(甲、乙都送给丙),(甲、乙都送给丁)共四种 情况, 其中甲、 乙将贺年卡送给同一人的情况有两种. 1 答案: 2 5.(2008 年高考江苏卷)若将一颗质地均匀的骰子(一 种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先 后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是 ___. 解析: 基本事件共 6×6 个, 点数和为 4 的有(1,3)、

3 1 1 = .答案: 12 6×6 12 6.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每 个玩具的各面上分别写有数字 1、2、3、4,把两个 玩具各抛掷一次,斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为________. 解析:由于正四面体各面都完全相同,故每个数 字向上都是等可能的, 5 整除的可能为(2,3), 被 (3,2), 4 (1,4), (4,1)共 4 种, 而总共有 4×4=16(种), P= 故 16 1 1 = .答案: 4 4 7.有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组, 第一组有 1 个数为 1,第二组有 2 个数为 3、5,第三 组有 3 个数为 7、9、11,?,依此类推,则从第十组 中随机抽取一个数恰为 3 的倍数的概率为________. 解析:由已知可得前九组共有(1+2+3+?+9) =45(个)奇数, 第十组共有 10 个奇数且依次构成公差 为 2 的等差数列,且第一个奇数为 a1=1+2×(46- 1) = 91 , 所 以 , 第 十 组 的 奇 数 为 91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这十个数字, 其中 恰为 3 的倍数的数有 93,99,105 三个,故所求概率为 3 3 P= .答案: 10 10 8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分 别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点 数分别为 x、y,则满足 log2xy=1 的概率为________. 解析:由 log2xy=1 得 y=2x,满足条件的 x、y 有 3 对,而骰子朝上的点数 x、y 共有 6×6=36,∴ (2,2)、(3,1)共 3 个.故 P=

3 1 1 = .答案: 36 12 12 9.(2010 年江苏宿迁模拟)将一枚骰子抛掷两次,若 先后出现的点数分别为 b、c 则方程 x2+bx+c=0 有 实根的概率为____________. 解析:一枚骰子掷两次,其基本事件总数为 36, 方程有实根的充要条件为 b2≥4c. b 1 2 3 4 5 6 2 使 b ≥4c 的 基本事件个 0 1 2 4 6 6 数 由此可见,使方程有实根的基本事件个数为 1+ 19 2+4+6+6=19,于是方程有实根的概率为 P= . 36 19 答案: 36 10.如图,四边形 ABCD 被两条对角 线分成四个小三角形,若每个小三角 形用 4 种不同颜色中的任一种涂染, 求出现相邻三角形均不同色的概率. 解:若不考虑相邻三角形不同色的要求,则有 4 4 =256(种)涂法, 下面求相邻三角形不同色的涂法种 数:①若△AOB 与△COD 同色,它们共有 4 种涂法, 对每一种涂法,△BOC 与△AOD 各有 3 种涂法,所 以此时共有 4×3×3=36(种)涂法.②若△AOB 与 △COD 不同色,它们共有 4×3=12(种)涂法,对每 一种涂法△BOC 与△AOD 各有 2 种涂法,所以此时 有 4×3×2×2=48(种)涂法. 故相邻三角形均不同色 概率为

36+48 21 = . 256 64 11.在数学考试中,小明的成绩在 90 分及以上的概 率是 0.18,在 80~89 分的概率是 0.51,在 70~79 分 的概率是 0.15,在 60~69 分的概率是 0.09,计算小 明在数学考试中取得 80 分及以上成绩的概率和小明 考试不及格(低于 60 分)的概率. 解:设小明的数学考试成绩在 90 分及以上,在 80~89 分, 70~79 分, 60~69 分分别为事件 B, 在 在 C,D,E,这 4 个事件是彼此互斥的. 根据互斥事件的加法公式,小明的考试成绩在 80 分及以上的概率为 P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+ 0.51=0.69. 小明考试及格的概率,即成绩在 60 分及以上的 概率为 P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E) =0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事 件,所以小明考试不及格的概率为 1-P(B+C+D+ E)=1-0.93=0.07. 12.盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有 放回地从中任取 2 次,每次只取 1 只,试求下列事件 的概率:(1)取到的 2 只都是次品;(2)取到的 2 只中 正品、 次品各 1 只; (3)取到的 2 只中至少有 1 只正品. 解:从 6 只灯泡中有放回地任取 2 次,每次只取 1 只,共有 62=36(种)不同取法. (1)取到的 2 只都是次品的情况有 22=4(种),因 4 1 而所求概率为 P= = . 36 9 的概率 P=

(2)由于取到的 2 只中正品、 次品各 1 只有 2 种可 能:第一次取到正品,第二次取到次品;第一次取到 次品,第二次取到正品,所以所求的概率为 4×2 2×4 4 P= + = . 36 36 9 (3)由于“取到的 2 只中至少有 1 只正品”是事件 “取到的 2 只都是次品”的对立事件, 因而所求的概 1 8 率为 P=1- = . 9 9 第二节 概率的应用 A组 1.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个 小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随 机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是________. 解析: 当取出的小球标注的数字之和为 3 时只有 {1,2}一种取法;当取出的小球标注的数字之和为 6 时,有{1,5},{2,4}两种取法,所以符合条件的取法 种数为 3 种,而所有的取法有 10 种,故所求的概率 3 3 为 .答案: 10 10 → → 2.已知 k∈Z,AB=(k,1),AC=(2,4),若|A→|≤4, B 则△ABC 是直角三角形的概率为________. 解析:|A→|≤4,k2+1≤16,k2≤15,k=-3, B -2,-1,0,1,2,3. B→=(2-k,3).若 A→· →=-k2+2k+3=0, C B BC 则 k=-1,k=3;若 B→· →=0,则 k=8(舍);若 C AC

3 3 A→· →=0,则 k=-2.故 P= .答案: B AC 7 7 3.(2010 年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字 1,2,4,7 的 4 张卡片,乙盒子里装有分别标有数字 1,4 的 2 张卡片. 若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片, 则 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是________. 解析:数字之和为奇数的有(1,4),(2,1),(4,1), (7,4)共 4 种情形,而从两个盒子中各抽取一张卡片共 1 1 有 8 种情况,所以所求概率为 .答案: 2 2 4. (2009 年高考江苏卷)现有 5 根竹竿, 它们的长度(单 位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽 取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为 ________. 解析:在 5 个长度中一次随机抽取 2 个,则有 (2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7), (2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共 10 种情况.满足长度恰好相差 0.3 m 的基本事件有 (2.5,2.8),(2.6,2.9),共 2 种情况,所以它们的长度恰 2 1 1 好相差 0.3 m 的概率为 P= = .答案: 10 5 5 5.(原创题)连掷两次骰子分别得到点数 m,n,向量 a=(m,n),b=(-1,1),若在△ABC 中,A→与 a 同 B 向 , C → 与 b 反 向 , 则 ∠ABC 是 钝 角 的 概 率 是 B ________. 解析: 要使∠ABC 是钝角, 必须满足 A→· →<0, B CB 即 a· b=n-m>0.连掷两次骰子所得点数 m, 共有 36 n

5 . 12 6.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个, 除颜色外其他特征完全相同,已知蓝色球 3 个.若从 1 袋子中随机取出 1 个球,取到红色球的概率是 . 6 (1)求红色球的个数; (2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将 1 号红色球,1 号白色球,2 号蓝色球和 3 号蓝色球这 四个球装入另一个袋子中, 甲乙两人先后从这个袋子 中各取一个球(甲先取,取出的球不放回),求甲取出 的球的编号比乙大的概率. x 1 解:(1)设红色球有 x 个,依题意得 = ,解得 24 6 x=4,∴红色球有 4 个. (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A, 所有的基本事件有(红 1,白 1),(红 1,蓝 2),(红 1,蓝 3),(白 1,红 1),(白 1,蓝 2),(白 1,蓝 3),(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 2,蓝 3),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 12 个.事 件 A 包含的基本事件有(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1), (蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 5 个, 5 所以 P(A)= . 12 B组 1.(2009 年高考浙江卷)有 20 张卡片,每张卡片上分 别标有两个连续的自然数 k, k+1, 其中 k=0,1,2, ?, 19.从这 20 张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两 个数的各位数字之和(例如: 若取到标有 9,10 的卡片, 种情形,其中 15 种满足条件,故所求概率是

则卡片上两个数的各位数字之和为 9+1+0=10)不 小于 14”为 A,则 P(A)=________. 解析:对于大于 14 的情况通过列举可得有 5 种 情况: (7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19),而基本 1 事件有 20 种,因此 P(A)= . 4 1 答案: 4 2.用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼 成若干图形, 则按此规律第 100 个图形中有白色地砖 ________块;现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形 中,则豆子落在白色地砖上的概率是________.

解析:白色地砖构成等差数列:8,13,18,?,5n +3,? ∴an=5n+3,a100=503,第 100 个图形中有地 503 砖 503+100=603,故所求概率 P= .答案:503 603 503 603 3.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面上的一个点 P(a, b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件 Cn 的概率最大,则 n 的 所有可能值为________. 解析:分别从 A 和 B 中各取 1 个数,一共有 6

种等可能的取法,点 P(a,b)恰好落在直线 x+y=2 上的取法只有 1 种:(1,1);恰好落在直线 x+y=3 上 的取法有 2 种:(1,2),(2,1);恰好落在直线 x+y=4 上的取法也有 2 种:(1,3),(2,2);恰好落在直线 x+y =5 上的取法只有 1 种:(2,3),故事件 Cn 的概率分别 1 1 1 1 为 , , , (n=2,3,4,5),故当 n=3 或 4 时概率最 6 3 3 6 大.答案:3 和 4 4.先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完 全相同的球中,有放回地随机抽取 2 个球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________. 解析:基本事件共有 4×4=16 个,其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有:(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1), 10 5 5 共 10 种,所以所求概率为 = .答案: 16 8 8 5.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第 一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b,向量 m=(a,b),n=(1,-2),则向量 m 与向量 n 垂直的 概率是________. 解析:显然 m· n=a-2b=0,所有可能的结果为 (a,b)=(2,1)、(4,2)、(6,3).基本事件 1 1 总数为 36,则概率为 .答案: 12 12 6.(2010 年南京高三调研)如图, 将一个 体积为 27 cm3 的正方体木块表面涂上 蓝色,然后锯成体积为 1 cm3 小正方体,从中任取一 块,则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是 . 解析: 据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它

们是大正方体的各条棱的中点时满足条件. 正方体共 12 条棱,所以两面涂色的小正方体有 12 个,而所有 12 4 小正方体有 27 个,所以,所求的概率为 P= = . 27 9 4 答案: 9 7.集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任 取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n, 则所取两数 m>n 的概率是________. 解析:基本事件总数为 25 个.m=2 时,n=1; m=4 时,n=1,3;m=6 时,n=1,3,5;m=8 时,n =1,3,5,7;m=10 时,n=1,3,5,7,9;共 15 个.故 P 15 = =0.6.答案:0.6 25 8.集合 A={(x,y)|y≥|x-1|},集 合 B={(x,y)|y≤-x+5}.先后掷 两颗骰子,设掷第一颗骰子得点数 记作 a,掷第二颗骰子得点数记作 b,则(a,b)∈A∩B 的概率等于 . 解析:如图:满足(a,b)∈(A∩B)的(a,b)值共 有 8 个,(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3), 8 2 2 (3,2).∴P= = .答案: 9 6×6 9 9.(2010 年江苏泰兴模拟)已知 |x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x, y),则当 x,y∈Z 时,P 满足(x- 2)2 + (y - 2)2≤4 的 概 率 为 ________. 解析:由|x|≤2,|y|≤2,x、

y∈Z,则基本事件总数为 n=25,P 满足(x-2)2+(y -2)2≤4,∴满足条件的整点有(0,2),(1,2),(2,2), 6 6 (1,1),(2,1),(2,0)6 个,故 P= .答案: 25 25 10.(2010 年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰子 (均匀的正方体,六个面上分别为 1,2,3,4,5,6 点),所 得点数分别为 x,y. (1)求 x<y 的概率;(2)求 5<x+y<10 的概率. 解: 记基本事件为(x, 则有(1,1), y), (1,2), (1,3), (1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6),共 36 个基本事件. 其 中 满 足 x<y 的 基 本 事 件 有 (1,2) , (1,3) , (1,4)(1,5)(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个. 满足 5<x+y<10 的基本事件有(1,5), (1,6), (2,4), (2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2), (6,3),共 20 个. 15 5 (1)x<y 的概率 P(x<y)= = ; 36 12 20 5 (2)5<x+y<10 的概率 P(5<x+y<10)= = . 36 9 11.晚会上,主持人面前放着 A、B 两个箱子,每箱 均装有 3 个完全相同的球, 各箱的 3 个球分别标有号 码 1,2,3.现主持人从 A、B 两箱中各摸出一球. (1)若用(x,y)分别表示从 A、B 两箱中摸出的球

的号码,请写出数对(x,y)的所有情形,并回答一共 有多少种; (2)求所摸出的两球号码之和为 5 的概率; (3)请你猜这两球的号码之和, 猜中有奖. 猜什么 数获奖的可能性最大?说明理由. 解: (1)数对(x, y)的所有情形为(1,1), (1,2), (1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共 9 种. (2)记“所摸出的两球号码之和为 5”为事件 A, 则事件 A 包含的基本情形有(2,3),(3,2),共 2 种,所 2 以 P(A)= . 9 (3)记“所摸出的两球号码之和为 i”为事件 Ai(i =2,3,4,5,6), 由(1)可知事件 A2 的基本结果为 1 种,事件 A3 的 基本结果为 2 种,事件 A4 的基本结果为 3 种,事件 A5 的基本结果为 2 种,事件 A6 的基本结果为 1 种, 1 2 3 2 所以 P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= ,P(A5)= ,P(A6) 9 9 9 9 1 = . 9 故 所摸出 的两球 号码 之和为 4 的概率最大, 即猜 4 获奖的可能性最大. 12.从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 人测量身高.据测量,被测 学生身高全部介于 155 cm 到 195 cm 之间,将测量结 果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组

[160,165);?;第八组[190,195].如图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图的一部分. 已知第一组与 第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次 构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (2)求第六组、 第七组的频率并补充完整频率分布 直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中 随机抽取两人, 记他们的身高分别为 x、 求满足“|x y, -y|≤5”的事件的概率. 解:(1)由频率分布直方图得前五组频率为(0.008 +0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82, 后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9, 这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上 (含 180 cm)的人数为 800×0.18=144. (2)由频率分布直方图得 第 八 组 频 率 为 0.008×5 = 0.04,人数为 0.04×50=2, 设第六组人数为 m,则第七 组人数为 9-2-m=7-m, 又 m+2=2(7-m),解得 m =4,所以第六组人数为 4, 第七组人数为 3, 频率分别等 于 0.08,0.06. 频率 分别等于 0.016,0.012.其完整的频率分布直 组距 方图如图.

(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4, 设为 a、 b、c、d,身高在[190,195]内的人数为 2,设为 A、B, 若 x,y∈[180,185)时,有 ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 6 种情况; 若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况; 若 x,y 分别在[180,185)和[190,195]内时,有 aA、 bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB,共 8 种情况. 所以基本事件总数为 6+1+8=15, 事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有 6+ 7 1=7,∴P(|x-y|≤5)= . 15 第三节 几何概型 A组 1.在长为 1 的线段上任取两点,则 1 这两点之间的距离小于 的概率为 2 ________. 解析: 利用几何概型知识, 结合线 性规划可求出答案,如图. 1 1 1 |x-y|< ?- <x-y< ,x∈(0,1), 2 2 2 3 y∈(0,1),设阴影部分的区域面积为 d,可知 d= , 4 整个正方形的面积为 D,可知 D=1,则所求概率 P d 3 3 = = .答案: D 4 4 2.在等腰直角三角形 ABC 中,若 M 是斜边 AB 上的 点,则 AM 小于 AC 的概率为________. 解析:可用相应线段长度之比来度量,易知 P=

a 2 2 = .答案: 2 2a 2 π π 3.(2009 年高考山东卷)在区间[- , ]上随机取一个 2 2 1 数 x, cosx 的值介于 0 到 之间的概率为________. 则 2 π π 1 π 解析:当- ≤x≤ 时,由 0≤cos x≤ ,得- 2 2 2 2 π π π ≤x≤- 或 ≤x≤ , 3 3 2 1 1 根据几何概型概率公式得所求概率为 .答案: 3 3 4. 平面上有一组平行线, 且相邻 平行线间的距离为 3 cm,把一枚 半径为 1 cm 的硬币任意投掷在 这个平面上,则硬币不与任何一 条平行线相碰的概率是________. 解析:如图所示,当硬币中心落在阴影区域时, 1 硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率为 .答 3 1 案: 3 5.(原创题)向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P, 则△PBC 的面积小 S 于 的概率为________. 2 1 解 析 : ∵S△PBC< S△ABC , 2 h ∴h′< (其中 h′为△PBC 中 BC 边上的高,h 为 2

△ABC 中 BC 边上的高),设 DE 为△ABC 的中位线, 则点 P 应在梯形 BCED 内(如图阴影部分),∴P= S梯形BCED 3 = . S△ABC 4 3 答案: 4

B组 1.(2009 年高考福建卷)点 A 为周长等于 3 的圆周上 的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧

的长度小于 1 的概率为________. 解析: 设事件 M 为“劣弧 的长度小于 1”, 则

满足事件 M 的点 B 可以在定点 A 的两侧与定点 A 构 成的弧长小于 1 的弧上随机取一点, 由几何概型的概 2 2 率公式得:P(M)= .答案: 3 3 2.(2010 年苏、锡、常、镇四市调 研)已知如图所示的矩形,长为 12, 宽为 5,在矩形内随机地投掷 1000 粒黄豆,数得落 在阴影部分的黄豆数为 600 粒, 则可以估计出阴影部 分的面积约为________. 解析: 设所求的面积为 S, 由题意得 600 S = , 1000 5×12

∴S=36.答案:36 3.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取一 点 P,则点 P 到点 A 的距离小于等于 a 的概率为 ________. 1 4 3 × πa 8 3 π π 解析:P= = .答案: 3 a 6 6 4.(2010 年扬州调研)已知集合 A{x|-1<x<5},B= x-2 {x| >0},在集合 A 中任取一个元素 x ,则事件 3-x “x∈A∩B”的概率是________.

解析: 由题意得 A={x|-1<x<5}, B={x|2<x<3}, 由几何概型知:在集合 A 中任取一个元素 x,则 1 1 x∈A∩B 的概率为 P= .答案: 6 6 5.某公共汽车站每隔 10 分钟就有一趟车经过,小王 随机赶到车站, 则小王等车时间不超 过 4 分钟的概率是________. 2 答案: 5 6.如图,M 是半径为 R 的圆周上一 个定点,在圆周上等可能地任取一点 N,连结 MN, 则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是 ________. 解析:连结圆心 O 与 M 点,作弦 MN 使∠MON=90° ,这样的点有两个, 分别记为 N1,N2,仅当点 N 在不包含 点 M 的半圆弧上取值时,满足 MN> 2 180° 1 R,此时∠N1ON2=180° ,故所求的概率为 = . 360° 2 1 答案: 2 7.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},E={(x, y)|x-2y≥0,x≤4,y≥0},若向区域 Ω 内随机投一 点 P,则点 P 落入区域 E 的概率为________. 解析:如图,区域 Ω 表示的平 面区域为△AOB 边界及其内部的部 分,区域 E 表示的平面区域为 △COD 边界及其内部的部分, 所以

1 ×2×4 S△COD 2 2 点 P 落入区域 E 的概率为 = = .答案: 9 S△AOB 1 ×6×6 2 2 9 8. 已知函数 f(x)=-x2+ax-b.若 a、 都是从区间[0,4] b 任取的一个数,则 f(1)>0 成立的概率 是________. 解析:f(1)=-1+a-b>0,即 a -b>1,如图: 9 S△ABC 2 9 A(1,0), B(4,0), C(4,3), △ABC= , S P= = 2 S矩 4×4 9 9 = .答案: 32 32 9.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x) 1 = x3 +ax-b 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的 2 概率为________. 3 解析:f′(x)= x2+a,故 f(x)在 x∈[-1,1]上单 2 1 调递增,又因为函数 f(x)= x3+ax-b 在[-1,1]上有 2 1 且仅有一个零点,即有 f(-1)· f(1)<0 成立,即(- -a 2 1 1 1 -b)( +a-b)<0,则( +a+b)( +a-b)>0,可化为 2 2 2

?0≤a≤1 ?0≤b≤1 ?1 ?2+a-b>0 ?1 ?2+a+b>0 ?

?0≤a≤1 ?0≤b≤1 ? 或?1+a-b<0, 2 ?1 ?2+a+b<0 ?

由线性规划知

识在平面直角坐标系 aOb 中画出这两个不等式组所 1 表示的可行域, 再由几何概型可以知道, 函数 f(x)= 2 3 x +ax-b 在[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为可 行域的面积除以直线 a=0,a=1,b=0,b=1 围成 7 7 的正方形的面积,计算可得面积之比为 .答案: 8 8 ?0≤x≤6 ? 10.设不等式组? 表示区域为 A,不等式组 ?0≤y≤6 ?
?0≤x≤6 ? ? ?x-y≥0 ?

表示的区域为 B.

(1)在区域 A 中任取一点(x,y),求点(x,y)∈B 的概率; (2)若 x,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所 得的点数,求点(x,y)在区域 B 中的概率. 解:(1)设集合 A 中的点(x,y)∈B 为事件 M,区 域 A 的面积为 S1=36, 区域 B 的面积为 S2=18, ∴P(M) S2 18 1 = = = . S1 36 2 (2)设点(x,y)在区域 B 为事件 N,甲、乙两人各 掷一次骰子所得的点(x,y)的个数为 36 个,其中在区

21 7 = . 36 12 11 . (2010 年 江 苏 南 通 模 拟 ) 已 知 集 合 A = {x| - 1≤x≤0} , 集 合 B = {x|ax + b·x - 1 < 2 0,0≤a≤2,1≤b≤3}. (1)若 a, b∈N, A∩B≠?的概率; 求 (2)若 a, b∈R, 求 A∩B=?的概率. 解:(1)因为 a,b∈N,(a,b)可取(0,1),(0,2), (0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共 9 组. 令函数 f(x)=ax+b·x-1,x∈[-1,0],则 f′(x) 2 x =a+bln2· . 2 因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以 f′(x)>0,即 f(x) 在[-1,0]上是单调递增函数. b f(x) 在 [ - 1,0] 上 的 最 小 值 为 - a + - 1. 要 使 2 b A∩B≠?,只需-a+ -1<0, 2 即 2a-b+2>0.所以(a,b)只 能取(0,1), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2),(2,3)7 组.


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