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2008年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷



2008 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷
考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟. 2 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4 本卷解答一律不准使用计算器. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题

4 分,满分 32 分,每小题有且仅有一个正确的答案)
2 1.若函数 y ? log a x ? ax ? 1 有最小值,则 a 的取值范围是

?

?

( D. a ? 2



A. 0 ? a ? 1

B. 0 ? a ? 2, a ? 1

C. 1 ? a ? 2

0 2. 设 a ? sin(sin 2008 ) , b ? sin(cos20080 ) , c ? cos(sin20080 ) , d ? cos(cos20080 ) ,则

a, b, c, d 的大小关系是
A. a ? b ? c ? d C. c ? d ? b ? a B. b ? a ? d ? c D. d ? c ? a ? b
*





n) ] 3 ?n 3. 函数 f ( x ) 是 (0, ??) 上的单调递增函数, 当 n ? N 时, f (n) ? N * , 且 f [f (

, 则 f (1) ) )

的值等于 ( A.1 B.2 C.3 D.4 4.5 名志愿者随意进入 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 ( A.

3 5

B.

1 15

C.

5 8

D.

50 81


2 2 5.已知圆 ( x ? 3) ? y ? 4 和过原点的直线 y ? kx 的交点为 P、Q,则|OP|·|OQ|的值为(

A.

5 1? k 2

B. 1 ? k

2

C.10

D.5 ( x? R ) ,且 ? x ? 2007 ( D.无数个 ( ) )

6 . 已 知 f ( x) ? x? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ?2007 ? x ?1 ?x ?2 ? ?

f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有
A.2 个 B.3 个 C.4 个

3 2 7. 设函数 f ( x) ? x ? 3x ? 6 x ? 14 ,且 f (a) ? 1, f (b) ? 19 ,则 a ? b ?

A.2

B.1

C.0

D. ? 2

8.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 2 7 和

4 3 ,M 、N 分别为 AB 、CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:

高二试卷

第 1 页 共 7 页

1

①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ③ MN 的最大值为 5 其中真命题为 A.①③④ B.①②③

②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ④ MN 的最小值为 1 ( C.①②④ D.②③④ )

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9 . 已 知 平 面 上 三 个 点 A 、 B 、 C 满 足 | A B? | 3 ,B | C ? |

? ? ??

? ? ??

? ? ?? 4C , |A ? ,| 则5

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ____________. AB ·B ? C B ·C ? C A· C A ? AB
10.右图的发生器对于任意函数 f ?x ? , x ? D 可制造出一 系列的数据,其工作原理如下:①若输入数据 x0 ? D , 则发生器结束工作;②若输入数据 x0 ? D 时,则发生 器输出 x1 ,其中 x1 ? f ?x0 ? ,并将 x1 反馈回输入端.现 定义 f ?x ? ? 2 x ? 1 , D ? (0,50) .若输入 x0 ? 1 ,那么, 当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 11.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f ( .
输入 x0

x0 ? x1
输出 x1

x1 ? f ( x0 ) x0 ? D
否 结束 是

(第 10 题图)

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 2 x ? 2x ? 1

x 的取值范围为

. y

O

1

x

(第 11 题) 12. 从 m 个男生, n 个女生( 10 ? m ? n ? 4 )中任选 2 个人当组长,假设事件 A 表示选出的 2 个人性别相同,事件 B 表示选出的 2 个人性别不同.若 A 的概率和 B 的概率相等,则 ? m, n ? , 的可能值为 13.若关于 x, y 的方程组 ? 为 . . .

? ax ? by ? 1 有解,且所有的解都是整数,则有序数对 ? a, b ? 的数目 2 2 x ? y ? 10 ?

14.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an?1 ? an ? 1 ? 2 1 ? an (n ? 1,2,?) ,则 an =___

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第 2 页 共 7 页

2

2008 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分,每小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9.________________________ 11._______________________ 13._______________________ 10.__________________________ 12.__________________________ 14.__________________________

三、解答题(本大题共 3 小题,第 15 题 8 分,第 16、17 题各 12 分,满分 32 分. 要求写出 必要的解答过程)
15.已知函数 f ?x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a ( a 为常数) . (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最小正周期,并指出其单调减区间; (Ⅱ)若函数 f ?x ? 在 ?0, ? 上恰有两个 x 的值满足 f ?x ? ? 2 ,试求实数 a 的取值范围.

? ?

??
2?

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第 3 页 共 7 页

3

16.已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1 ,.关于 x 的方程 x2 ? an?1 sin(cos x) ? (2an ? 1)sin1 ? 0 有唯一解. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 s n ; (3) 设 cn ? [1 ?

1 ]n ,求证: cn ? 3 . log 2 (an ? 1)

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第 4 页 共 7 页

4

17. 是否存在一个二次函数 f ( x) , 使得对任意的正整数 k , 当 x ? 55 都有 f ( x) ? 55 ? 5 ? 5 时, ? ? ? ? ? ?
k个 5 2 k个5

成立?请给出结论,并加以证明.

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第 5 页 共 7 页

5

2008 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试题参考答案
一、选择题(本题共 8 小题, 满分 32 分,每小题 4 分 ,每一小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1 C

2 B

3 B

4 D

5 D

6 D

7 D

8 A

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9 . -25

10. 5
14. an ? n 2 ? 1

11. x ?[?2, 1)

12. (10,6).

13. 32 。

三、解答题(本大题共 3 小题,第 15 题 8 分,第 16、17 题各 12 分,共 32,分. 要求有必要的 解答过程.)
15.解: f ?x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a = = (Ⅰ) T ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? a 2

当 2 k? ?

2? ?? 2 ?
2

3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? a ? = sin(2 x ? ) ? a ? 6 2 2 2 2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

3? (k ? Z ) 2

k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? 3

? x ? [ k? ?

?
6

,k? ?

2? ]k(? Z 为单调减区间 ) 3

? ? 上恰有两个 x 的值满足 f ?x ? ? 2 , (Ⅱ)∵若函数 f ?x ? 在 ?0,  ? 2? ? ?
∴ sin(2 x ? ∵ ?0,  ? 2? ? ? ∴

?

1 ) ? a ? =2 6 2
∴ 2x ?

∴ sin(2 x ?

?
6

)?

3 ?a 2

??

?
6

?[ , ] 6 6

? 7?

1 3 ? ? a ? 1 时有两解 2 2



1 ? a ?1 2

16.解:(1) 设 f ( x) ? x2 ? an?1 sin(cos x) ? (2an ? 1)sin1 ,显然 f ( x ) 是偶函数.

? 关于 x 的方程 x2 ? an?1 sin(cos x) ? (2an ? 1)sin1 ? 0 有唯一解, ? x ? 0 是方程 x2 ? an?1 sin(cos x) ? (2an ? 1)sin1 ? 0 的唯一解, ? 02 ? an?1 sin(cos0) ? (2an ?1)sin1 ? 0 ,即 an?1 ? 2an ? 1 .

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,? an ?1 ? 2n-1 (a1 ?1) ? 2n ,? an ? 2n ?1.(n ? N * ) .
高二试卷 第 6 页 共 7 页 6

(2) sn ? 1? (21 ?1) ? 2 ? (22 ?1) ? ...... ? n ? (2n ?1)

? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ...... ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? ... ? n)
n( n ? 1 ) ? . 2 2 1 n 1 1 1 1 n 1 n (3) cn ? (1 ? ) ? 1 ? cn ? ...... ? cn ( ) ? 2 ? ? ..... ? n n n 2! n! 1 1 1 n ?1 < 2 ? 1 ? ..... ? n -1 < 2 ? 1 ? ( ) < 3 . 2 2 2 ? (n - ? 1 )n ?1 ? 2
17、解:设存在符合条件的二次函数.

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,
则当 k ? 1,2,3 时有: f (5) ? 25a ? 5b ? c ? 55 ①;

f (55) ? 3025 a ? 55b ? c ? 5555 ②; f (555) ? 308025 a ? 555b ? c ? 555555③.
9 9 , b ? 2, c ? 0 .于是, f ( x) ? x 2 ? 2 x 5 5 9 2 下面证明:二次函数 f ( x) ? x ? 2 x 符合条件. 5
联立①、②、③,解得 a ? 因为 55 ? 5?5 ( 1 ? 10 ? 100 ? ? ? 10k ?1 ) ? ? ? ?
k个5

5 k (10 ? 1) , 9

同理: 55 ? 5? ? ? ?
2 k个 5

5 2k (10 ? 1) ; 9

5 9 5 5 f (55?5) ? f ( (10k ? 1)) ? [ (10k ? 1)]2 ? 2 ? (10k ? 1) ??? 9 5 9 9 k个 5
? 5 5 5 5 (10 k ? 1) 2 ? 2 ? (10 k ? 1) ? (10 k ? 1)(10 k ? 1) ? (102 k ? 1) ? 55 ? 5. ? ? ? 9 9 9 9 2 k个 5

所以,所求的二次函数 f ( x) ?

9 2 x ? 2 x 符合条件. 5

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