9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列求和及其综合应用(教师版)



高三 学生姓名:
专 目 题 标

年级

数学

科辅导讲义(第 讲) 授课时间:

授课教师:

数列专题复习-数列求和及其综合应用 会运用数列求通项公式和求和的常见方法 熟悉应用累加法、构造法求解通项公式;熟悉应用错位相减法、裂项相消来求和 求数列的通项公式;求数列

的和;数列求和和不等式的综合应用 1

重 难 点 常 考 点

1.数列{an}的通项公式 an= A.25 解析 an= B.576 1

n+

n+1

,若{an}的前 n 项和为 24,则 n 为( D.625

).

C.624 =-(

n+

n+1

n-

n+1), 前 n 项和 Sn=-[(1- 2)+( 2- 3)]+?+( n-

n+1)]=

n+1-1=24,故 n=624.故选 C.

2.在等差数列{an}中,a1=142,d=-2,从第一项起,每隔两项取出一项,构成新的数列{bn},则此数列 的前 n 项和 Sn 取得最大值时 n 的值是( A.23 B.24 ). D.26

C.25

解析 因为从第一项起,每隔两项取出一项,构成数列{bn},所以新数列的首项为 b1=a1=142,公差 2 * 为 d′=-2×3=-6,则 bn=142+(n-1)(-6).令 bn≥0,解得 n≤24 ,因为 n∈N ,所以数列{bn} 3 的前 24 项都为正数项,从 25 项开始为负数项.因此新数列{bn}的前 24 项和取得最大值.故选 B. 答案 B 3.已知各项都为正的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,存在两项 am,an 使得 值为( A. 3 2 ). 5 B. 3
6 5

am·an=4a1,则 + 的最小 m n

1 4

25 C. 6
4

4 D. 3
2

解析 由 a7=a6+2a5,得 a1q =a1q +2a1q ,整理有 q -q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(与条件中等 比数列的各项都为正矛盾,舍去),又由
2 m+n-2 2 am·an=4a1,得 aman=16a2 =16a1,即有 m+n 1,即 a12

1 4 1 ?1 4? 1?4m n ? 1? -2=4, 亦即 m+n=6, 那么 + = (m+n)? + ?= ? + +5?≥ ?2 m n 6 ?m n? 6? n m ? 6?

4m

n

4m n ? 3 当且仅当 · +5?= , n m ? 2

n 3 = ,即 n=2m=4 时取得最小值 . m 2
答案 A 4.已知首项为正数的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1 006 和 a1 007 是方程 x -2 012x-2 011=0 的两根,
1
2

则使 Sn>0 成立的正整数 n 的最大值是( A.1 006 C.2 011

). B.1 007 D.2 012

解析 由题意知, a1 006+a1 007=2 012>0,a1 006· a1 007=-2 011<0,又因首项为正等差数列, 所以 a1 006>0,

n a1+an a1 007<0,2a1 006=a1+a2 011>0,2a1 007=a1+a2 013<0,即 S2 011>0,S2 013<0,又因 Sn= ,n 的最大
2 值为 2 011. 答案 C 5.已知函数 f(x)=cos x(x∈(0,2π ))有两个不同的零点 x1,x2,方程 f(x)=m 有两个不同的实根 x3,x4. 若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为( 1 A.- 2 1 B. 2 C. 3 2 ). D.- 3 2

π 3π 解析 不妨设 x1<x2,x3<x4.由题意,可得 x1,x2 的值分别为 , ,代入检验. 2 2 1 2π 4π 4π 2π 3π π 若 m=- ,则 x3,x4 的值分别为 , ,因为 - ≠ - ,显然这四个数不能构成等差数 2 3 3 3 3 2 3 列; 1 π 5π π π 3π π 若 m= ,则 x3,x4 的值分别为 , ,因为 - ≠ - ,故这四个数不能构成等差数列; 2 3 3 2 3 2 2 若 m= 列; 若 m=- 答案 D 6.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5 ,则数列{an}的通项公式为________. 解析 在递推公式 an+1=2an+3×5 的两边同时除以 5
n n+1 n

3 π 11π 11π 3π 3π π ,则 x3,x4 的值分别为 , ,因为 - ≠ - ,显然这四个数不能构成等差数 2 6 6 6 2 2 2

3 5π 7 π π ,则 x3,x4 的值分别为 , ,显然这四个数能构成等差数列,公差为 . 2 6 6 3

an+1 2 an 3 ,得 n+1= × n+ ,① 5 5 5 5

an 2 3 2 令 n=bn,则①式变为 bn+1= bn+ ,即 bn+1-1= (bn-1),所以数列{bn-1}是等比数列,其首项为 5 5 5 5 a1 3 2 3 ?2? an ? 3? ?2? b1-1= -1=- ,公比为 .所以 bn-1=?- ?×? ?n-1,即 bn=1- ×? ?n-1= n,故 an=5n-3×2n
5 5 5

? 5? ?5?

5

?5?

5

-1

.
n n-1

答案 an=5 -3×2 7.观察下列等式 1 =1
2

2

1 -2 =-3 1 -2 +3 =6 1 -2 +3 -4 =-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为________. 解析 左边为平方项的(-1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

n+1

倍的和,右边为(1+2+3+?+n)的(-1)
n+1 2

n+1

倍.

答案 1 -2 +3 -4 +?+(-1) 8.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若

n n+1 n =(-1)n+1·
2

S2n * (n∈N )是非零常数,则称该数列为“和等比数列” ;若数列{cn}是首 Sn

项为 2,公差为 d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列” ,则 d=________. 解析 由题意可知, 数列{cn}的前 n 项和为 Sn=

n c1+cn
2

2n , 前 2n 项和为 S2n=

c1+c2n
2

, 所以

S2n Sn

2n c1+c2n 2 2nd 2 S2n = =2+ =2+ .因为数列{cn}是“和等比数列” ,即 为非零常数,所以 n c1+cn 4+nd-d 4-d Sn 1+ 2 nd

d=4.
答案 4 9.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn-(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=
2 2 2

n+1 5 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 n∈N ,都有 Tn< . n+2 2a2 64 n
2 2 2 2

(1)解 由 Sn-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,得[Sn-(n +n)](Sn+1)=0,由于{an}是正项数列,所以

Sn+1>0.所以 Sn=n2+n.n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n,n=1 时,a1=S1=2 适合上式.∴an=2n.
(2)证明 由 an=2n,得

bn=

n+1 n+1 = 2 n+2 2a2 4 n n+2 n
1

2

1 ?1 = ? 2- 16?n 1 ?? 16??

n+2

2

? ? ?
1? 1

Tn= ??1- 2?+? 2- 2?+? 2- 2?+? 3 2 4 3 5

1? ?1

? ?
2

?1 ? ?
2

1?

?

+?

1 ? n - 1 ?



n+1
2

1 ?+? 12- ? ?n n + 2 ? ?
2

2

?? ?? ??

1 1? = ?1+ 2- 16? 2

1 n+1


2

1 n+2

?< 1 ?1+ 12?= 5 . ? 16? 2 ? 64 ? ? ?

10.已知函数 f(x)=(x-1) ,g(x)=4(x-1),数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,
3

点(an+1,S2n-1)在函数 f(x)的图象上;数列{bn}满足 b1=2,bn≠1,且(bn-bn+1)·g(bn)=f(bn)(n∈N


). (1)求 an 并证明数列{bn-1}是等比数列; (2)若数列{cn}满足 cn= 4
n-1

an ,证明:c1+c2+c3+?+cn<3. bn-1
2

(1)解 因为点(an+1,S2n-1)在函数 f(x)的图象上,所以 an=S2n-1.
? ?a1=S1, 令 n=1,n=2,得? 2 ? ?a2=S3,
2

? ?a1=a1, 即? ? ? a1+d

2

2

=3a1+3d,

解得 a1=1,d=2(d=-1 舍去),则 an

=2n-1. 由(bn-bn+1)·g(bn)=f(bn), 得 4(bn-bn+1)(bn-1)=(bn-1) . 由题意 bn≠1,所以 4(bn-bn+1)=bn-1, 即 3(bn-1)=4(bn+1-1),所以
2

bn+1-1 3 = . bn-1 4

3 所以数列{bn-1}是以 1 为首项,公比为 的等比数列. 4

?3?n-1 (2)证明 由(1),得 bn-1=? ? . ?4?
cn=
4
n-1

an = bn-1

2n-1 2n-1 = n-1 . 3 ? ?n-1 3 n-1 4 ·? ? ?4?

令 Tn=c1+c2+c3+?+cn, 1 3 5 2n-3 2n-1 则 Tn= 0+ 1+ 2+?+ n-2 + n-1 , 3 3 3 3 3 1 1 3 5 2n-3 2n-1 Tn= 1+ 2+ 2+?+ n-1 + n , 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 2 2 2n-1 2 ①-②得, Tn = 0 + 1 + 2 + 3 +?+ n-1- n = 1 + · 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1- 1 3
n-1

① ②

1 1- 3



2n-1 1 2n-1 = 2 - n-1 - n = 2 - n 3 3 3

n+1
3
n

.所以 Tn=3-

n+1
3
n-1

.

所以 c1+c2+c3+?+cn=3-

n+1
3
n-1

<3.

3 * 11.已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N ),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等 2 差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
4

1 * (2)设 Tn=Sn- (n∈N ),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

Sn

(1)解 设等比数列{an}的公比为 q,因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,所以 S5+a5-S3-a3=

a5 1 S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q2= = . a3 4
3 1 又{an}不是递减数列且 a1= ,所以 q=- . 2 2 故等比数列{an}的通项公式为

an= ×?- ?n-1=(-1)n-1· n. 2
1 1+ ,n为奇数, ? ? 2 ? 1? (2)由(1)得 S =1-?- ? =? ? 2? 1 ?1-2 ,n为偶数. ?
n n n n

3 ? 1? 2 ? ?

3 2

3 1 1 3 2 5 当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小,所以 1<Sn≤S1= ,故 0<Sn- ≤S1- = - = . 2 Sn S1 2 3 6 3 1 1 3 4 7 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大,所以 =S2≤Sn<1,故 0>Sn- ≥S2- = - =- . 4 Sn S2 4 3 12 7 1 5 * 综上,对于 n∈N ,总有- ≤Sn- ≤ . 12 Sn 6 5 所以数列{Tn}最大项的值为 , 6 7 最小项的值为- . 12

5



更多相关文章:
1数列求和及其综合应用(教师用)
1数列求和及其综合应用(教师用)_数学_高中教育_教育专区。数列求和及其综合应用 1. 掌握数列的求和方法:(1) 直接利用等差、等比数列求和公式;(2) 通过适当变形(...
数列求和及其综合应用(学生版)
数列求和及其综合应用(学生版)_数学_高中教育_教育专区。高三 学生姓名:专目题标 年级 数学 科辅导讲义(第讲) 授课时间: 授课教师: 数列专题复习-数列求和及其...
(教师版) 数列求和第2讲
(教师版) 数列求和第2讲_学科竞赛_小学教育_教育专区。第2讲考情解读 数列求和...第2讲考情解读 数列求和及综合应用 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下...
数列(二)数列求和及数列的综合应用(学生版)
数列(二)数列求和及数列的综合应用(学生版)_数学_高中教育_教育专区。数列求和...2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《... 2014年幼儿园教师资格考...
专题:数列的综合应用(教师用)
专题:数列的综合应用(教师用)_数学_高中教育_教育专区。专题:数列的综合应用【知识概要】 1.数列求和的常用方法 (1)公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差...
数列之数列求和
数列的求和及其综合应用 暂无评价 6页 免费数​列​之​数​列​求​...数列之数列求和教师版 一、 【自主梳理】 1.求数列前 n 项和 S n 主要...
数列综合(教师版)
数列综合复习(教师版) 暂无评价 12页 免费 第十八讲 数列与数表综合... 5页...数列的求和,涵盖所有高... 5页 1下载券 数列的实际应用题 9页 免费数...
数学高二(上)沪教版(数列的综合应用(一))教师版_图文
数学高二(上)沪教版(数列的综合应用(一))教师版_数学_高中教育_教育专区。年...特级教师 王新敞 wxckt@126.com 等差数列 定义 通项公 式 求和公 式 等比...
数列求和及数列的综合应用
数列求和及数列的综合应用_数学_高中教育_教育专区。数列求和及数列的综合应用一...小学五年级英语教学工作总结 大学教师个人工作总结 小学英语教学教研工作总结文档...
...4-2数列求和及综合应用 Word版含解析]
2014年高考数学(理)二轮专题复习真题感悟:1-4-2数列求和及综合应用 Word版含解析...2015上半年教师资格证考试 教师资格考试《幼儿教育学》模拟试题 2015年教师资格...
更多相关标签:
数列求和及其综合应用    等差数列求和应用题    数列求和综合题    数列的综合应用    数列综合应用    数列的综合应用教案    教师综合应用能力测试    等比数列求和公式    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图