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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第8章 第6节 抛物线



第八章

第六节

一、选择题 1.(文)(2013· 江西吉安模拟)若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则 点 P 的轨迹方程为( A.y2=8x C.x2=8y [答案] C [解析] 由题意知点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,因此点 P 到点 F(0,2)的距离与

到直线 y+2=0 的距离相等, 故点 P 的轨迹是以 F 为焦点, y=-2 为准线的抛 物线,∴P 的轨迹方程为 x2=8y.选 C. (理)(2013· 东北三校模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), P3(x3,y3)在抛物线上,且 2x2=x1+x3,则有( A.|FP1|+|FP2|=|FP3| C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| [答案] C p p p p [解析] 抛物线的准线方程为 x=- ,由定义得|FP1|=x1+ ,|FP2|=x2+ ,|FP3|=x3+ , 2 2 2 2 p p 则|FP1|+|FP3|=x1+ +x3+ =x1+x3+p,2|FP2|=2x2+p,由 2x2=x1+x3,得 2|FP2|=|FP1|+ 2 2 |FP3|,故选 C. 2.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 11 C. 5 [答案] A [解析] 直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离, 故本题化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P, 使得 P 到点 F(1,0) 和直线 l2 的距离之和最小, 最小值为 F(1,0)到直线 l1: 4x-3y+6=0 的距离, 即 dmin= =2,故选 A. [点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型. (1)点在抛物线外,利用两点间线段最短求最小值. ①已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准
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) B.y2=-8x D.x2=-8y

) B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 D.|FP2|2=|FP1|· |FP3|

) B.3 37 D. 16

|4-0+6| 5

线的距离之和的最小值为( A. 17 2

) B.3 9 D. 2

C. 5 [答案] A

1 [解析] 抛物线 y2=2x 的焦点为 F( ,0),准线是 l,由抛物线的定义知,点 P 到焦点 F 2 的距离等于它到准线 l 的距离, 因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之 和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值,结合 图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离. 因此所求的最小值等于 = 17 ,选 A. 2 1 ②(2013· 甘肃天水调研)已知 P 为抛物线 y= x2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 4 A 的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是________. [答案] 5-1 1 ? ?2+22 2

1 [解析] 如图,抛物线 y= x2,即 x2=4y 的焦点 F(0,1),记点 P 在 4 抛物线的准线 l:y=-1 上的射影为 P′,根据抛物线的定义知,|PP′| =|PF|, 则|PP′|+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|= 22+12= 5. 所以(|PA|+|PM|)min =(|PA|+|PP′|-1)min= 5-1. (2)定点在抛物线内,利用点到直线的垂线段最短求最小值. ③(2013· 河南洛阳、安阳统考)点 P 在抛物线 x2=4y 的图象上,F 为其焦点,点 A(-1,3), 若使|PF|+|PA|最小,则相应 P 的坐标为________. 1 [答案] (-1, ) 4 [解析] 由抛物线定义可知 PF 的长等于点 P 到抛物线准线的距离,所以过点 A 作抛物线 1 准线的垂线,与抛物线的交点(-1, )即为所求点 P 的坐标,此时|PF|+|PA|最小. 4 ④已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA|+|PF| 的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标. [分析] 抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d,求|PA|+|PF|的问题可 转化为|PA|+d 的问题,运用三点共线可使问题得到解决.

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[解析] 将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,

得 y=± 6,∵ 6>2, ∴点 A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d, 2 由定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d, 7 当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 , 2 7 即|PA|+|PF|的最小值为 , 2 此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2, 即点 P 的坐标为(2,2). (3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线 (或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距 离最小. ⑤已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+3=0 和 y 轴的距离之和的 最小值是( A. 3 C .2 [答案] D [解析] 由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线 l 的距离为 d,由抛物线的定 义可知, 点 P 到 y 轴的距离为|PF|-1, 所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d+|PF| -1.易知 d+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d+|PF|的最小值为 以 d+|PF|-1 的最小值为 5-1. (4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值. ⑥(2014· 陕西质检)已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线 y2=2x 的焦点为 F, 点 Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是( 7 A. 2 5 C. 2 B.3 D.2 ) = 5,所 2 +?-1?2
2

) B. 5 D. 5-1

|2+3|

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[答案] C [解析] 如图,|MQ′|-|Q′F|=|MQ′|- |Q′A′|=|MA′|= |NA|=|NQ|- |AQ|≤|MQ|-

|AQ|=|MQ|-|QF|. (其中 l 是抛物线的准线,QA⊥l,垂足为 A,Q′M⊥l 垂足为 A′,MN⊥QN),

1 ∵抛物线的准线方程为 x=- , 2 1 1 5 ∴|QM|-|QF|≥|xQ+3|-|xQ+ |=3- = ,选 C. 2 2 2 (5)与其他曲线有关的抛物线最值问题. ⑦(2014· 忻州联考)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点, Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点, 那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________. [答案] 17-1

[解析] 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4),设点 P 到抛 物线的准线距离为 d ,根据抛物线的定义有 d = |PF|,∴ |PQ|+ d = |PQ|+ |PF|≥(|PC|- 1) + |PF|≥|CF|-1= 17-1. (6)与平面向量交汇命题. → → ⑧已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动,则AP· BP取得最小值时的点 P 的坐标是______. [答案] (0,0) y -y → ? y → → → ? y ? - -2,y? , BP