9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高二数学 >>

§2.5等比数列的前n项和教案和课件



§2.5
【教学目标】

等比数列的前 n 项和(第一课时)

1、知识与技能:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法;掌握等比数列的前 n 项和公式,并能运用公 式解决一些简单问题. 2、过程与方法:提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透类比、分类 讨论及方程的思想,优化思维品质. 3、情感、态度与价值观:培养学生将数学学习放眼生活,用生活眼光看数学的思维品质.

【学情分析】
就学生而言,等差、等比数列的定义和通项公式,等差数列的前n项和公式是学生在学习之前已经 具备的知识基础.学生具体研究学习了等差数列前 n 项和公式的推导方法,具备了一定的探究能力.基于 此,学生会产生思考,等比数列前 n 项和公式应该如何推导,公式是从什么新的角度建构?其重要性和 普遍性体现在哪里?应该说学生从内心来讲,有想探究等比数列前 n 项和公式的欲望和驱动力.

【教学重难点】
1、教学重点:等比数列前 n 项和公式的推导及其简单应用. 2、教学难点:根据等比数列的结构特点推导等比数列的前 n 项和公式. 等比数列前 n 项和公式的推导与等差数列的前 n 项和公式的推导虽然可以进行类比推导,但需要充 分挖掘方法的本质——找到差异、构造相同项、消除差异,这对学生是比较困难的.因此,教师在发挥学 生主体性前提下通过问题的逐层设置来给予适当的提示和指导.

【教学方法】 【教具准备】 【教学过程】
一、知识回顾

类比法,引导探究法,讲授法 多媒体课件

? 定义 ? ? ? ?等差数列 ? 通项公式 ?前n项和公式 ? ? ? 1.数列 ? ? 定义 ? ? 等比数列 ? ?通项公式 ? ? ? ? ? ?

2.等差数列的前 n 项和公式是如何推导的? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an . [解析]

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a2 ? d ) ???? ? (an?1 ? d ). ① Sn ? an ? (an ? d ) ? (an?1 ? d ) ???? ? (a2 ? d ). ②

由①+②得到

2Sn ? (a (a ? n a ) ? 1 ( a ? ? n a? ). 1 ? a n )? 1 n a )? ? ? 1 ?(a ? n(a1 ? an ).

由此得到,等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?

n(a1 ? an ) . 2

设计意图:回顾、思考、复习等差数列求和方法是为类比等比数列求和做铺垫. 二、问题情境 张强的爸爸是个数学迷。 在支付给张强生活费的过程中, 他提出了如下两个方案 (每月按 30 天计) . 方案一:每天 50 元,连续 30 天.
(第五批普通中学县级学科带头人评选)片段教学教案

第 1 页 共 1 页

方案二:只支付前 10 天,但有如下要求: 第一天支付 2 元,第二天支付 4 元,以后每天所支付的钱数都是前一天的 2 倍,一直到第 10 天为止. 你认为应该按照哪种方案支付? 设计意图:感受数学问题的情景化、趣味化的同时引发思考,展开自己的思维分析.选择学生每月的 生活费支付问题,是因为这个问题贴近学生生活,是培养学生将数学学习放眼生活,用生活眼光看数学 的思维品质的一个很好例子.设置方案一又能为公比为 1 的特殊等比数列求和作铺垫. 三、讲授新课 【探究一】:如果按方案二支付,一共需要支付多少钱? 问题 1:你能建立方案二的数学模型吗? 问题 2:能否借助等差数列的求和方法来解决这个问题? 问题 3:等比数列的本质特征是什么? 问题 4:如何构造相同项? 问题 5:怎样才能消除差异? [解析] 方案一: T30 ? 30 ? 50 ? 1500(元) 方案二: S10 ? 2 ? 22 ? 23 ???? ? 210. ① ②

2S10 ?

22 ? 23 ? 24 ???? ? 211.

由①-②,得 ?S10 ? 2 ? 211 ,即 S10 ? 211 ? 2 ? 2046(元) 建议:你建议应该按照哪个方案支付生活费? 设计意图:观察、讨论、探究,欲解决这个问题,但苦于没思路,学生会试图找规律,归纳结果. 在师生相互交流中思维逐步展开,动笔演算,感受类比、方程思想和错位相减法的奥妙,体会数学的应 用价值,同时感受了错位相减法的优势.同时,教育学生勤俭生活,在课堂教学中渗透德育教育。 在类比等差数列求和方法的基础上, 学生自然会联想等比数列是不是也可以用倒序相加法求和?学生 进行尝试发现是行不通的,在此情景下引领学生透过现象看本质,如何在等比数列前 n 项和中构造相同 项,从而化繁为简是解决问题的关键.引导学生抓住等差数列求和是根据定义,由公差 d 切入.自然,等 比数列求和也应根据定义,由公比 q 来探究.这样一来,等式两边为何乘 ,迎刃而解.通过如上分析,学 生也体会到:这两种数列求和公式的推导方法,从数学思想上来讲是一致的,将差异项转化为相同项, 再消除差异,只是具体的处理形式略有差异.正是由于这些异同,学生数学思维深刻性、广阔性等品质就 得到了提高,思维能力得到了锻炼. 【探究二】:设等比数列 {an } 首项为 a1 ,公比为 q ,如何推导等比数列的前 n 项和公式? [解析]

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an .

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ???? ? a1qn?1. q ? Sn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ???? ? a1qn?1 ? a1qn

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
(第五批普通中学县级学科带头人评选)片段教学教案

第 2 页 共 2 页

a1 (1 ? q n ) ∴当 q ? 1 时, S n ? , 当 q ? 1 时, S n ? na1 . 1? q
? na1 , (q ? 1) ? n ? Sn ? ? a ( 1 1? q ) ? 1 ? q , ( q ? 1). ? ? na1 , (q ? 1) ? n 由 Sn ? ? a , an ? a1 ? qn?1 ,可得 ( 1 1? q ) , ( q ? 1) ? 1? q ?
[板书] 等比数列前 n 项和公式

?na1 , (q ? 1) ? Sn ? ? a1 ? an q ? 1 ? q , (q ? 1). ?

?na1 , (q ? 1) ? n (1) S n ? ? a ( 1 1? q ) ? 1 ? q , (q ? 1). ?

? na1 , (q ? 1) ? (2) S n ? ? a1 ? an q ? 1 ? q , (q ? 1). ?

问题 1:构造相同项时两边除了可以乘以 q ,还可不可以除以 q ,或乘以 q 2 ? 问题 2:回顾推导过程是否存在漏洞? 问题 3:根据等差、等比数列的求和方法,你对数列求和是否有了新的认识? 问题 4:你还能用其他的方法来推导等比数列的前 n 项和公式吗? 设计意图:在教师指导下,从特殊到一般,从已知到未知,步步深入,合作探究公式,体验到学习 的愉快和成就感.受引例的启发,基本能用错位相减法推导出结果,但不完善,在老师的提示下,经历分 类讨论的思维过程.感受问题教学对数学思维的训练, 通过积极主动的课堂数学思维活动的参与, 进一步 提升自己认知结构的深刻性和广泛性, 增强自己的数学运算能力,经历数学发现的过程, 体会数学建构所 带来的成就感. 设计问题 1 是让学生体会错位相减法的本质所在 .设计问题 2 是预设学生会直接得到, 让学生体验 剖析这个易错知识点,进而更好掌握公式! 由于本节课的重点难点在于用错位相减法推导公式,所以问 题 4 留于学生课后探索.这样设计的意图在于通过不同推导方法的研究,培养学生的发散思维. 四、例题分析 例 1.求下列等比数列前 8 项的和.(教材 例 1)

1 1 1 1 (1) , , , ??? ; (2)a1 ? 27, a9 ? , q ? 0. 2 4 8 243
1 1 解:(1)? a1 ? , q ? , n ? 8 2 2
1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? ? S8 ? ? 1 1? 2
8

? ? 255 ? . ? ?

256

(2)由a1 ? 27, a9 ?

1 1 ? 27?q8 . , 可得 243 243
? ? 1 ?8 ? 27 ?1 ? ? ? ? ? 1640 ? ? 3? ? ? ? . ? ? S8 ? 81 1 1 ? (? ) 3
第 3 页 共 3 页

1 又由q ? 0, 可得 q ? ? . 3

(第五批普通中学县级学科带头人评选)片段教学教案

变式 1:等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ? ,前多少项的和是

2 4 8 16

63 ; 64

变式 2:等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ? ,求第 4 项到第 8 项的和;

2 4 8 16

变式 3:等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? ,求前 2 n 项中所有偶数项的和.

2 4 8 16

设计意图:由课本中的例题及对例题的改编而组成,采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认 识和理解,通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点.这三个层次的问题解决,进一步渗透求和 公式中五个量知三求二的方程思想, 促进学生新的数学认知结构的形成.通过以上形式, 让全体学生都参 与教学,以此培养学生的参与意识和竞争意识.另一方面,进一步深化对等比数列性质的理解. 五、课堂练习 1.根据下列各题中的条件,求相应的等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn .(教材 练习 第 1 题)

(1) a1 ? 3, q ? 2, n ? 6 ;
2 .求和 x ? x ? x ? ??? ? x
2 3

1 1 (2) a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? . 3 90
n ?1

? xn .

分析:公比是字母,分 q ? 1 和 q ? 1 两种情况讨论. 设计意图:深化对公式的理解和应用,掌握分类讨论数学思想. 六、课堂小结 这节课我们学习了哪些知识?你最大的收获是什么? 1.等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用; 2.灵活运用等比数列求和公式进行求和,求和时注意公比 q . 设计意图:回忆总结所学知识,加深印象.整理、归纳所学知识,完善学生认知结构和知识体系,以 此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力. 七、课后作业 1.必做:教材 习题 2.5 A 组 第 1(1)、(2)题; 2.选做:求和 x+ 2x
2

+3x3 +?+ nxn .

设计意图:设计选做题的目的是注重分层教学,让学有余力的学生有思考的空间.

【板书设计】
§2.5 等比数列的前 n 项和 多 媒 体 屏 幕 1、公式:(1) (2)
情境导入 草 稿 变式题

例1 公式的推导过程

【教后反思】

(第五批普通中学县级学科带头人评选)片段教学教案

第 4 页 共 4 页



更多相关文章:
2.5 等比数列前n项和教案
§2.5 等比数列的前 n 项和授课类型:新授课 (2 课时) ●教学目标 知识与技能: 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路; 会用等比数列的前 n 项和公式...
2.5 等比数列的前n项和 教学设计 教案
2.5 等比数列的前n项和 教学设计 教案。教学准备 1. 教学目标知识目标 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路 技能目标 会用等比数列的前 n 项和公式...
2.5 等比数列的前n项和(1)教案
2.5 等比数列的前n项和(1)教案_数学_高中教育_教育专区。2.5 等比数列的前n项和(1)教案新人教A版必修5赛课有相应的学案、课件 ...
§2.5等比数列前n项和公式教学设计
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...§2.5等比数列前n项和公式教学设计_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§2.5 等比...
2.5 等比数列的前n项和教学案 6-公开课-优质课(人...
2.5 等比数列的前n项和教学案 6-公开课-优质课(人教A版必修五精品)_...教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等?? 教学过程 导入新课 师 你知道我...
§2.5等比数列的前n项和(2)学案
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...§2.5等比数列的前n项和(2)学案_语文_初中教育_教育专区。2015-2016 学年...
2.5等比数列前n项和
2.5等比数列前n项和_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§6.3.3 等比数列的前 n 项和一、教学目标: 1.知识目标:理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程...
§2.5等比数列的前n项和(1)学案
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...§2.5等比数列的前n项和(1)学案_语文_初中教育_教育专区。2015-2016 学年...
2.5等比数例的前n项和教案
课题: §2.5.1 等比数列的前 n 项和(1)教案 教材分析: 本节知识是必修 5 第二章第 5 节的学习内容, 是在学习完等差数列前 n 项和的基础上再次学 习的...
§2.5等比数列的前n项和(2)
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 高中...§2.5等比数列的前n项和(2)_数学_高中教育_教育专区。§2.5 等比数列的前 n...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图