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安徽省淮南市2014届高三第二次模拟考试数学(理)试题(扫描版)



2014 届高三第二次检测数学参考答案 (理科)

一、选择题 1. 复数概念、运算的简单考查 B 2. 集合、简易逻辑的概念考查 A 3. 三角函数图象 A 4.算法,循环/选择结构 C 5.古典概型 B 6. 函数与方程,数形结合,切线问题 D 7. 线性规划,点到直线的距离,转化的思想 B 8. 双曲线几何量 C 9. 可以裂项求和。B 10

.均值定理 审题 C 二、填空题 11. 二项式,赋值法,通项 12. 扇形与圆锥
[来源:Zxxk.Com] [来源:学科网]

答案 40

2 2? 3

13. 极坐标,直线的参数方程。(3,1) 14. 等差数列的考查,数表的观察能力 12

aij ? i ? 1 ? ( j ? 1)i ? ij ? 1 , ij ? 72 ? 23 ? 32
15.空间向量的坐标运算(1) (3) (5) 三、解答题 16. 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? . 所以 cos

B ? ? ? ,所以 B ? . 2 6 3 2 2 由余弦定理 b ? a ? c 2 ? 2ac cos B , 得 c 2 ? 3c ? 2 ? 0 . 解得 c ? 1 或 c ? 2 . (2) f ? A ? ? sin A( 3 cos A ? sin A)

A?C ? ?B B 1 ? cos ? sin ? . 2 2 2 2
………………3 分

………………6 分

3 1 ? cos 2 A sin 2 A ? 2 2 ?? 1 ? ? sin ? 2 A ? ? ? . 6? 2 ? ? 2? ? 2? 由(1)得 B ? ,所以 A ? C ? , A ? ? 0, 3 3 ? 3 ?

………………9 分

? ?, ?

? ? 3? ? ?? , ? . 6 ?6 2 ? ?? ? ∴ sin ? 2 A ? ? ? ( ?1,1] . 6? ? ? 3 1? ∴ f ? A? ? ? ? , ? . ? 2 2? ? 3 1? ∴ f ? A ? 的取值范围是 ? ? , ? . ………………12 分 ? 2 2? 17.解: (1)? E 分别为 PC 的中点,DE=EC=PE ∴Δ P D C 为直角三角形 · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∴ CD ⊥ PD
则 2A ? 又 CD ⊥ AD, ∴CD ⊥ 面PAD

?

[来源:学,科,网]

∴ CD ⊥ PA

又 PA⊥ AD, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 并由(1)知

? 平面 PA ⊥平面 ABCD
(2) 因 AB // CD, CD ? AB

法一:建系 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴,

a B(1,0,0), D(0,2,0) P(0,0, a) , C (2,2,0) , E (1,1, ) 2

· · · · · · ·.7 分

平面 BCD 法向量 n1 ? (0, 0,1) ,平面 EBD法向量 n2 ? (2a, a,?2) · · · · · · · · · ·9 分

cos? ?

1 2 ?( , ) ,可得 a ? ( 2 5 , 2 15 ) . · · · · · · · · · · · · ·1 2 分 2 2 5 5 5a ? 4
2

2

法二: 取 CD 中点为 F,连 AC 交 BF 于点 K ,四边形 ABCF 为平行四边形, 所以 K 为 AC 的中点, 连 EK , 则 EK // PA , EK ? 面 ABCD , BD ? EK , 连 EH , 则 BD ? EH , ?EHK 即为所求 作 KH ? BD 于 H 点,所以 BD ? 面 EKH , · · · · · · · · · · · · · 9分

a 1 2 1 2 ? 5a ? (1, 3 ) ? 在 Rt ?EHK 中, HK ? ? , tan? ? 1 2 2 5 5 5

解得 a ? (

2 5 2 15 , ) 5 5

· · · · · · ·12 分

18.解:(1)设 B 试卷选 m 道试题,

2 cm 2 m(m ? 1) 2 ? ,? m ? 4 , ? ,? 2 30 5 c6 5

即 A 试卷选 2 道试题,B 试卷选 4 道试题, (2) 由题意知随机变 量 X 取 0, 1,2
2 c4 6 p( x ? 0) = 2 ? , c6 15
1 c1 8 2 c4 p( x ? 1) = 2 ? 15 c6

2 c2 1 p( x ? 2) = 2 ? c6 15

带入公式得 Ex ?

2 3

19. 解:(1) a1 =

f1 (0) - 1 1 a n ?1 = , f1 (0) + 2 4 a n

2 -1 f n ( 0) ? 1 f n ?1 (0) - 1 1 - f n (0) 2 ?2 f (0) ? 2 f ( 0) ? 1 2 f n (0) ? 4 1 ? n ?1 ? n ? ?f n (0) - 1 f n (0) - 1 f n (0) - 1 2 f n (0) ? 2 f n (0) ? 2 f n (0) ? 2

1 n+1 ∴a n = (- ) 2
(2) b n = 2 n , g (b n ) = 1+

1 1 1 + + ?+ n 2 3 2

只要证: 1+

1 1 1 n+ 2 + + ?+ n ≥ 2 3 2 2

下面用数学归纳证明:

n = 1时,1+

1 1+ 2 = ,结论成立 2 2

假 设 n=k,( k ? 1 )成立, 1+

1 1 1 k+ 2 + + ?+ k > 2 3 2 2

那么:n=k+1, 1+

1 1 1 1 1 k+ 2 1 1 + + ?+ k + k + ?+ k+1 > + k + ?+ k+1 2 3 2 2 +1 2 2 2 +1 2

>

k+ 2 1 1 1 k+2 1 k+3 + k+1 + k+1 ?+ k+1 > + k+1 2 k = , 2 2 2 2 2 2 2

所 以 n ∈ N,结论成立 20.解:(1)若直线 AB 无斜率,直线方程 x=0,A(0,1)满足要求 若直线 AB 有斜率,设直线方程 y=kx-1,联立方程得 , x2 4k 4k 2 2k 2 - 1 + k 2 x 2 - 2kx = 0 ∴ x A = , y = 1 = A 2 1+ 2k 2 1+ 2k 2 1+ 2k 2

中点坐标为

1 2k -1 ( , ) ∴k = 2 2 2 1+ 2k 1+ 2k
1 ∴ y = - x -1 2

∴ 直线方程
(2)

,设点 为曲线上任一点 -1 ) 4 1 , B(0, P(x 0,y0) A(- , - ) 3 3 与直线 y=x 联立得 1 4 y0 - x0 ∴xM = 1 4 3 3( x0 - y0 + 1) y? ? (x ? ) 4 3 3 x0 ? 3

直线 AP 的方程是

y0 ?

同理得:直线 BP 的方程是

y 0 + 1 与直线 y + 1= x x0

y=x 联立得

∴x N =

x0 - x0 + y0 + 1

∴OM ? ON = xM xN + yM yN =



4 y0 - x0 x0 4 × = 3( x0 - y0 + 1) - x0 + y0 + 1 3
2 . x

21. 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? 2 ln x( x ? 0) 则 f ' ( x) ? 1 ? 令 f ( x) ? 0 得 x ? 2 ;令 f ( x) ? 0 得 0 ? x ? 2
' '

故 f ( x) 的单调递减区间为 ? 0, 2? ,单调递增区间为 ? 2, ?? ? (2)∵函数 f ( x) ? 0 在区间 ? 0,

……………3 分

? ?

1? ? 1? ? 上不可能恒成立,故要 使函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上无零点,只要对 2? ? 2?

1 1 2 ln x 恒成立。……4 分 ?x ? (0, ) , f ( x) ? 0 恒成立。即对 ?x ? (0, ) , a ? 2 ? 2 2 x ?1

2 2 ? ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 2 ln x 1 ' x ? 令 l ( x) ? 2 ? ( x ? (0, ) )则 l ( x) ? x ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 x ?1 2
再令 m( x) ? 2 ln x ?

2 2 2 ?2(1 ? x) 1 ' ,∵ x ? (0, ) ,∴ m ( x) ? 0 ? 2 ,则 m' ( x) ? ? 2 ? 2 x x x x 2 1 1? ? 上单调递减,∴ m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 2 2?

故函数 m( x) 在区间 ? 0,

? ?

即 l ( x) ? 0 ,∴函数 l ( x) 在区间 ? 0,
'

? ?

1 1? ? 上单调递增,∴ l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2 2 2?

…6 分

故只要 a ? 2 ? 4 ln 2 函数 f ? x ? 在区间 ? 0,
' x '

? ?

1? ? 上无零点,所以 amin ? 2 ? 4 ln 2 2?

…7 分

(3)∵ g ( x) ? e ? 1 ,当 x ? ? 0,1? , g ( x) ? 0 ,∴函数 g ( x) 在区间 ? 0,1? 上是增函数。

∴ g ( x) ? ? 2, e ? 当 a ? 2 时, f ( x) ? ?2 ln x ,不符题意 当 a ? 2 时, f ' ( x) ?? 2 ? a ? 当x?

………8 分

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

2 (2 ? a) x ? 2 ? x x

2 2 时, f ' ( x) ? 0 ,由题意有 f ( x) 在 ? 0, e ? 上不单调,故 0 ? ?e 2?a 2?a 2 ∴a ? 2? ① ……… 9 分 e 2 ? ? x 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 变化情况如右: ? 0, ? ? 2?a ?
又因为 x ? 0 时, f ( x) ? ??

2 2?a
0 最小值

? 2 ? , e? ? ? 2?a ?
+ 单调递增

f ' ( x)
f ( x)

?
单调递减

2 2 f( ) ? a ? 2 ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2 2?a 2?a
所以,对于给定的 x0 ? ? 0,1? ,在在 ? 0, e ? 上总存在两个不同

的 xi (i ? 1, 2) ,使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,当且仅当满足下列条件

2 ? )?2 2 ?f( 即 a ? 2 ln ? 2 ② (2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? e ③ ? 2?a 2 ? a ? ? f (e) ? e
令 h(a ) ? a ? 2 ln

………11 分

2 2 a ' , 令 h (a ) ? 0 ,得 a ? 0 , a ? (??, 2 ? ) ,则 h ' (a ) ? 2?a e a?2
'

[来源:Z,xx,k.Com]

故 a ? (??, 0) 时, h (a ) ? 0 ,函数 h(a ) 单调递增

2 a ? (0, 2 ? ) 时, h ' (a ) ? 0 ,函数 h(a ) 单调递减 e 2 所以对任意的 a ? (??, 2 ? ) , h(a ) ? h(0) ? 0 ? 2 e
由③得 a ?

4?e 4?e? ? ④ , 由 ①④ 当 a ? ? ??, ? 时 , 在 ? 0, e? 上 总 存 在 两 个 不 同 的 xi (i ? 1, 2) , 使 得 1? e 1? e ? ?
………14 分

f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立



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