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高二数学期末模拟试题(一)使用版



高二数学期末模拟试题(一)
编辑:李小焕 审核:褚仕文 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 命题“ ?x ? R, e x ? x 2 ”的否定是 A. ?x ? R ,使得 ex ? x2 C. ?x ? R ,使得 e x ? x2 2.在△ABC 中,a= 2 3 A.30°
2

B. ?x ?

R ,使得 ex ? x2 D. 不存在 x ? R ,使得 e x ? x2 )

,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于(

B.60°
2

C.60°或 120° D. 30°或 150°

3.双曲线与椭圆 4 x ? y ? 1有相同的焦点,它的一条渐近线方程为 y ? 的方程为( ) A. 2 x 2 ? 4 y 2 ? 1 C. 2 y 2 ? 4 x 2 ? 1 B. 2 x 2 ? 4 y 2 ? 2 D. 2 y 2 ? 4 x 2 ? 3

2 x ,则双曲线

4.已知方程 ax 2 ? by 2 ? ab 和 ax ? by ? c ? 0 (其中 ab ? 0, a ? b, c ? 0 ),它们所表示的 曲线可能是( )

A.

B.

C.

D.

5.已知数列 ?an ? 是等差数列, a2 ? 8, S10 ? 185 ,从 ?an ? 中依次取出第 3 项,第 9 项,第 27 项,??第 3 项按原来的顺序排成一个新数列 ?bn ? ,则 bn ? (
n

) D. 3 -2
n

A. 3

n ?1

?2

B. 3

n ?1

?2

C. 3 +2

n

6. 已知 A、B、C 三点不共线,点 O 为平面 ABC 外的一点,则下列条件中,能得到 M∈平 面 ABC 的充分条件是 ( ) (A) OM ? OA ? OB ? OC ; (B) OM ? OA ? OB ? OC ; 2? 2 3 ???? ? ??? ? 2??? ? ??? ???? ? ??? ? ??? ?3 ???? (C) OM ? OA ? OB ? OC ; (D) OM ? 2OA ? OB ? OC 7. 在平面直角坐标系中, A(?2,3), B(3, ?2) ,沿 x 轴把平面直角坐标系折成 120?的二面角后, 则线段 AB 的长度为( ) A. 2 B. 2 11 C. 3 2 D. 4 2 8. 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ? ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3),则当 n ? 1 时,

???? ?

? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???

???? ?

? 1 ??? ? ???? 1 ???

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? (
A. n(2n ? 1) 9.已知不等式 B. (n ? 1) 2

) C. n2 D. (n ? 1)2

x?2 ? 0 的解集为 ?x | a ? x ? b? ,点 A( a, b) 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其 x ?1 2 1 中 mn ? 0 ,则 ? 的最小值为 ( ) m n
A. 4 2 B.8 C.9 D.12

10.如图, F1 、 F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点,过 F1 的直线 l 与双 a2 b2

曲线的左右两支分别交于点 A 、 B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为

A.4

B. 3

C.

2 3 3

D.

7

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、 .已知 a1 ? 1 , an ? an?1 ? 2 ? n ? 2, n ? N *? ,则 ?an ? 的前 n 项和为 12、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, A ? 60? , b ? 2, S? ABC ? 2 3 ,则 a ?

?x ? 2 ? 0 ? 13.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
14.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2,N 是 M F1 的中点,则|ON|等于 25 9

________.
2 15.若命题“存在 x ? R ,使得 2 x ? 3ax ? 9 ? 0 成立”为假命题,则实数 a 的取值范围是

________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

16、 已知命题 p: 方程

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, ? ?1 命题 q: 双曲线 2m m ? 1 5 m

的离心率 e ? (1,2) ,若 p, q 只有一个为真,求实数 m 的取值范围. 17.在?ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a, b, c ,且满足 (2c ? a) cos B ? b cos A ? 0 (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ? 7, a ? c ? 13 ,求?ABC 的面积. 18.如图在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为正方形,ED ? 平面 ABCD,FB//ED,且 AD=DE=2BF=2. (I)求证: AC ? EF ; (II)求二面角 C—EF—D 的大小; (III)设 G 为 CD 上一动点,试确定 G 的位置使得 BG//平面 CEF,并证明你的结论.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ?1 ? a, a ? R . (1)若 a ? 2 ,试求函数 y ?

f ( x) ( x ? 0) 的最小值; x

(2)对于任意的 x ? [0, 2] ,不等式 f ( x) ? a 成立,试求 a 的取值范围. 20. (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 前 n 项和 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 ,令 bn ? log2 an (I)试求数列 {an } 的通项公式; (II)设 cn ?

bn ,求证数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ? 2 . an
21.设 A(x1, y1),b(x2, y2)是椭圆 C:

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0)上两点, a2 b2 ? x 2 y2 ? 3 ?x y ? , ? 已知 m ? ? 1 , 1 ?, n ? ? ,若 m·n=0 且椭圆的离心率 e= ,短轴长为 2,O 为坐标 ? ? b a 2 ?b a? ? ?
原点. (1)求椭圆的方程; (2)试问△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

高二数学期末模拟试题(一)参考答案
一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 B 7 B 8 C 9 C 10 D

二、填空题(共 5 小题,每题 5 分,共 25 分) 11. n
2

12. 2 3

13.18

14.

3 2

15. ?2 2 ? a ? 2 2

三、解答题

16、p:0<m<

1 3

q:0< m <15

1 p 真 q 假,则空集;p 假 q 真,则 ? m ? 15 3

1 故 m 的取值范围为 ? m ? 15 3
17.(12 分)解:(Ⅰ)由正弦定理得 (2sin C ? sin A) cos B ? sin B cos A ? 0,

? 2sin C cos B ? sin( A ? B) ? 0,?sin C (2cos B ? 1) ? 0
因为 sin C ? 0 ,所以 cos B ? 分 (Ⅱ)因为 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 因为 b ? 7, a ? c ? 13 , B ?

1 , 2

所以 B ?

?
3

??????????????6

?
3

? ac ? 40
??????????????12 分

?S ?

1 ac sin B ? 10 3 2

18.

19 解:(1) 依题意得 y ?

f ( x) x 2 ? 4 x ? 1 1 ? ? x ? ? 4 错误!未找到引用 x x x

源。.?????????1 分 ∵ x ? 0 ,所以 x ? 即 y ? ?2 . ∴当 x ? 1 时, y ?

1 1 ? 2 ,当且仅当 x ? ,即 x ? 1 时,等号成立.????3 分 x x

f ( x) 的最小值为-2.????????????????4 分 x

(2) ∵ f ( x) ? a ? x2 ? 2ax ?1 , ∴要使得 ?x ? [0, 2] ,不等式 f ( x) ? a 成立 只要 x ? 2ax ? 1 ? 0 在 [0, 2] 恒成立".???????????????6 分
2

不妨设 g ( x) ? x ? 2ax ?1 ,则只要 g ( x) ? 0 在 [0, 2] 恒成立.
2

∵ g ( x) ? x ? 2ax ?1 ? ( x ? a) ?1 ? a ,????????????????8 分
2 2 2

∴?

? g (0) ? 0 ?0 ? 0 ? 1 ? 0, 3 ,即 ? ,解得 a ? . 4 ? g (2) ? 0 ? 4 ? 4a ? 1 ? 0
3 4

∴ a 的取值范围是 [ , ??) .???????????????????????12 分 20 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1, 所以, an ? 2an?1 , ??????????3 分

当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2, a1 ? 2,

??????????4 分

由等比数列的定义知,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以,数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n , n ? N? . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ? ??????6 分

n n ? n, an 2 1 2 3 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1 ? n ,① 2 2 2 2 2 1 以上等式两边同乘以 , 得 2 1 1 2 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 , ② 2 2 2 2 2

????????8 分

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1 ? ( 1 )n ? n ①-②,得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2n ?1 2 2n ?1 1? 2 1 n n?2 n?2 ? 1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 , 所以 Tn ? 2 ? n . 2 2 2 2 所以 Tn ? 2 .???????????? 13 分



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