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1.1.2 集合间的基本关系



1.1.2

1.1.2 集合间的基本关系
【学习要求】
本 课 时 栏 目 开 关

1.理解子集、真子集的概念; 2.了解集合之间的包含、相等关系的含义; 3.能利用 Venn 图表达集合间的关系; 4.了解空集的含义. 【学法指导】 通过观察身边的实例所构成的集合,发现集合间的基本关系,体 验其现实意义;树立数形结

合的思想,体会类比对发现新结论的 作用.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.2

1.子集的概念
本 课 时 栏 目 开 关

一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中 任意一个 元 素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系, 称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A?B (或 B?A ),读作 “ A含于B ”(或“ B包含A ”). 2.Venn 图 用平面上 封闭 曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图.

填一填·知识要点、记下疑难点
3.集合相等与真子集的概念

1.1.2

(1)集合相等:如果 A?B且B?A ,就说集合 A 与 B 相等; (2)真子集:如果集合 A?B,但存在元素 x∈B,且x?A , 称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B(或 B A),读作:
本 A 真包含于 B(或 B 真包含 A). 课 时 4.空集 栏 目 (1)定义: 不含任何元素 的集合叫做空集. 开 关 (2)用符号表示为: ? .

(3)规定:空集是任何集合的 子集 . 5.子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即 A?A . (2)对于集合 A,B,C,如果 A?B,且 B?C,那么 A?C .

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1.1.2

本 课 时 栏 目 开 关

问题情境:已知任意两个实数 a,b,则它们的大小关系可能 是 a<b 或 a=b 或 a>b,那么对任意的两个集合 A,B,它 们之间有什么关系?今天我们就来研究这个问题.

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探究点一 问题 1 集合与集合之间的“包含”关系

1.1.2

观察下面几个例子, 你能发现两个集合间有什么关系吗?

(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
本 课 时 栏 目 开 关

(2)设 A 为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B 为这个 班全体学生组成的集合; (3)A=N,B=R; (4)A={x|x 为中国人},B={x|x 为亚洲人}.
答 (1)、(2)、(3)、(4)中,集合 A 的任何一个元素都是集合

B 中的元素.

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问题 2

1.1.2

如何运用数学语言准确表达问题 1 中两个集合的关系?

答 一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素 都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集
本 合 A 为集合 B 的子集. 记作: A?B(或 B?A), 读作: A 含于 B(或 课 时 B 包含 A). 栏 目 开 问题 3 类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的 关

符号之间有什么类似之处?



在实数中如果 a 大于或等于 b, 则 a, b 的关系可表示为 a≥b

或 b≤a;在集合中如果集合 A 是集合 B 的子集,则 A,B 的关 系可表示为 A?B(或 B?A).所以这是它们的相似之处.

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1.1.2

问题 4

集合 A,B 的关系能不能用图直观形象的表示出来?

答 能.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集
本 课 时 栏 目 开 关

合,这种图称为 Venn 图.
小结 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 A?B(或 B?

A),如下图所示.

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例1 观察下面几组集合,集合 A 与集合 B 具有什么关系?

1.1.2

(1)A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (2)A={正方形},B={四边形}.
本 课 时 栏 目 开 关

(3)A={育才中学高一(11)班的学生}, B={育才中学高一年级的学生}.

解 通过观察就会发现,这三组集合中,集合 A 都是集合 B 的一 部分,从而有 A?B.
小结 在判断两个集合的关系时,对于用描述法表示的集合,一

般要变成用列举法来表示,使集合中的元素特征清晰地呈现出 来,便于讨论集合间的包含关系.

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跟踪训练 1 已知集合 P={x|x=|x|,x∈N 且 x<2}, Q={x∈Z|-2<x<2},试判断集合 P、Q 间的关系.
解 ∵x=|x|,∴x≥0.
本 课 ∵x∈N 且 x<2,∴集合 P={0,1}. 时 栏 目 又∵x∈Z 且-2<x<2, 开 关

1.1.2

∴集合 Q={-1,0,1}.

由子集的定义可知,P?Q.

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探究点二 问题 1 集合与集合之间的“相等”关系

1.1.2

观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗?

(1)设 C={x|x 是两条边相等的三角形}, D={x|x 是等腰三角形}; (2)C={2,4,6},D={6,4,2}. 答 (1)、(2)中集合 C、D 的元素相同,即集合 C 中任何一个

本 课 元素都是集合 D 中的元素,同时,集合 D 中任何一个元素也 时 栏 都是集合 C 中的元素. 目 开 问题 2 与实数中的结论“若 a≥b,且 b≥a,则 a=b”相类比, 关

在集合中,你能得出什么结论?

答 若 A?B,且 B?A,则 A=B.
小结 如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集 合相等.用子集概念对两个集合的相等可描述为:如果 A?B 且
? ?A?B B?A, 则 A, B 中的元素是一样的, 因此 A=B, 即 A=B?? ? ?B?A

.

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1.1.2

问题 3
本 课 时 栏 目 开 关

用 Venn 图怎样表示两个集合相等的关系?



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例2 已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.若

1.1.2

A=B,求实数 c 的值.


本 课 时 栏 目 开 关

? ?a+b=ac 若? 2 ? a + 2 b = ac ?

?a+ac2-2ac=0,所以 a(c-1)2=0,

即 a=0 或 c=1.

当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去;当 c=1 时, 集合 B 中的元素均相同,故舍去.
2 ? ?a+b=ac 若? ? ?a+2b=ac

?2ac2-ac-a=0.因为 a≠0,所以 2c2-c-1

1 =0,即(c-1)(2c+1)=0.又 c≠1,所以只有 c=- . 2 1 经检验,此时 A=B 成立.综上所述 c=-2.

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1.1.2

小结

抓住集合相等的含义,分情况进行讨论,同时要注意检验

本 课 所得的结果是否满足元素的互异性. 时 栏 目 开 关

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1.1.2

跟踪训练 2 已知集合 A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y}且 A=B, 求实数 x 与 y 的值.

解 由已知 A=B={0,|x|,y},∴0∈A.
本 课 时 栏 目 开 关

若 x=0,则 A={0,0,-y},不满足元素的互异性;

若 y=0,则 B={0,|x|,0},也不满足元素的互异性.
∴只有 x-y=0,即 y=x. ∴A={x,xy,x-y}={x,x2,0},∴B={0,|x|,x}. ∴x2=|x|,∴x=0(舍),或 x=1,或 x=-1. 当 x=1 时,A=B={1,1,0},而元素具有互异性,故 x≠1. 当 x=-1 时,A=B={-1,1,0}满足题意. ∴x=y=-1 即为所求.

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探究点三 问题 1 真子集、空集的概念 集合 A 是集合 B 的真子集的含义是什么?

1.1.2

答 若集合 A?B,存在元素 x∈B 且 x A,则称集合 A 是集 合 B 的真子集, 记作 A ? B(或 B ? A), 读作“A 真包含于 B”(或 “B 真包含 A”). 本 课 时 问题 2 空集是怎么定义的?空集用什么符号表示?空集有怎样的 栏 性质? 目 开 答 我们把不含有任何元素的集合称为空集, 记作: ?.并规定: 关
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

问题 3 集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有 什么区别?

答 区别在于集合 A 是集合 B 的子集存在着 A=B 的可能, 但 集合 A 是集合 B 的真子集就不存在 A=B 的可能.

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问题 4 0,{0}与?三者之间有什么关系?
答 它们的关系是 0∈{0},0 ?,? {0}.

1.1.2

问题 5 包含关系{a}?A 与属于关系 a∈A 的意义有什么区别?
本 课 答 {a}?A 表示的是两个集合之间的关系;a∈A 表示的是元 时 栏 素与集合之间的关系. 目 开 问题 6 对于集合 A,A?A 正确吗?对于集合 A,B,C,如果 关

A?B,B?C,那么集合 A 与 C 有什么关系?



A?A 正确,因任何一个集合都是它本身的子集;A 与 C

的关系为 A?C.

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1.1.2

例3

写出满足{1,2}

? A?{1,2,3,4,5}的所有集合 A 共有多少个?


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①当集合 A 含有 3 个元素时,A 为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};

②当集合 A 含有 4 个元素时,A 为{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; ③当集合 A 含有 5 个元素时,A 为{1,2,3,4,5}. 故满足条件的集合 A 为 {1,2,3} , {1,2,4} , {1,2,5} , {1,2,3,4} , {1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

符合条件的集合 A 共有 7 个.

1.1.2

例如:集合{a,b,c},则其子集为 {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}, ? 共8= 23 个。其真子集有7= 2 3 - 1 个.
4 4

思考 思考7 6

2 , 2 -1

如果一个集合中有 n个元素,则其子集有多少个? 如果一个集合中有四个元素,则其子集有多少个? 真子集有多少个? 真子集有多少个?

子集个数为 2 , n 真子集个数为2 -1
非空子集个数为 2
n

n

-1

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1.1.2

小结
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(1)求集合的子集问题,应按集合中所含元素的个数分

类依次书写,以免出现重复或遗漏. (2)此题中“求集合 A 的个数”,等价于求集合{3,4,5}的非空 子集个数.

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1.1.2

跟踪训练 3

已知{a,b}?A ? {a,b,c,d,e},写出所有满

足条件的集合 A.
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解 ∵{a,b}?A,∴a∈A,b∈A.
又∵A ? {a,b,c,d,e}, ∴集合 A 为{a,b}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,b,e}、 {a,b,c,d}、{a,b,c,e}、{a,b,d,e}.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.2

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1. 集合 P={x|x2-1=0}, T={-1,0,1}, 则 P 与 T 的关系为( A ) A.P ? T
解析

B.P ? T

C.P=T

D.P T

由 x2-1=0,得 x=± 1,∴P={-1,1}.

因此 P T,故选 A.

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1.1.2

2. 集合 A={-1,0,1}, A 的子集中, 含有元素 0 的子集共有( B ) A.2 个
本 课 时 栏 目 开 关

B.4 个

C.6 个

D.8 个

解析

由题意得,含有元素 0 的集合 A 的子集有:{0},

{0,-1},{0,1},{0,-1,1}共 4 个,故选 B.

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1.1.2

3.已知{0,1}
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-1,0,1} ? A?{-1,0,1},则集合 A={____________.

解析

由题意知集合 A 中一定含有元素 0,1,并且 A 中至少

含三个元素,又因为 A?{-1,0,1},所以 A={-1,0,1}.

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1.1.2

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1.对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 即由 x∈A, 能推出 x∈B,这是判断 A?B 的常用方法. (2)不能简单地把“A?B”理解成“A 是 B 中部分元素组成的 集合”,因为若 A=?时,则 A 中不含任何元素;若 A=B,则 A 中含有 B 中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A B 首先要满足 A?B,其次至少有一 个 x∈B,但 x A. 2.集合子集的个数 求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依 次写出符合要求的子集. 集合的子集、真子集个数的规律为:含 n 个元素的集合有 2n 个 子集,有 2n-1 个真子集,有 2n-2 个非空真子集.写集合的 子集时,空集和集合本身易漏掉.



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