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04直线与抛物线的位置关系


直线与抛物线的位置关系

y

O

x

一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离;2、相切;3、相交(一个交 点,两个交点)

二、判断方法探讨 1、直线与抛物线相离,无交点。

例:判断直线 y = x +2与
y 抛物线 y =4x2 的位置关系 计算结果:得 到一元二次方 程,需计算判 别式。相离。

O

x

二、判断方法探讨 2、直线与抛物线相切,交与一点。

例:判断直线 y = x +1与
y 抛物线 y =4x2 的位置关系 计算结果:得 到一元二次方 程,需计算判 别式。相切。

O

x

二、判断方法探讨 3、直线与抛物线的对称轴平行,相交与 一点。 例:判断直线 x = 6 与抛物线 y=4x2 的位 置关系

计算结果:得到一 元一次方程,容易 解出交点坐标

二、判断方法探讨 4、直线与抛物线的对称轴不平行,相交 与两点。 例:判断直线 y = x -1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得到一 元二次方程,需计 算判别式。相交。

x
O

三、判断位置关系方法总结(方法一) 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程

得到一元二次方程
计算判别式

直线与抛物 线相交(一 个交点)

1、判别式大于 0,相交(2 交点) 2、判别式等于 0,相切 3、判别式小于 0,相离

三、判断位置关系方法总结(方法二) 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 不平行 计算判别式 直线与抛物 线相交(一个 交点)

判别式大于 0,相交
判别式等于 0,相切 判别式小于 0,相离

例 1:已知直线 l:y=kx+1 和抛物线 2 C:y=4x ,试判断当 k 为何值时,l 与 C 有: ① 一个公共点;②两个不同公共点; ③没有公共点.

例2 当b为何值时,直线y= -2x+b与抛物线 (1)相交,(2)相切,(3)相离?
解:由方程组{

x ? 2y
2

y ? ?2x ? b 消去 y ,并整理得 2 x ? 2y

x 2 ? 4x ? 2b ? 0

Δ ? 42 ? 4 ? (?2b) ? 8(2? b) (1)当 ? ? 0 即b>-2时,直线与抛物线相交 (2)当 ? ? 0 即b=-2时,直线与抛物线相切

(3)当 ? ? 0即b<-2时,直线与抛物线相离

例3 求过定点P(1,0)且与抛物线 y ? 2x 只有一个公共点的直线的方程.

2

解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0.

x ?0 由{ 2 y ? 2x

x ?0 得 { y ?0

故直线 x=0与抛物线只有一个交点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是 y=kx+1, y ? kx ?1 由方程组 { y 2 ? 2x 消去 y 得

k x ? 2(k ?1)x ? 1 ? 0
2 2

故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 . 当k≠0时,若直线与抛物线只有一个公共点,则
1 此时直线方程为 y ? x ? 1. 2
1 Δ ? 4(k ? 1) ? 4k ? 0,? k ? . 2
2 2

1 当 k=0时,x= ,y=1. 2

1 综上所述,所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 y ? x ? 1. 2 点评:本题用了分类讨论的方法.若先用数 形结合,找出符合条件的直线的条数,就不会 造成漏解。

例4 在抛物线 y ? x 上求一点,使它到直线 2x-y-4=0的距离最小.
2

解:设P(x,y)为抛物线 y ? x 上任意一点, 则P到直线2x-y-4=0的距离
2

| 2x ? y ? 4 | | 2x ? x ? 4 | | (x ? 1) ? 3 | d? ? ? 5 5 5
2 2

当且仅当 x=1 时, d min

3 ? 5



此时 y=1, 所求点的坐标为P(1,1).

另解: 观察图象可知,平移直线至与抛物 线相切,则切点即为所求.
设切线方程为 2x-y+C=0, 联立 y ? x 2 得 x 2 ? 2x ? C ? 0 (?)
由 Δ ? (?2)
2

? 4 ? (?C) ? 0

得 C=-1

又由(? )得 x=1,∴y=1. 故所求点的坐标是(1,1). 点评:此处用到了数形结合的方法.

直线和抛物线题型
? 过某一点的直线和抛物线只有一个交点; ? 过抛物线上某一点和已知直线距离最近; ? 含有一个字母的直线与抛物线相交情况, 或者反之字母在抛物线上。


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