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2015-2016学年高中数学 第三章 直线与方程总结提升课件



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【知识网络】

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【知识辨析】 判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”) 1. 如果直线 l1∥l2, 那么 l1 的斜率等于 l2 的斜率, 并且 l1, l2 与 x 轴交于相异的两点.( × ) 2.过点 P(1,1)

且与直线 l:3x-4y-20=0 垂直的直线 方程是 4x+3y-7=0.( √ ) 3.若直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a= -1.( √ ) 4.点 P(x1,y1)关于点 M(x0,y0)的对称点是 P′(2x0-x1, 2y0-y1).( √ ) 5.过点(5,10),且与原点距离为 5 的直线方程只有 3x- 4y+25=0.( × ) 6.若直线 3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则 2 13 它们之间的距离是 13 .( × )

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? 题型一 直线方程的基础知识 [类型总述] (1)点斜式;(2)斜截式;(3)两点式;(4)截距式; (5)一般式.

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例 1 (1)已知△ABC 中,A(3,2),B(-1,5),C 点在 直线 3x-y+3=0 上.若△ABC 的面积为 10,则点 C 的坐 标为( ) ?5 ? A.(-1,0) B.?3,8? ? ? ?5 ? ? 5 ? C.(-1,0)或?3,8? D.(1,0)或?-3,8? ? ? ? ?

[答案] C

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(2)经过点 M(2,1),且过直线 l1:2x+3y-6=0 与 l2:x -2y+4=0 的交点的直线 l 的方程为________.

x + 2y - 4 = 0

[ 解析 ]

? ?2x+3y-6=0, 由? 得两条直线 ? ?x-2y+4=0,

y-2 x-0 的交点为(0,2).根据直线的两点式方程 = ,可得 2-1 0-2 直线 l 的一般式方程为 x+2y-4=0.

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【变式】过点 P(6,8)作两条互相垂直的射线 PA,PB, 分别交 x 轴、y 轴正方向于点 A,B.若 S△AOB=S△APB,求 PA 与 PB 所在直线的方程.

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解:设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线 AB 的方程 x y 为a+b=1,即 bx+ay-ab=0.因为 S△AOB=S△APB,所以 O,P |ab| 两点到直线 AB 的距离相等, 由点到直线的距离公式得 2 a +b2 |8a+6b-ab| = ,解得 ab=4a+3b①,或 4a+3b=0(与 a>0, 2 2 a +b 8-b 8 b>0 矛盾,舍去).由 PA⊥PB,得 · 6 =-1,即 3a+ 6-a 25 ? a= 3 , ? ?a=6, ? 4b=50②,联立①②,解得? 或? 所以直线 PA: ? 25 b = 8 ? ?b= , 4 ? x=6,直线 PB:y=8 或直线 PA:24x+7y-200=0,直线 PB: 7x-24y+150=0.

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? 题型二 直线的位置关系问题 [类型总述] (1)平行;(2)垂直;(3)相交.

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例 2 (1)经过直线 l1:2x+3y-5=0 与 l2:7x+15y+1 =0 的交点, 且平行于直线 x+2y-3=0 的直线方程为( ) A.9x+18y-4=0 B.18x-9y-193=0 C.x+2y-4=0 D.2x-y-4=0

[答案] A

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(2)若直线 l1:(a+2)x+(1-a)y=3 与 l2:(a-1)x+(2a +3)y+2=0 互相垂直,则 a 的值为( ) 3 A.-1 B.1 C.± 1 D.2

2 C [解析] 当 a=1 时,两条直线分别为 x=1,y=- , 5 a+2 1-a 显然两直线垂直;当 a≠1 时,由 × =-1,得 a a-1 2a+3 =-1,故 a 的值为± 1.

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【变式】已知直线 l1:x+y-1=0,将直线 l1 向上平移 到直线 l2 的位置.若 l1,l2 和两坐标轴所围成的梯形的面积 是 4,求直线 l2 的方程.
解: 因为 l1∥l2,所以设直线 l2 的方程为 x+y-m=0.如 图所示,设 l1 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,D,l2 与 x 轴、y 轴 分别交于点 B,C. 易得 A(1,0),D(0,1),B(m,0),C(0,m). 又因为 l2 在 l1 的上方,所以 m>1. 1 因为 S 梯形=S△OBC-S△OAD,即 4=2m·m 1 - ×1×1,所以 m2=9,解得 m=3. 2 故直线 l2 的方程是 x+y-3=0.

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? 题型三 对称问题 [ 类型总述 ](1) 点点对称; (2) 点线对称; (3) 线点对称; (4) 线线对称.

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例 3 (1)如图 T31 所示, 已知 A(4,0),B(0,4),若从点 P(2 , 0) 射出的光线经直线 AB 反射后射到直线 OB 上, 最后经 直线 OB 反射后又回到 P 点, 则 光线所经过的路程是( ) A.2 10 C.3 3 B.6 D.2 5

[答案] A

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(2)若点 P(a,b)与点 Q(b+1,a-1)关于直线 l 对称,则 直线 l 的方程是________.

b-a+1 x-y-1=0 [解析] ∵kPQ= =-1,∴kl=1.又 a-b-1 ?a+b+1 a+b-1? ? ∵PQ 的中点为? , ? ?,∴直线 l 的方程为 y- 2 2 ? ? a+b-1 a+b+1 =x- ,即 x-y-1=0. 2 2

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【变式】已知直线 l:y=3x+3.试求: (1)点 P(4,5)关于直线 l 对称的点的坐标; (2)直线 y=x-2 关于直线 l 对称的直线的方程; (3)直线 l 关于点 A(3,2)对称的直线的方程.
解:(1)设点 P 关于直线 l 对称的点为 P′(x′,y′),则 PP′ 的中点 M 在直线 l 上,且直线 PP′垂直于直线 l,即 x′+4 ? ?y′+5=3· +3, ? 2 2 ? ?x′=-2, ? 解得 ? ∴ P ′点的坐标 ? ?y′=7, ?y′-5· 3=-1, ? x ′ - 4 ? 为(-2,7),故点 P 关于直线 l 对称的点的坐标为(-2,7).

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(2)设直线 y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l1,则直线 l1 过 y=3x+3 与 y=x-2 的交点,设其方程为(3x-y+3)+λ(x -y-2)=0.∵直线 l 上点(0,3)到直线 y-x+2=0 的距离 d= |3+2| 5 = ,l1 方程的一般式为(1+λ)y-(3+λ)x+2λ -3=0, 2 2 |(1+λ)×3+2λ-3| ∴点(0,3)到直线 l1 的距离为 d= 2 2= (1+λ) +(3+λ) |5λ | 5 5 = ,∴4λ+5=0,解得 λ=- ,∴符合条件 2 4 2 2λ +8λ+10 1 7 22 的直线方程为- y- x- =0,即 7x+y+22=0. 4 4 4

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(3)设直线 l 关于点 A(3, 2)对称的直线为 l3, 则直线 l 上任 一点 P(x1,y1)关于点 A 的对称点 P3(x3,y3)一定在直线 l3 上, ? ?x1+x3=3, ? ? 2 ?x1=6-x3, 反之也成立. 联立? 解得? 将其代入直线 ? y + y y = 4 - y , ? 1 3 ? 1 3 = 2, ? ? 2 l 的方程后,得 3x3-y3-17=0,即直线 l3 的方程为 3x-y-17 =0.

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? 题型四 最值问题 [类型总述](1)点线对称;(2)三角形中边的性质;(3)二次函 数最值.

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例 4 在直线 y=x+2 上求一点 P, 使得点 P 到直线 l1: 3x-4y+8=0 和直线 l2: 3x-y-1=0 的距离的平方和最小.

解:设 P 点坐标为(x0,x0+2),点 P 到直线 l1 的距离为 d1,点 P 到直线 l2 的距离为 d2, ?|3x0-4(x0+2)+8|? ? ? 2 2 令 y = d 2 + d = + 2 2 1 2 ? ? 3 +4 ? ? ?|3x0-(x0+2)-1|? ? ?2 2 2 ? ? , 3 + 1 ? ? 22x2 -60 15 0-60x0+45 整理得 y= ,∴当 x0=- =11时, 50 2×22 ?15 37? 37 y 最小,此时 y0=x0+2=11,∴P 点坐标为?11,11?. ? ?

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【变式】[四川卷] 设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my =0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y), 则|PA|· |PB|的最大值是________.
5 [解析] 由题意可知,定点 A(0,0),B(1,3),且两条 直线互相垂直,则其交点 P(x,y)落在以 AB 为直径的圆周上, 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10. |PA|2+|PB|2 所以|PA||PB|≤ =5,当且仅当|PA|=|PB|时,等 2 号成立.



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