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2012高考数学(文)精英备考专题讲座第七讲:第一节 选择题的解题策略(1)


【解法一】直接求解法: 解法一】直接求解法:
直接从题设条件出发,利用定义、性质、定理、公示等,经过变形、推理、计算、判断得 到结论. 这种方法是解填空题的最基本、最常用的方法. 使用直接法解填空题,要善于通过现 象看本质,自觉地,有意识地采取灵活、简捷的解法.

例 1 已知双曲线

x2 y2 x2 y 2 ? 2 = 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 + = 1 的焦点相同,那么双曲线 a2 b 25 9
;渐近线方程为 .

的焦点坐标为

点拨: 点拨:此题考查椭圆和双曲线的简单性质. 解 : 双曲线焦点即为椭圆焦点,不难算出焦点坐标为 ( ±4, 0) ,又双曲线离心率为 2,即

c = 2, c = 4 , 故 a = 2, b = 2 3 a b y = ± x = ± 3x . a

, 渐 近 线 为

易错点: 易错点:容易将椭圆和双曲线中 a, b, c 的关系混淆. 例 2 某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管 理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别为 (单位:吨) 。根据图 2 所示的程序框图,若分 别为 1,1.5,1.5,2,则输出的结果 s 为 点拨: 点拨:此题考查程序框图及循环体的执行.. .

s = s1 + xi = 0 + 1 = 1 解:第一( i = 1 )步: 1 s = s1 + xi = 1 + 1.5 = 2.5 第二( i = 2 )步: 1 s = s1 + xi = 2.5 + 1.5 = 4 第三( i = 3 )步: 1 s1 = s1 + xi = 4 + 2 = 6 3 2 s=


第四( i = 4 )步:

1 3 ×6 = 4 2

第五( i = 5 )步: i = 5 > 4 ,输出 s =

易错点: 易错点:本题主要考查程序框图的运行,由于运行结果哦的数字运算较为麻烦,可能容易出 错

解法二】 【解法二】

特殊化法: 特殊化法:

当填空题已知条件中含有某些不确定的量, 但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息 暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数, 特殊角,特殊数列,特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求 的结论. 这样可以大大地简化推理、论证的过程. 此种方法也称为“完美法” ,其根本特点是 取一个比较“完美”的特例,把一般问题特殊化,已达到快速解答. 为保证答案的正确性,在 利用此方法时,一般应多取几个特例. 例 3 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) = ? f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,若 方 程 f ( x ) = m ( m > 0 ) 在 区 间 [? 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根 , x1,x2,x3,x4 , 则

x1 + x2 + x3 + x4 =



点拨: 点拨:此题考查抽象函数的奇偶性,周期性,单调性和对称轴方程,条件多,将各种特殊条 件结合的最有效方法是把抽象函数具体化. 解:根据函数特点取 f ( x ) = sin

π
4

x ,再根据图像可得

( x1 + x2 ) + ( x3 + x4 ) = [(?6 × 2) + (2 × 2)] × 2 = ?8

【答案】-8 答案】 易错点: 易错点:由 f ( x ? 4) = ? f ( x ) 只想到函数的周期为 8,没有注意各条件之间的联系,根据结论 与对称轴有关而导致思路受阻. 例 4 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,如果 a, b, c 成等差数列,



cos A + cos C = ___________. 1 + cos A cos C

点拨: 点拨:此题为解三角形与数列的综合题,直接求解较复杂,考虑取特殊值.

解:取特殊值 a = 3, b = 4, c = 5 ,则 cos A =

4 cos A + cos C 4 , cos C = 0 , = . 5 1 + cos A cos C 5 1 o 或取 a = 1, b = 1, c = 1 ,则 cos A = cos C = cos 60 = ,代入也可得.也可利用正弦 2

定理边化角及三角函数和差化积直接求解. 易错点: 易错点:直接求解时容易忽略三角形内角和等于 180 这个隐含条件而导致思路受阻.
o

【解法三】 数形结合法: 解法三】 数形结合法:
对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目条件的特点,作出符合题意的图形,做 到数中思形,以形助数,并通过对图形的直观分析、判断,则往往可以简捷地得出正确的结 果. 例 5: 已知 F 是 C 椭圆的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D , : 且 BF = 2 FD ,则 C 的离心率为

uuu r

uuu r

.

点拨: 点拨:此题是椭圆和向量的综合题,由于涉及到椭圆与直线相 交,应结合图形,运用椭圆的第二定义进行求解. 解:如图, | BF |=

b2 + c2 = a ,

作 DD1 ⊥ y 轴于点 D1,则由 BF = 2 FD ,得

uuu r

uuu r

| OF | | BF | 2 3 3 3c = = ,所以 | DD1 |= | OF |= c ,即 xD = , | DD1 | | BD | 3 2 2 2
由椭圆的第二定义 | FD |= e(

a 2 3c 3c 2 ? )= a? 又由 c 2 2a

3 3c 2 2 2 2 | BF |= 2 | FD | ,得 a = 2a ? ,整理得 a = 3c .两边都除以 a ,得 e = . a 3
易错点: 易错点:没有运用椭圆的第二定义,导致运算量大且极难算. 例 6 定义在区间 (0,

π 上的函数 y = 6 cos x 的图像 )
2

与 y = 5 tan x 的图像的交点为 P ,过点 P 作 PP ⊥ x 轴于点 P , 1 1

直线 PP 与的 y = sin x 图像交于点 P2 ,则线段 P P2 的长为_____. 1 1 点拨: 点拨:此题考查三角函数图像和同角三角函数关系,涉及图像问题,应运用数形结合思想进 行转化. 解:线段 P P2 的长即为 sin x 的值,且其中的 x 满足 1

6 cos x = 5 tan x ,解得 sin x =

2 2 ,即线段 P P2 的长为 . 1 3 3

易错点: 易错点:考虑通过求出点 P , P2 的纵坐标来求线段长度,没有想到线段长度的意义,忽略数 1 形结合,导致思路受阻.

【解法四】 特征分析法: 解法四】 特征分析法:
有些问题看似, 非常复杂, 一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征, 此问题就能迎刃而解. 例 7 已知函数 f ( x ) 满足:

f (1) =

1 , 4 f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x ? y ), ( x, y ∈ R ) ,则 f (2010) = ____________. 4 1 2

点拨: 点拨:此题考查函数周期性,所知函数值有限,所求函数自变量数值很大,应考虑寻找规律. 解:取 x = 1, y = 0 得 f (0) =

法一:通过计算 f ( 2), f (3), f ( 4)........ ,寻得周期为 6 法二:取 x = n, y = 1 ,有 f ( n) = f ( n + 1) + f ( n ? 1) ,同理 f ( n + 1) = f ( n + 2) + f ( n) . 联立得 f ( n + 2) = ? f ( n ? 1) , 所以 T = 6 故 f ( 2010 ) = f (0) =

1 . 2

易错点: 易错点:忽略自变量是一个数值较大的正整数,没有考虑函数值的周期性规律或数列与函数 的联系,一味考虑直接求 f (2010) 而导致思路受阻. 例 8 五位同学围成一圈依序循环报数,规定: ①第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为 1,之后每位同学所报出的数 都是前两位同学所报出的数之和; ②若报出的是为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次, 当第 30 个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 点拨: 点拨:此题考查递推数列,具有循环的特点.这样得到的数列这是历史上著名的数列,叫斐波 那契数列.寻找规律是解决问题的根本,否则,费时费力.首先求出这个数列的每一项除以 3 所得余数的变化规律,再求所求就比较简单了.

解:这个数列的变化规律是:从第三个数开始递增,且是前两项之和,那么有 1、1、2、3、5、 8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以 3 得余数分别是 1、1、2、 0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按 1、1、2、0、2、 2、1、0 循环,周期是 8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是 3 的倍数,所以在三个周 期内共有 6 个报出的数是三的倍数,后面 6 个报出的数中余数是 1、1、2、0、2、2,只有一 个是 3 的倍数,故 3 的倍数总共有 7 个,也就是说拍手的总次数为 7 次. 易错点:容易考虑将数列的前 30 项分别求出再求有几项是三的倍数,而没有考虑观察余数呈 易错点: 现的规律而导致解题过程复杂化.

【解法五】构造法: 解法五】构造法:
根据题设条件与结论的特殊性,构造出一些熟悉的数学模型,并借助于它认识和解决问 题的一种方法. 例 9 如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA > OB > OC ,分 别经过三条棱 OA , OB , OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积 依次为 S1 , S2 , S3 ,则 S1 , S2 , S3 的大小关系为 点拨: 点拨:此题考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力, 已知条件少,没有具体的线段长度,应根据三条棱两两垂直 的特点,以 OA , OB , OC 为棱,补成一个长方体. 解:通过补形,借助长方体验证结论,特殊化,令边长 .

OA , OB , OC 分别为 1,2,3 得 S3 < S 2 < S1 .
易错点: 易错点:立体几何图形比较抽象,忽略将题中图形与熟悉图形联系,将线段长度具体化很难 求出.
5 5 例 10 已知实数 x, y 满足 (3 x + 5 y ) + x + 4 x + y = 0 ,则 4x + y =____________.

点拨: 点拨:此题考查数学知识的运用能力,两个未知数一个方程,且方程次数较高,不能直接求 出 x , y 的值,应考虑将 4x + y 整体求出,注意方程的结构特点.
5 5 5 解 : 构 造 函 数 f (t ) = t + t , 则 已 知 变 为 (3 x + y ) + (3 x + y ) = ?( x + x ) , 即

f (3 x + y ) = ? f ( x) ,根据函数 f (t ) 是奇函数且单调递增可得 f (3 x + y ) = f (? x) ,于是 3x + y = ? x ,即 4 x + y = 0 .

易错点: 易错点:没有观察方程的特点,一味想将 4x + y 作为整体直接求解,导致求解困难.

习题 7-3
?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 1. 设实数 x 、 y 满足 ? x + y ? 3 ≥ 0 ,则 z = x ? 2 y 的最小值为 _________ . ?x ≤ 3 ?
2.已知 a 是第二象限的角, tan(π + 2a ) = ? . 3.过抛物线 y = .

4 ,则 tan a = 3



1 2 x 准线上任一点作抛物线的两条切线,切点分别为 M , N .若已知直线 MN 4

过一个定点,则这个定点是________________. 4.若函数 f ( x) = a ? x ? a ( a > 0 且 a ≠ 1 )有两个零点,则实数 a 的取值范围是 .
x



则 5.已知数列 {an } 满足: a4 n ?3 = 1,a4 n ?1 = 0,a2 n = an,n ∈ N , a2009 = ______;

?

a2014 =_________.
6. 如图,点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外, 且 PD ⊥ 面 ABCD , PD = AD ,则 PA 与 BD 所成角的度数为__________. 7. 设 n ≥ 2, n ∈ N , (2 x + ) ? (3 x + )
n

1 2

1 3

n

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ??? + an x n ,
将 ak (0 ≤ k ≤ n) 的最小值记为 Tn ,则

T2 = 0, T3 =

1 1 1 1 ? 3 , T4 = 0, T5 = 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 3 2 3 2 3

其中 Tn =__________________ .

【答案】 答案】

习题 7-3

4. (1, +∞) . . 提示: (数形结合法)利用函数与方程的思想原题转化为 y = a x 与 y = x + a 两函数图像有两 提示: 交点时实数 a 的取值范围.结合图形分析可知 a > 1 . 5. 1,0. 提示: (特征分析法)本题主要考查周期数列等基础知识,属于创新题型.依题意得: 提示:

a2009 = a4×503?3 = 1, a2014 = a2×1007 = a4×252 ?1 = 0


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