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解三角形复习课(2)



正弦定理
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径)
a ? ?a ? 2 R sin A (sin A ? 2 R ) ? b ? ) ?b ? 2 R sin B (sin B ? 2R ? c ? ?c ? 2 R sin C (sin C ? 2 R ) ?

a : b : c ? sin A : sin B : sin C

余弦定理
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

推论 b2 ? c2 ? a 2 cos A ? 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac a 2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab

三角形面积公式

1 s ? ab sin C 2 1 ? bc sin A 2 1 ? ac sin B 2

解决已知两边及其夹角求三角形面积

课 堂 练 习

(1)在?ABC中,已知a ? 4,b ? 4 2,B ? 45o,求?A (2)在?ABC中,已知三边长AB=7,BC=5,AC=6,求 cos B
3.在?ABC中, 如果c 2 ? a 2 ? b 2 , 则?ABC是_____三角形

本章知识框架图
正弦定理 解 三 角 形 余弦定理

典型例题

例 在?ABC中,a 2 ? ( b b ? c),求A与B满足的关系





例 在?ABC中,a 2 ? ( b b ? c),求A与B满足的关系
解:由已知a 2 ? ( b b ? c) ? a 2 ? b 2 ? bc,移项得:b 2 ? a 2 ? ?bc

由余弦定理:a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bccosA,移项: 2bccosA=b2 ? a 2 ? c 2
? 2bccosA=-bc+c2, 2b cos A ? ?b ? c
由正弦定理:2 ? 2RsinB cos A ? ?2R sin B ? 2R sin C

2sinB cos A ? ? sin B ? sin C ? ? sin B ? sin (A ? B) ? ? sin B ? sin A cos B ? sin B cos A

sin B ? sin A cos B ? sinB cos A ? sin (A ? B)
? B ? A ? B或B ? (A ? B) ?? (舍去)

即A与B满足的关系为A ? 2B

本题启示

典 型 例 题
7 例 在?ABC中,已知A、B、C所对的边分别是a、b、c,边c ? , 2 且 tan A ? tan B ? 3 tan A ? tan B ? 3,又?ABC的面积为 S ?ABC ? 3 3 ,求a ? b的值 2

7 例 在?ABC中,已知A、B、C所对的边分别是a、b、c,边c ? , 2 且 tan A ? tan B ? 3 tan A ? tan B ? 3,又?ABC的面积为 S ?ABC ? 3 3 ,求a ? b的值 2

解:由已知 tan A ? tan B ? 3(tan A ? tan B ? 1)
tan A ? tan B 得 tan (A ? B) ? ? ? 3, ?C ? 60o 1 ? tan A ? tan B

? S?ABC

1 3 3 ? ab sin C ? , ? ab ? 6 2 2

由余弦定理得:c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
2 c2 ? (a ? b) ? 2ab ? 2ab cos C

代入计算得:a ? b ?

11 2

本章知识框架图
正弦定理 解 三 角 形 余弦定理 应 用 举 例

求解三角形应用题的一般步骤:

1、分析题意,弄清已知和所求;
2、根据提意,画出示意图; 3、将实际问题转化为数学问题,写出已知所求; 4、正确运用正、余弦定理。

应用举例
某渔船在航行中遇险发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后 立即测出该渔船在方向角为北偏东45o,距离10海里的C处, 渔船沿着方位角为105o的方向以v海里 / 小时的速度向小岛靠拢, 我海军艇舰立即以4v海里 / 小时的速度前去营救。设艇舰在B处 与渔船相遇,求AB方向的方位角的正弦值
C

方 向 角 方 位 角
A

B

图2

方向角和方位角的区别



南偏东45

o

西



45o



方向角

一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南

方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指 锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度.

方位角和方向角的区别



方位角120o
西

120o




方位角

从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平

角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为0°~360°

Q
P C

105o
v
B

45o 10
4v
A

BC AB 解:由正弦定理得, ? sin ?CAB sin ?ACB

vt 4vt ? sin ?CAB sin120 o

61 3 cos ? CAB ? 解得 sin ?CAB ? 8 8 ?sin ?PAB ? sin (?CAB ? 45o) ? sin ?CAB cos 45 o ? cos ?CAB sin 45 o
? sin ?PAB ? 6 ? 122 16

答:AB方向的方位角的正弦值为

6 ? 122 。 16

本章知识框架图
正弦定理 解 三 角 形 余弦定理 应 用 举 例

课堂小结
1、正弦定理、余弦定理的简单应用; 2、利用正、余弦定理、三角形面积公式解

三角形问题;
3、解三角形的实际应用问题



谢!

变 式 训 练

在?ABC中,已知(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab, 且2 cos A sin B ? sin C , 试确定?ABC的形状

变 式 训 练

在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c, tan C ? 3 7 ()求 1 cos C ??? ? ??? ? 5 (2)若CA ? CB ? ,且a ? b ? 9,求c 2

典型例题

例 在?ABC中,a 2 ? ( b b ? c),求A与B满足的关系
本题启示:由正弦定理、余弦定理进行边角转化
一般的,如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式, 要多考虑用余弦定理;反之,若是遇到的式子含角的正弦和 边的一次式,则大多用正弦定理.



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