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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第8章 第6节 抛物线



第八章

第六节

一、选择题 1.(文)(2013· 江西吉安模拟)若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则 点 P 的轨迹方程为( A.y2=8x C.x2=8y [答案] C [解析] 由题意知点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,因此点 P 到点 F(0,2)的距离与

到直线 y+2=0 的距离相等, 故点 P 的轨迹是以 F 为焦点, y=-2 为准线的抛 物线,∴P 的轨迹方程为 x2=8y.选 C. (理)(2013· 东北三校模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), P3(x3,y3)在抛物线上,且 2x2=x1+x3,则有( A.|FP1|+|FP2|=|FP3| C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| [答案] C p p p p [解析] 抛物线的准线方程为 x=- ,由定义得|FP1|=x1+ ,|FP2|=x2+ ,|FP3|=x3+ , 2 2 2 2 p p 则|FP1|+|FP3|=x1+ +x3+ =x1+x3+p,2|FP2|=2x2+p,由 2x2=x1+x3,得 2|FP2|=|FP1|+ 2 2 |FP3|,故选 C. 2.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 11 C. 5 [答案] A [解析] 直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离, 故本题化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P, 使得 P 到点 F(1,0) 和直线 l2 的距离之和最小, 最小值为 F(1,0)到直线 l1: 4x-3y+6=0 的距离, 即 dmin= =2,故选 A. [点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型. (1)点在抛物线外,利用两点间线段最短求最小值. ①已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准
-1-

) B.y2=-8x D.x2=-8y

) B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 D.|FP2|2=|FP1|· |FP3|

) B.3 37 D. 16

|4-0+6| 5

线的距离之和的最小值为( A. 17 2

) B.3 9 D. 2

C. 5 [答案] A

1 [解析] 抛物线 y2=2x 的焦点为 F( ,0),准线是 l,由抛物线的定义知,点 P 到焦点 F 2 的距离等于它到准线 l 的距离, 因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之 和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值,结合 图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离. 因此所求的最小值等于 = 17 ,选 A. 2 1 ②(2013· 甘肃天水调研)已知 P 为抛物线 y= x2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 4 A 的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是________. [答案] 5-1 1 ? ?2+22 2

1 [解析] 如图,抛物线 y= x2,即 x2=4y 的焦点 F(0,1),记点 P 在 4 抛物线的准线 l:y=-1 上的射影为 P′,根据抛物线的定义知,|PP′| =|PF|, 则|PP′|+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|= 22+12= 5. 所以(|PA|+|PM|)min =(|PA|+|PP′|-1)min= 5-1. (2)定点在抛物线内,利用点到直线的垂线段最短求最小值. ③(2013· 河南洛阳、安阳统考)点 P 在抛物线 x2=4y 的图象上,F 为其焦点,点 A(-1,3), 若使|PF|+|PA|最小,则相应 P 的坐标为________. 1 [答案] (-1, ) 4 [解析] 由抛物线定义可知 PF 的长等于点 P 到抛物线准线的距离,所以过点 A 作抛物线 1 准线的垂线,与抛物线的交点(-1, )即为所求点 P 的坐标,此时|PF|+|PA|最小. 4 ④已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA|+|PF| 的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标. [分析] 抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d,求|PA|+|PF|的问题可 转化为|PA|+d 的问题,运用三点共线可使问题得到解决.

-2-

[解析] 将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,

得 y=± 6,∵ 6>2, ∴点 A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d, 2 由定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d, 7 当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 , 2 7 即|PA|+|PF|的最小值为 , 2 此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2, 即点 P 的坐标为(2,2). (3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线 (或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距 离最小. ⑤已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+3=0 和 y 轴的距离之和的 最小值是( A. 3 C .2 [答案] D [解析] 由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线 l 的距离为 d,由抛物线的定 义可知, 点 P 到 y 轴的距离为|PF|-1, 所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d+|PF| -1.易知 d+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d+|PF|的最小值为 以 d+|PF|-1 的最小值为 5-1. (4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值. ⑥(2014· 陕西质检)已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线 y2=2x 的焦点为 F, 点 Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是( 7 A. 2 5 C. 2 B.3 D.2 ) = 5,所 2 +?-1?2
2

) B. 5 D. 5-1

|2+3|

-3-

[答案] C [解析] 如图,|MQ′|-|Q′F|=|MQ′|- |Q′A′|=|MA′|= |NA|=|NQ|- |AQ|≤|MQ|-

|AQ|=|MQ|-|QF|. (其中 l 是抛物线的准线,QA⊥l,垂足为 A,Q′M⊥l 垂足为 A′,MN⊥QN),

1 ∵抛物线的准线方程为 x=- , 2 1 1 5 ∴|QM|-|QF|≥|xQ+3|-|xQ+ |=3- = ,选 C. 2 2 2 (5)与其他曲线有关的抛物线最值问题. ⑦(2014· 忻州联考)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点, Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点, 那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________. [答案] 17-1

[解析] 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4),设点 P 到抛 物线的准线距离为 d ,根据抛物线的定义有 d = |PF|,∴ |PQ|+ d = |PQ|+ |PF|≥(|PC|- 1) + |PF|≥|CF|-1= 17-1. (6)与平面向量交汇命题. → → ⑧已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动,则AP· BP取得最小值时的点 P 的坐标是______. [答案] (0,0) y -y → ? y → → → ? y ? - -2,y? , BP = ?- -4,y? , AP · [ 解析 ] 设 P ? BP = ?- 4 -2? ? ? 4 ? ? ? 4 ,y? ,则 AP = ? 4
2 2 2 2

?-y -4?+y2= y +5y2+8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0). ? 4 ? 16 2
3.(文)(2013· 安徽省级示范高中联考)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=4x 的焦点,A 是 → 抛物线上的一点,FA与 x 轴正方向的夹角为 60° ,则△OAF 的面积为( A. 3 2 B.2 D.1 )

2

4

C. 3 [答案] C

-4-

[解析] 由题意知,F(1,0),过 A 作 AD⊥x 轴于 D.令|FD|=m,则|FA|=2m,由抛物线的 定义知|AF|=p+|FD|=2+m=2m,即 m=2,所以|AD|=2 3, 1 1 S△OAF= |OF|· |AD|= ×1×2 3= 3. 2 2 (理)(2014· 湖北武汉调研)已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上 一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 C .2 3 [答案] C [解析] 设 P 点坐标为(x0, y0), 则由抛物线的焦半径公式得|PF|=x0+ 2=4 2, x0=3 2, 1 代入抛物线的方程,得|y0|=2 6,S△POF= |y0|· |OF|=2 3,选 C. 2 4.(文)(2014· 辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是( A.2 3 C. 2 [答案] C [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+1 =4, x1+x2 3 3 ∴x1+x2=3,∴ = ,即 AB 中点 C 的横坐标是 . 2 2 2 (理)(2014· 武昌模拟)直线 y=k(x-2)交抛物线 y2=8x 于 A, B 两点, 若 AB 中点的横坐标为 3,则弦 AB 的长为( A.6 C.2 15 [答案] B [解析] 将 y=k(x-2)代入 y2=8x 中消去 y 得,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k2+8 ∴x1+x2= 2 =6,∴k=± 2, k ∴|AB|= 1+k2|x1-x2|= 5· ?x1+x2?2-4x1x2= 5· 36-4×4=10. → → 5.(文)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA· AF=-4, 则点 A 的坐标为( A.(2,± 2 2) ) B.(1,± 2)
-5-

) B.2 2 D.4

) 1 B. 2 5 D. 2

) B.10 D.16

C.(1,2) [答案] B

D.(2,2 2)

[解析] 设点 A 的坐标为(x0,y0),∴y2 0=4x0① → → 又 F(1,0),∴OA=(x0,y0),AF=(1-x0,-y0), → → 2 ∵OA· AF=-4,∴x0-x2 0-y0=-4,②
? ? ?x0=1, ?x0=1, 解①②组成的方程组得? 或? ?y0=2, ? ? ?y0=-2.

[点评] 向量与解析几何相结合,向量往往要化为坐标的形式. (理)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) [答案] C [解析] 设圆的半径为 r,因为 F(0,2)是圆心,抛物线 C 的准线方程 y=-2.圆与准线相切 时半径为 4.若圆与准线相交则 r>4.又因为点 M(x0, y0)为抛物线 x2=8y 上一点, 所以有 x2 0=8y0.
2 又点 M(x0,y0)在圆 x2+(y-2)2=r2 上.所以 x0 +(y0-2)2=r2>16,所以 8y0+(y0-2)2>16,即

)

B.[0,2] D.[2,+∞)

有 y2 0+4y0-12>0,解得 y0>2 或 y0<-6(舍), ∴y0>2.故选 C. x2 y2 6.(2013· 北京东城区统一检测)已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点 7 9 重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为 ( ) A.4 C.16 [答案] D [解析] 由题意知,抛物线焦点坐标为(4,0).作 AA′垂直于抛物线的准线,垂足为 A′, 根据抛物线定义知|AA′|=|AF|,所以在△AA′K 中,|AK|= 2|AA′|,故∠KAA′=45° ,此 时不妨认为直线 AK 的倾斜角为 45° ,则直线 AK 的方程为 y=x+4,代入抛物线方程 y2=16x 中,得 y2=16(y-4),即 y2-16y+64=0,解得 y=8,点 A 的坐标为(4,8),故△AFK 的面积为 1 1 S△AFK= |FK|· |yA|= ×8×8=32. 2 2 二、填空题 7.(2013· 辽宁大连一模)已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,且 l 经过抛物线的焦 点 F,A 点的坐标为(8,8),则线段 AB 的中点到准线的距离是________. B.8 D.32

-6-

[答案]

25 4

[解析] 由 y2=8x 知 2p=8,∴p=4,则点 F 的坐标为(2,0). 由题设可知,直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y=k(x-2),点 A,B 的坐标分别为(8,8), (xB,yB). 又点 A(8,8)在直线 l 上,∴8=k(8-2), 4 解得 k= . 3 4 ∴直线 l 的方程为 y= (x-2).① 3 将①代入 y2=8x,整理得 2x2-17x+8=0, 则 8+xB= 17 1 ,∴xB= . 2 2

∴线段 AB 的中点到准线的距离是 xA+xB p 17 25 + = +2= . 2 2 4 4 1 [解法探究] 求得 xB= 后,进一步可得 yB=-2, 2 ∴|AB|= 25 . 2

1 1 25 ∴AB 的中点到准线距离 d= (|AF|+|BF|)= |AB|= . 2 2 4 π 8.(2014· 山东广饶一中期末)抛物线 y2=8x 的顶点为 O,A(1,0),过焦点且倾斜角为 的直 4 线 l 与抛物线交于 M,N 两点,则△AMN 的面积是________. [答案] 4 2 [解析] 焦点 F(2,0),直线 l:x=y+2,代入抛物线 y2=8x,消去 x,得 y2-8y-16=0. 设 M(x1, y1), N(x2, y2), 则 y1+y2=8, y1y2=-16.∴|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2=8 2.故△AMN 1 的面积 S= ×1×|y1-y2|=4 2. 2 1 9.(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面 2m 时,测量水面宽为 8m,当水面上升 m 后, 2 水面的宽度是________m. [答案] 4 3 [解析] 建立平面直角坐标系如图,设开始时水面与抛物线的

一个交点为 A,由题意可知 A(4,-2),故可求得抛物线的方程为 y 1 3 =- x2,设水面上升后交点为 B,则点 B 的纵坐标为- ,代入抛 8 2

-7-

1 物线方程 y=- x2 可求出 B 点的横坐标为 2 3,所以水面宽为 4 3m. 8 (理)下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2m,水面宽 4m,水位下降 1m 后, 水面宽________m.

[答案] 2 6 [解析] 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用.

如图建立坐标系 设方程 x2=-2py(p>0),由题意知点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1, 则方程为 x2=-2y,当 y=-3 时,x=± 6, 所以水面宽 2 6m. [点评] 抛物线方程在实际问题中的应用,关键是合理建立平面直角坐标系,还要注意数 据的实际意义. 三、解答题 1 10. (2013· 长春三校调研)在直角坐标系 xOy 中, 点 M(2, - ), 点 F 为抛物线 C: y=mx2(m>0) 2 的焦点,线段 MF 恰被抛物线 C 平分. (1)求 m 的值; (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,设直线 FA、FM、FB 的斜率分别为 k1、k2、 k3,问 k1、k2、k3 能否成公差不为零的等差数列?若能,求直线 l 的方程;若不能,请说明理 由. 1 1 1 [解析] (1)由题得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为(0, ),线段 MF 的中点 N(1, - )在 4m 8m 4 抛物线 C 上, ∴ 1 1 1 1 - =m,8m2+2m-1=0,∴m= (m=- 舍去). 8m 4 4 2

(2)由(1)知抛物线 C:x2=4y,F(0,1). 1 设直线 l 的方程为 y+ =k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2), 2

-8-

1 ? ?y+2=k?x-2?, 由? 得 x2-4kx+8k+2=0, ? ?x2=4y, 2- 6 2+ 6 Δ=16k2-4(8k+2)>0,∴k< 或 k> . 2 2
?x1+x2=4k, ? ? ?x1x2=8k+2. ?

假设 k1、k2、k3 能成公差不为零的等差数列,则 k1+k3=2k2. y1-1 y2-1 x2y1+x1y2-x2-x1 而 k1+k3= + = x1 x2 x1x2
2 x2x1 x1x2 x1x2 2 + -x2-x1 ? -1??x1+x2? 4 4 4 = = x1x2 x1x2

8k+2 ? -1?· 4k 4 4k2-k = = , 8k+2 4k+1 4k2-k 3 3 k2=- ,∴ =- ,8k2+10k+3=0, 4 2 4k+1 1 3 解得 k=- (符合题意)或 k=- (不合题意,舍去). 2 4 1 1 ∴直线 l 的方程为 y+ =- (x-2),即 x+2y-1=0. 2 2 ∴k1、k2、k3 能成公差不为零的等差数列,此时直线 l 的方程为 x+2y-1=0.

一、选择题 11.(文)若抛物线 y2=4x 的焦点是 F,准线是 l,则经过点 F、M(4,4)且与 l 相切的圆共有 ( ) A.0 个 C .2 个 [答案] C [解析] 经过 F、M 的圆的圆心在线段 FM 的垂直平分线上,设圆心为 C,则|CF|=|CM|, 又圆 C 与 l 相切,所以 C 到 l 距离等于|CF|,从而 C 在抛物线 y2=4x 上. 故圆心为 FM 的垂直平分线与抛物线的交点,显然有两个交点,所以共有两个圆. x2 (理)(2013· 乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域 D 是由双曲线 y2- =1 的两条渐近线和抛物 4 线 y2=-8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部). 若点(x, y)∈D, 则 x+y 的最小值为( A.-1 C .1 B.0 D.3
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B.1 个 D.3 个

)

[答案] B 1 [解析] 由题意知,双曲线的渐近线方程为 y=± x,抛物线的准线方程为 x=2,设 z=x 2 +y,得 y=-x+z,平移直线 y=-x 过点 O(0,0)时,直线 y=-x+z 的纵截距最小,故 zmin =0. 12. (2014· 山东淄博一模)过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线交其于 A, B 两点, A 在第一象限, B 在第四象限,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( A. 2 2 B. 2 D.2 2 )

3 2 C. 2 [答案] C

[解析] 设 A(x0, y0), 由|AF|=1+x0=3, 得 x0=2, ∴A(2,2 2), 直线 AB 的方程为 y=2 2 1 1 3 (x-1),与 y2=4x 联立,解得 B( ,- 2).∴S△AOB= ×1×|2 2-(- 2)|= 2. 2 2 2 13.(2014· 课标全国Ⅱ理)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 A. 4 63 C. 32 [答案] D 3 3 3 3 [解析] 由已知得 F( ,0),故直线 AB 的方程为 y=tan30° · (x- ),即 y= x- . 4 4 3 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 9 3 B. 8 9 D. 4 )

? ?y= 3x- 3, 3 4 联立? ? ?y2=3x, ②



1 7 3 将①代入②并整理得 x2- x+ =0, 3 2 16 21 ∴x1+x2= , 2 21 3 ∴线段|AB|=x1+x2+p= + =12. 2 2 3 4 3 = . 8 1 +1 3

又原点(0,0)到直线 AB 的距离为 d=

1 1 3 9 ∴S△OAB= |AB|d= ×12× = . 2 2 8 4
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14.(2014· 课标全国Ⅰ理)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q → → 是直线 PF 与 C 的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|=( 7 A. 2 C .3 [答案] C [解析] 抛物线的焦点是 F(2,0), 过点 Q 作抛物线的准线的垂线, 垂足是 A, 则|QA|=|QF|, → |PQ| 3 → → 抛物线的准线与 x 轴的交点为 G,因为FP=4FQ,∴ = ,由于△QAP∽△FGP,所以可 → 4 |PF| → |QA| |PQ| 3 得 = = ,所以|QA|=3,所以|QF|=3. |FG| → 4 |PF| 二、填空题 x2 15.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 -y2=1 a 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是________. [答案] 1 9 5 B. 2 D.2 )

[解析] 根据抛物线定义可得,抛物线准线方程为 x=-4,则抛物线方程为 y2=16x. 把 M(1,m)代入 y2=16x 得 m=4,即 M(1,4). x2 在双曲线 -y2=1 中,A(- a,0),则 a kAM= 4 1 1 = .解得 a= . 9 1+ a a

16.(文)(2013· 辽宁五校联考)设抛物线 x2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物 线相交于 A,B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. [答案] 8 [解析] 分别过点 A,B,P 作准线的垂线,垂足分别为 M,N,Q,根据抛物线上的点到 焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8. (理)(2014· 湖南理)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a、b(a<b),原点 O b 为 AD 的中点,抛物线 y2=2px(p>0)经过 C、F 两点,则 =________. a

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[答案]

2+1

a a [解析] 由题可得 C( ,-a),F( +b,b), 2 2 a =pa, ? ? 2 ∵C、F 在抛物线 y =2px 上,∴? 2 a ? ?b =2p?2+b?, ∴b2-2ab-a2=0, b ∴ = 2+1,故填 2+1. a 三、解答题 17.(2014· 开封摸底考试)已知圆(x-a)2+(y+1-r)2=r2(r>0)过点 F(0,1),圆心 M 的轨迹 为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设 P 为直线 l:x-y-2=0 上的点,过点 P 作曲线 C 的两条切线 PA,PB,当点 P(x0, y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|· |BF|的最小值. [解析] (1)依题意,由圆过定点 F 可知 C 的方程为 x2=4y. 1 1 (2)抛物线 C 的方程为 y= x2,求导得 y′= x. 4 2 x2 x2 1 1 1 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2)(其中 y1= ,y2= ),则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2, 4 4 2 2 x1 所以切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1), 2 即 x1x-2y-2y1=0. 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0),所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
2

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所以|AF|· |BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
? ?x0x-2y-2y0=0 2 联立方程? 2 ,消去 x 整理得 y2+(2y0-x2 0)y+y0=0, ?x =4y ?
2 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2=x2 0-2y0,y1y2=y0, 2 所以|AF|· |BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y2 0+x0-2y0+1.

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2, 12 9 2 2 所以 y2 0+x0-2y0+1=2y0+2y0+5=2(y0+ ) + , 2 2 1 9 所以当 y0=- 时,|AF|· |BF|取得最小值,且最小值为 . 2 2 x2 y2 3 18.(文)若椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率等于 ,抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点 4 b 2 在椭圆 C1 的顶点上. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、 l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程. [解析] (1)已知椭圆的长半轴长为 a=2,半焦距 c= 4-b2, 4-b2 c 3 由离心率 e= = = 得,b2=1. a 2 2 ∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1), ∴p=2,抛物线的方程为 x2=4y. (2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零, 则可设直线 l 的方程为 y=k(x+1), E(x1, y1), F(x2, y2), 1 1 ∵y= x2,∴y′= x, 4 2 1 1 ∴切线 l1、l2 的斜率分别为 x1、 x2, 2 2 1 1 当 l1⊥l2 时, x1·x2=-1,即 x1· x2=-4, 2 2
?y=k?x+1?, ? 由? 2 得 x2-4kx-4k=0, ? x = 4 y . ?

由 Δ=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0. 又 x1· x2=-4k=-4,得 k=1. ∴直线 l 的方程为 y=x+1. → → (理)已知点 C(1,0),点 A、B 是⊙O:x2+y2=9 上任意两个不同的点,且满足AC· BC=0, 设 P 为弦 AB 的中点.

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(1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x=-1 的距离恰好等于到点 C 的距 离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.

1 → → [解析] (1)法一:连接 CP,由AC· BC=0 知,AC⊥BC,∴|CP|=|AP|=|BP|= |AB|, 2 由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9,

设点 P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9, 化简得,x2-x+y2=4. 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
2 2 2 根据题意知,x2 1+y1=9,x2+y2=9,2x=x1+x2,2y=y1+y2, 2 2 2 2 ∴4x2=x2 1+2x1x2+x2,4y =y1+2y1y2+y2, 2 2 2 故 4x2+4y2=(x2 1+y1)+(2x1x2+2y1y2)+(x2+y2)=18+2(x1x2+y1y2),①

→ → 又∵AC· BC=0,∴(1-x1,-y1)· (1-x2,-y2)=0, ∴(1-x1)×(1-x2)+y1y2=0,故 x1x2+y1y2=(x1+x2)-1=2x-1, 代入①式得,4x2+4y2=18+2(2x-1), 化简得,x2-x+y2=4. (2)根据抛物线的定义,到直线 x=-1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物线 y2= p 2px 上,其中 =1,∴p=2,故抛物线方程为 y2=4x, 2
?y2=4x, ? 由方程组? 2 得,x2+3x-4=0, 2 ?x -x+y =4. ?

解得 x1=1,x2=-4,

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由于 x≥0,故取 x=1,此时 y=± 2, 故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).

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