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6.1不等关系与不等式



第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式

1.两个实数比较大小的法则 法则 关系 作差法则 a>b a=b a<b a-b>0 ______ a-b=0 a-b<0 ______ 作商法则
a a ?1 ? 1 _____(a,b>0) 或_____(a,b<0) b b a ? 1 (b≠0)

b a a ? 1 ?1 b _____(a,b>0) 或_____(a,b<0) b

2.不等式的基本性质
性质 性质内容 b<a a>b?____ a>c a>b,b>c?____ a+c>b+c a>b?________
a ? b? ac ? bc ? ? ________ c ? 0?

特别提醒

对称性
传递性

?
?

可加性

?
注意c 的符号

可乘性

a ? b? ac ? bc ? ? ________ c ? 0?

性质 同向可加性 同向同正 可乘性 可乘方性

性质内容
a ? b? a?c ? b?d ? ? ______________ c ? d? a ? b ? 0? ac ? bd ? ? _________ c ? d ? 0?
n n a ? b a ? b ? 0 ? ________

特别提醒 ? ?

(n∈N,n≥2)
a ? b a ? b ? 0 ? ________
n n

a ,b 同 为正数

可开方性

(n∈N,n≥2)

3.不等式的倒数性质
1 < (1)a>b,ab>0? 1 __ _ . 1 (2)a<0<b? 1 ___ < . a b a b

a > b ___ . c d 1 1 < 1 < (4)0<a<x<b或a<x<b<0? ___ ___ . b x a

(3)a>b>0,0<c<d?

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数,不等式仍然成

立.(

)
) )

(2)同向不等式具有可加性和可乘性.(

(3)若两个数的比值大于1,那么分子就大于分母.( (4)一个数越大,它的倒数不一定越小.( )

【解析】(1)错误.在一个不等式的两边同乘以一个正数时, 不等式仍然成立,同乘以一个负数时不等号改变方向 . (2)错误.同向不等式具有可加性,但不一定具有可乘性 . (3)错误.只有当分子和分母都是正数时,这个结论才成立 . (4)正确.例如,2<3时,有 1 > 1 ,但-2<2时,却有 - 1 < 1 .
2 3 2 2

答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

1.若a<0,-1<b<0,那么下列不等式中正确的是(
(A)a<ab2<ab (B)ab2<a<ab

)

(C)a<ab<ab2

(D)ab2<ab<a

【解析】选A.因为-1<b<0,所以b<0<b2<1,于是a<ab2<ab.

2.若a>1>b,下列不等式中不一定成立的是( (A)a-b>1-b (C)a-1>1-b (B)a-1>b-1 (D)1-a>b-a

)

【解析】选C.由a>1知a-b>1-b,故A正确;由a>b知a-1>b-1, 故B正确;由1>b知1-a>b-a,故D正确,C项错误,如当a=3, b=-3时,不成立.

3.x+y<2m的一个充分不必要条件是( (A)x<m或y<m (C)x<m且y>m (B)x<m且y<m (D)x<m或y>m

)

【解析】选B.由不等式的性质知,当x<m且y<m时必有x+y<2m, 但当x+y<2m时,不一定有x<m且y<m,如当x=1,y=5,m=4时就不成 立.

4.

3 ?

2与 7 ?

6 的大小关系是________.
1 3 ? 2 ,

【解析】因为 3 ? 2 ?
7 ? 6 ? 1 3 ? 2 1 7 ? ? 6

而 , 3 ?
1 6 , 即

2 ?

7 ?

6,

所以
答案:

7 ?

3 ? 2 ? 7 ? 6.

3 ?

2 ?

7 ?

6

5.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是________,
a2+b2的取值范围是________. 【解析】因为-2<a<-1,-3<b<-2,所以2<-b<3,于是0<a-b<2. 又因为1<a2<4,4<b2<9,所以5<a2+b2<13. 答案:(0,2) (5,13)

考向 1

用不等式(组)表示不等关系

【典例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需 要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需 工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2 小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和 500.写出满足上述所有不等关系的不等式.

【思路点拨】首先引进变量,然后根据题目所述的条件逐一用 变量和不等式表示,再组成不等式组即可 .

【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,
?x ? 2y ? 400, ? 2x ? y ? 500, 则由题意可知 ? ? ?x ? 0,x ? N, ? ?y ? 0,y ? N.

【拓展提升】文字语言与符号语言的转化 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应注意关 键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换,常见的 转换关系如下表: 文字 大于,高于, 小于,低于, 语言 超过 符号 语言 少于

大于等于,
至少,不低

小于等于,
至多,不超











【提醒】在不等式的应用题中,用不等式表示不等关系时,不
可忽略自变量的限制条件.

【变式训练】将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各
边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满 足的不等关系.

【解析】各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于 零即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)

>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只
需最长边对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,

故x应满足的不等关系如下:
?5 ? x ? 0, ? ?(5 ? x ) ? (12 ? x ) ? 13 ? x, ?(5 ? x )2 ? (12 ? x )2 ? (13 ? x )2 . ?

考向 2

比较大小
3 的大小. 1?a

【典例2】(1)若实数a≠1,比较a+2与
4

(2)已知 ? ? (0, ? ), 且a=cos 2θ ,b=cos θ -sin θ ,试比较a与
b的大小.

【思路点拨】(1)运用作差法进行比较,同时注意对实数a进行
讨论.(2)由于作差法不易比较,且a与b均为正数,可用作商法

比较.

【规范解答】(1)(a ? 2) ?

3 (a ? 2)(1 ? a ) ? 3 ? 1?a 1?a

?a 2 ? a ? 1 a2 ? a ? 1 ? ? , 1?a a ?1

由于 a 2 ? a ? 1 ? (a ? 1 )2 ? 3 ? 3 ? 0,
2 4 4

a2 ? a ? 1 所以当a>1时, ? 0, 有 a ? 2 ? a ?1

3 ; 1?a

2 a 当a<1时, ? a ? 1 ? 0, 有a ? 2 ? 3 . 1?a a ?1

(2)由于θ∈(0, ? ), 所以2θ∈(0,
4

? ), 2

故a=cos 2θ >0,且cos θ >sin θ,所以b>0.
2 2 a cos 2 ? cos ? ? sin ? 而 ? ? b cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? sin ? ? 2sin(? ? ), 4 ? ? 由于 ? ? (0, ), 所以? ? ? ( ? , ? ), 4 4 4 2 故 sin(? ? ? ) ? ( 2 ,1), 4 2 ? 2sin(? ? ) ? 1, 2 , 4 a 即 ? 1, 故必有a>b. b

?

?

【互动探究】本例题(2)中,若将θ 的取值范围改为:
θ ∈( ? , ? ),那么a与b大小关系如何?
4 2

【解析】由于θ∈ ( ? , ? ),所以2θ? ( ? , ?),
4 2 2

故a=cos 2θ<0,且cos θ<sin θ,所以b<0.
2 2 a cos 2 ? cos ? ? sin ? 而 ? ? b cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? sin ? ? 2sin(? ? ), 4 由于 ?? ( ? , ? ),所以? ? ? ? ( ? , 3? ), 4 2 4 2 4 故 sin(? ? ? ) ? ( 2 ,1), 4 2 ? 2sin(? ? ) ? 1, 2 , 4 即 a ? 1, 故必有a<b. b

?

?

【拓展提升】 1.作差法比较大小的方法步骤 ①作差:有的可直接作差,有的需转化后才可作差;②变形: 目的是判断差的符号,通常进行通分、因式分解、配方、分子 (分母)有理化等变形,有时还要根据字母取值范围进行讨论以 判断差的符号;③定号:若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b等; ④得结论.

2.作商法比较大小的注意事项
利用作商法比较大小要注意分清所研究变量的正负,然后根据: 若 a >1,b>0,则a>b;若 a >1,b<0,则a<b的原则进行判断.
b b

【变式备选】设x>5, P ? x ? 4 ? x ? 5,Q ? x ? 2 ? x ? 3,
则P与Q的大小关系是________. 【解析】P ? x ? 4 ? x ? 5 ?
Q ? x ?2 ? x ?3 ? 1 , x ?4 ? x ?5

1 , x ?2 ? x ?3

而 x ? 4 ? x ? 5 ? x ? 2 ? x ? 3, 所以必有P>Q. 答案:P>Q

考向3

不等式的性质及其应用 )

【典例3】(1)(2013·北京高考)设a,b,c∈R,且a>b,则( (A)ac>bc (C)a2>b2 (B) <
1 a 1 b

(D)a3>b3

(2)(2013·天津高考)设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“a<b”的 ( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
2 ? 1 的取值范围是_______. x

(3)已知-3<2x-1<1,则

【思路点拨】(1)可直接利用不等式的性质,也可采用排除法 (利用特值)求解. (2)根据充分、必要条件的定义进行判断,利用不等式性质肯定 一个结论,或取特殊值否定一个结论. (3)先求出x的范围,再求 1 的范围,从而求出 2 ? 1 的取值范围.
x x

【规范解答】(1)选D.A选项,当c<0时,ac<bc,故A不正确;B选项,

当a>0>b时,显然B不正确;C选项,当a=1,b=-2时,a2<b2,C不正确;
D选项,因为y=x3是单调增函数,当a>b时,有a3>b3,D是正确的.

(2)选A.(a-b)·a2<0,则必有a-b<0,即a<b;而a<b时,不能推出
(a-b)·a2<0,如a=0,b=1,所以“(a-b)·a2<0”是“a<b”的

充分而不必要条件.
(3)由-3<2x-1<1,得-1<x<1,所以
2 2 2 ? 2,故 ? 1 ? ?3或 ? 1 ? 1. x x x 1 <-1或 1 ? 1,于是 2 ? ?2 或 x x x

答案:(-≦,-3)∪(1,+≦)

【拓展提升】 1.判断命题真假的三种方法 (1)直接运用不等式的性质法:把要判断的命题和不等式的性 质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,然后进行推理判断 . (2)利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性法:当直接利 用不等式性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、 幂函数的单调性等进行判断. (3)取特殊值法:即给要比较的几个式子中涉及的变量取一些 特殊值进行比较、判断.

2.正确运用倒数法则求范围 涉及“取倒数求范围”等问题时,注意倒数法则的正确运用 . 一般地: ①若x>a,a>0,则 0 ? 1 ? 1 . ②若x>a,a<0,则 1 ? 1 或 1 ? 0.
x x a ③若x<a,a<0,则 1 ? 1 ? 0. a x ④若x<a,a>0,则 1 ? 0或 1 ? 1 . x x a x a

【变式训练】(1)下列命题中为真命题的是________.
①若a>b,则 alg 1 ? blg 1 ;
2 2

②若a>b>0,c>d>0,则 a 2 ? d ? b2 ? c;
③若a>b,且a,b∈R,则 ( 1 )a ? ( 1 ) b ;
3 3

④若α ∈[-π , 2 ? ],则1-sin α >0.
3

【解析】由于 lg 1 ? 0, 所以①是错误的;由于a>b>0,c>d>0,所
2

以 a 2 ? b2 ? 0, c ? d ? 0, 所以 a 2 ? c ? b2 ? d, 故 a 2 ? d ? b2 ? c, 所以②正确;由于函数 y ? ( ) x 是减函数,a>b,所以( 1 )a ? ( 1 ) b , 故③正确;当 ? ? ? 时,1-sin α=0,故④不正确.
2 3 3 1 3

答案:②③

(2)若1<α <3,-4<β <2,则α -|β |的取值范围是_______. 【解析】因为-4<β<2,所以0≤|β|<4,于是-4<-|β|≤0, 又1<α<3,所以-3<α-|β|<3. 答案:(-3,3)



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