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3.1《二维形式的柯西不等式》课件(新人教选修4-5)



新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修4-5

3.1《二维形式的柯西不等式》

教学目标
? 认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几 何意义, 并会证明二维柯西不等式及向量形式; 会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题, 体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问 题与经典不等式之间的

关系,经过适当变形,依 据经典不等式得到不等关系。 ? 教学重点:会证明二维柯西不等式及三角不等式; 利用二维柯西不等式解决问题。 ? 教学难点:理解几何意义,如何变形,套用已知 不等式的形式 。

二维形式的柯西不等式
引入
探究问题

柯西不等式

向量形式

柯西不等式 的应用思考

作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题 37

二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值, 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 ? a2 ? ? ? an ≥ n a1a2 ? an (ai ? R ? , i ? 1, 2,? , n) . n 本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养.

思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a 2 ? b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:

设 a, b, c, d 为任意实数.
(a ? b )(c ? d )
2 2 2 2





发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数,则 (a ? b )(c ? d ) ≥ (ac ? bd ) . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.

你能简明地写出这个定理的证明?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 ? 思考:设 a, b ? R , a ? b ? 1, 求证: ? ≥ 4 . a b

思考解答

变形

运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 ? 思考 1:设 a, b ? R , a ? b ? 1, 求证: ? ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b ? R? ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a ? b)( ? ) ≥ ( a ? ? b? ) ?4 a b a b 又 a ? b ? 1, 1 1 ∴ ? ≥4 a b

可以体会到,运用柯西不等式,思路一步到 位,简洁明了!解答漂亮!

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ≥ (ac ? bd )2 . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:

⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 ,则 (a 2 ? b 2 ) ? (c 2 ? d 2 ) ≥ ac ? bd . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.

⑵若 a, b, c, d 都是实数,则 (a 2 ? b 2 ) ? (c 2 ? d 2 ) ≥ ac ? bd .

另外由这两个结论,你和以前学过的什么知识 会有联想.

定理 2(柯西不等式的向量形式) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ≥ ? ? ? . ?? ? ? ? ? 当且仅当 ? 是零向量或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. ? ? ? ? 注:若 ? ? ( x1 , y1 ) , ? ? ( x2 , y2 ) ,则 ? ?? ? x1 x2 ? y1 y2 cos ? , ? ? 2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 ) ≥( x1 x2 ? y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.
三角不等式

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 ) ≥( x1 x2 ? y1 y2 )2 .
(发现)定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 ? R, 那么
( x12 ? y12 ) ? ( x22 ? y22 ) ≥ ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 当 且 仅 当

当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.

x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.
y
P ( x1 , y1 ) 1

y

P ( x1 , y1 ) 1
| y1 - y2 |
x

?

P2 ( x2 , y2 )

?

O

这个图中有什么 不等关系?

P ( x2 , y2 ) 2
O
| x1 - x2 |

x

柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 ,求 x ? 2 y 的最大值.
变式 1.已知 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 ,求 x ? 2 y 的最大值.

变式 2.已知 3 x ? 2 y ? 6 ,求 x 2 ? y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x ? 2 y ? 6 ,求 x 2 ? 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值.

课堂练习

课堂练习 1: 已知 a,b? R ? ,a+b=1, x1 , x2 ? R? ,

求证: ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ x1 x2
分析:如果对不等式左端用柯西不等式,就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下,情况就不同了. 证明:∵ ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? = ? ax1 ? bx2 ? ? ? ax2 ? bx1 ? 由柯西不等式可知

? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ ? a
2

x1 x2 ? b x1 x2

?

2

= ? a ? b ? x1 x2 ? x1 x2 .得证 作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题

37

课外思考: 1.已知 a 1 ? b ? b 1 ? a ? 1, 求证: a ? b ? 1 . 2.设 a,b,c 为正数且不相等,求证: 2 2 2 9 ? ? ? . a?b b?c c?a a?b?c ? 3. 设 x1 , x2 , ?, xn ? R , 求证:
2 2
2 2

x x x x2 ? ??? ? ≥ x1 ? x2 ? ? ? xn x2 x3 xn x1 (1984 年全国高中数学联赛题)
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题 37

2 1

2

2 n ?1

2 n

已知 a 1 ? b2 ? b 1 ? a 2 ? 1, 求证: a 2 ? b2 ? 1 。 证明:由柯西不等式,得 2 2 ?a 2 ? ? 1 ? a 2 ? ? ?b2 ? ? 1 ? b 2 ? ? ? 1 a 1? b ? b 1? a ≤? ?? ?
1 ? b2 ? 当且仅当 时,上式取等号, a 1 ? a2 b

? ab ? 1 ? a 2 ? 1 ? b2 ,
a b ? ?1 ? a
2 2 2

?? 1 ? b ? ,
2

a 2 ? b2 ? 1 。 于是 注: 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的

分析:我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆,9=? 1 ? 1 ? 1 ? ,
2

2 ? a ? b ? c ? ? ? a ? b? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明: 1 1 ? 1 1 ? ? 1 ? 1 2?a ? b ? c? ? ? ? ? ? ? ?? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? ? ? a ? b ? b ? c ? c ? a ? ? ? ? a?b b?c c?a ? ? ? ?? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? a ? b 2 ? b? c 2 ? c? a 2??? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? a ? b ? ? b ? c ? ? c ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

?

? ?

? ?

?

? 1 1 1 ? 2 ≥? a ? b ? ? b?c ? ? c?a? ? ? ? 1 ? 1 ? 1? ? 9 ? a?b b?c c?a ? ? ? 2 2 2 9 ? ? ? ≥ a?b b?c c?a a?b?c ?a,b,c 各不相等,? 等号不可能成立,从而原不等式成立。

2

3.证明:在不等式的左端嵌乘以因式 ? x2 ? x3 ? ?? xn ? x1 ? , 也即嵌以因式 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ,由柯西不等式,得

?

2 2 2 xn?1 xn x1 x22 ? ??? ? x2 x3 xn x1

? ? ( x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 )

2 2 2 2 ?? ?x ? ? x ? ? x1 ? ? x2 ? ? ?? ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? ?? ? x ? ? x ? ? ? ? x2 ? ? x3 ? ? ? ? ? n? ? 1? ? ?? ? x 2 ? x 2 ??? x 2 ? x 2 ? ?? 2 3 n 1 ? ? ? ? x ? xn ?1 xn x2 1 ≥? ? x2 ? ? x3 ? ? ? ? xn ? ? x1 ? ? x ? x3 xn x1 ? 2 ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ,
2
2 2 2 xn?1 xn x1 x22 于是 ? ??? ? ≥ x1 ? x2 ? ? ? xn . x2 x3 xn x1



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