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第一章 计数原理 章末测试(人教A版选修2-3)



章末质量评估(一)
(时间: 100 分钟 满分:120 分 )
一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的 )
3 4 1.如果 C3 n= C n-1 + Cn-1 ,则 n 的值为

( D.不存在

).

A. 8 解析

B. 7

C. 6

4 4 ∵ C3 n-1+ Cn-1= Cn,

4 ∴ C3 n= C n ,∴ 3= n- 4,即 n= 7.

答案

B ).

?3 ?n 2.已知? x+1 ? 展开式中的第五项是常数,则展开式中系数最大的项是 ( ? x? A.第 10 项和第 11 项 C.第 8 项 解析 ∵ T5= C4 nx B.第 9 项 D.第 8 或第 9 项

n- 4 n- 16 -4 4 3 x = Cnx 3 是常数,∴ n= 16.从而展开式中系数最

大的项即为二项式系数最大的项,为第 9 项. 答案 B

3.知识竞赛中给一个代表队的 4 人出了 2 道必答题和 4 道选答题,要求 4 人各 答一题,共答 4 题,此代表队可选择的答题方案的种类为 (
4 A. A6

).
2 B. A4 C. 4 C2 D. 4A4 2 C2 4A4

解析

从 4 道选答题中选 2 道的选法为 C2 4,2 道必答题和 2 道选答题让 4 人

4 各答一题的方法为 A4 ,故选 C.

答案

C ( ).

4.已知 {1, 2}?Z? {1, 2, 3, 4, 5},满足这个关系式的集合 Z 共有 A. 2 个 解析 B. 6 个 C. 4 个 D. 8 个

由题意知集合 Z 中的元素 1,2 必取,另外,从 3,4,5 中可以不取,

1 2 3 取 1 个,取 2 个,取 3 个,故共有 C0 3+ C 3 + C3 + C 3 = 8(个 ).

答案

D

5.二项式 (a+ 2b)n 展开式中的第二项系数是 8,则它的第三项的二项式系数为 ( A. 24 解析 6. 答案 D B. 18 C. 16 D. 6 ).

n-1 n-1 2 T2= C1 (2b)1= C1 · b,所以 2n= 8, n= 4,所以 Cn = C2 na n· 2a 4=

6.某汽车生产厂家准备推出 10 款不同的轿车参加车展,但主办方只能为该厂提 供 6 个展位,每个展位摆放一辆车,并且甲、乙两款车不能摆放在 1 号展位, 那么该厂家参展轿车的不同摆放方案有
2 A. C10 A4 8种 1 5 C. C8 A9 种 1 5 B. C9 A9 种 1 5 D. C8 A8种

(

).

解析

考查分步计数原理和排列数公式, 在 1 号位汽车选择的种数为 C1 8,其

5 1 5 余位置的排列数为 A9 ,故种数为 C8 A9 ,选 C.

答案

C

7.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺 冠情况的种数为 (
3 A. A4

). B. 43 C. 34
3 D . C4

解析

四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,每项冠军都有 3 种可能,

由分步乘法计数原理知共有 3× 3× 3× 3= 34 种. 答案 C ( D. 6 ).

n ? 2 1? ? 的展开式中,常数项为 15,则 n 等于 8.在? x - ? x? A. 3 解析 B. 4 C. 5

r 2 n- r? 1 ? r 2 n- 3 r ? ? ∵ Tr+ 1= Cr ( x ) - = (- 1)rCn x , n ? x?

∴又常数项为 15,∴ 2n- 3r= 0,

2 即 r= n 时, (- 1)rCr n= 15,∴ n= 6.故选 D. 3 答案 D

9.用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A、 B、C、 D 中,要求相邻的矩形涂色不 同,则不同涂法有 A C D A.72 种 解析 B. 48 种 C. 24 种 D. 12 种 B ( ).

涂 A 共 4 种涂法,则 B 有 3 种涂法,C 有 2 种涂法,D 有 3 种涂法.

∴共有 4× 3× 2× 3= 72 种涂法. 答案 A ( ).

10.在 (1- x)5- (1- x)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是 A.- 5 解析 B. 5 C.- 10 D . 10

6 3 3 (1- x)5 中 x3 的系数为- C3 5=- 10,- (1- x) 中 x 的系数为- C6 ·

(- 1)3= 20,故 (1- x)5- (1- x)6 的展开式中 x3 的系数为 10. 答案 D

11.从正方体 ABCD A1 B1 C1 D1 的 8 个顶点中选取 4 个作为四面体的顶点,可得 到的不同四面体的个数为
4 A. C8 - 12 4 B. C8 -8 4 C. C8 -6 4 D. C8 -4

(

).

解析 答案

在正方体中, 6 个面和 6 个对角面上的四个点不能构成四面体. A

12.将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排 2 名学生,那么互 不相同的分配方案共有 A. 252 种 C. 70 种 解析 B. 112 种 D. 56 种 ( ).

分两类:甲、乙两个宿舍中一个住 4 人、另一个住 3 人或一个住 5 人、

2 2 2 另一个住 2 人,所以不同的分配方案共有 C3 7A2+ C7A2= 35× 2+ 21× 2= 112

种.

答案

B

二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上 ) 13.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者,若选出的 4 人中既有男 生又有女生,则不同的选法共有 ________种. 解析 答案
4 (间接法 )共有 C4 7- C4= 34 种不同的选法.

34

14.若 (3x+ 1)n(n∈ N* )的展开式中各项系数的和是 256,则展开式中 x2 项的系数 是 ________. 解析 令 x= 1,得 (3+ 1)n= 256,解得 n= 4,(3x+ 1)4 的展开式中 x2 项的系

2 数为 C2 43 = 54.

答案

54

15.在 5 名乒乓球队员中有 2 名老队员和 3 名新队员,现从中选出 3 名队员排成 1, 2,3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员,且 1, 2 号中至少有 1 名新队员的排法有 ________种. 解析
1 1 2 2 3 两老一新时,有 C3 × C2 A2 = 12 种排法;两新一老时,有 C1 2C3× A 3=

36 种排法,即共有 48 种排法. 答案 48

16.设 (2x- 1)6= a6 x6+ a5 x5+…+ a1 x+ a0,则 |a0 |+ |a1 |+…+ |a6 |= ________. 解析
6 1 5 6 6 由 (2x- 1)6= C0 6(2x) + C6(2x) · (- 1)+…+ C6(- 1) ,

可知 x6 , x5,…, x0 的系数正、负相间,且 |a0 |+ |a1 |+…+ |a6 | = a0- a1+ a2- a3+ a4- a5 + a6 . 令 x=- 1,有 a6 x6+ a5 x5+…+ a1 x+ a0 = a0- a1+ a2- a3+ a4- a5 + a6 = (- 3)6= 36 . 答案 36

三、解答题 (本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 )

17. (10 分 )已知 (1+ 2 x )n 的展开式中,某一项的系数恰好是它前一项系数的 2 5 倍,而且是它后一项系数的 ,求展开式中二项式系数最大的项. 6 解 由题意设展开式中第 k+ 1 项系数是第 k 项系数的 2 倍,是第 k+ 2 项系 5 数的 , 6
-1 k- 1 Ck · 2k= 2Ck , ? n ·2 ? n ∴? k 5 + 1 k+ 1 解得 n= 7. Cn· 2k= Ck , n ·2 ? ? 6

3

∴展开式中二项式系数最大的项是第 4 项和第
4 2 T5= C4 7(2 x ) = 560x .

3 5 项,T4= C7 (2

x ) = 280x2 ,

3

18. (10 分 )从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4× 100 m 接力赛.试求满足下列 条件的参赛方案各有多少种? (1)甲不能跑第一棒和第四棒; (2)甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒. 解 (1)法一 优先考虑特殊元素甲, 让其选位置, 此时务必注意甲是否参赛,

因此需分两类:
4 第 1 类,甲不参赛有 A5 种排法;

第 2 类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有 A1 2种排法;其余 5 人占 3
1 3 4 1 3 个位置有 A3 故有 A2 A5种方案. 所以有 A5 + A2 A5 = 240 种参赛方案. 5种排法,

法二

先着眼于整体,后局部剔除不合要求的参赛方案.首先, 6 个人占 4

个位置有 A4 6种占法;其次,甲跑第一棒和第四棒的不合要求的参赛方案有 2A3 5种.
3 所以有 A4 6- 2A5= 240 种参赛方案.

(2)显然第一、四棒为特殊位置,与之相伴的甲、乙则为特殊元素,这时特殊 元素与特殊位置的个数相等,对此我们仍从三方面进行思考,以在对比中积 累经验. 法一 优先考虑特殊位置.

1 3 第 1 类,乙跑第一棒有 A1 A5 = 60 种排法; 1 1 2 第 2 类,乙不跑第一棒有 A4 A4 A4= 192 种排法.

故共有 60+ 192= 252 种参赛方案. 法二 (间接法 )

共有 A4 6= 360 种参赛方案,其中不合要求的有:
1 2 ①甲跑第一棒,乙跑第四棒,有 A1 1A1 A4 = 12 种排法; 1 2 ②甲跑第一棒,乙不跑第四棒,有 A1 1A4A4 = 48 种排法; 1 2 ③甲不跑第一棒,乙跑第四棒,有 A1 1A4A4 = 48 种排法.

综上知有 360- 12- 48- 48= 252 种参赛方案. 19.(10 分 )设 f(x)= (1+ x)m+ (1+ x)n(m、n∈ N+ ),若其展开式中关于 x 的一次项 系数的和为 11, 试问 m、 n 为何值时, 含 x3 的系数最小?这个最小值是多少? 解
1 据题意可得 C1 m+ Cn= 11,

∴ m+n= 11,含 x3 的系数为 m( m- 1)( m- 2) n( n- 1)( n- 2) + 6 6 3 2 3 2 m - 3m + 2m+ n - 3n + 2n = 6 ( 11- n)3 - 3( 11- n)2+ 2( 11- n)+ n3 - 3n2+ 2n = 6 2 27n - 297n+ 990 = 6
3 C3 m+ Cn=

9? 11 ?2 231 = ? n- ? + . 2? 2? 8 ∴当 m= 5, n= 6 或 m= 6, n= 5 时, x3 的系数最小为 30. 20. (10 分 )从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? (3)在 (1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? (4)在 (1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个? 解 (1)分步完成:第一步在四个偶数中取三个,可有 C3 4种情况;

第二步在五个奇数中取四个,可有 C4 5种情况; 第三步三个偶数,四个奇数进行排列,可有 A7 7种情况,所以符合题意的七位
4 7 数有 C3 4C5A 7= 100 800 个. 3 4 5 3 (2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有 C4 C5 A5 A3= 14 400 个.

(3)上述七位数中,三个偶数排在一起,四个奇数也排在一起的有
4 3 4 2 C3 4C5A3 A4 A2 = 5 760 个.

(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把四个奇数排好,再将三个偶数分别
4 3 3 插入 5 个空档,共有 A5 C4A5= 28 800 个.

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