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一次函数和反比例函数的综合题



有关一次函数和反比例函数的综合题
在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现,这类试题不 仅能考查两个函数的基本性质,而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以 2006 年的中考题为例,浅谈这类问题的解法,供参考。 一. 探求同一坐标系下的图象 例 1. (2006 年韶关市中考题)已知函数 y ? mx 与 y ? 的图象大致如图 1,则下列结论正确的是(

A. m ? 0, n ? 0 B. m ? 0, n ? 0 ) D. m ? 0, n ? 0
n 在同一直角坐标系中 x

C. m ? 0, n ? 0

例 2. ( 2006 年贵港市中考题)在同一直角坐标系中,函数 y ? ?kx ? k 与
y? k (k ? 0) 的图象大致是( x



A.

B. 图2

C.

D.

二. 探求函数解析式 例 3. (2006 年广东省中考题)如图 3,直线 y ? k 1 x ? b 与双曲线 y ?
k2 只有 x

一个交点 A(1,2) ,且与 x 轴,y 轴分别交于 B,C 两点,AD 垂直平分 OB,垂足 为 D,求直线与双曲线的解析式。

1

三. 探求三角形面积 例 4. (2006 年菏泽市中考题)如图 4,反比例函数 y ? ?
4 的图象与直线 x

1 y ? ? x 的交点为 A,B,过点 A 作 y 轴的平行线与过点 B 作 x 轴的平行线相交于 3

点 C,则 ?ABC 的面积为( A. 8 B. 6

) C. 4 D. 2

例 5. (2006 年武汉市中考题)如图 5,已知点 A 是一次函数 y ? x 的图象与 反比例函数 y ?
2 的图象在第一象限内的交点, 点 B 在 x 轴的负半轴上, 且 OA=OB, x

那么 ?AOB 的面积为(



A. 2

B.

2 2

C.

2
2

D. 2 2

四. 探求点的坐标 例 6. (2006 年咸宁市中考题)如图 6,直线 y ? x ? 1 分别交 x 轴、y 轴于 点 A,C,点 P 是直线 AC 与双曲线 y ?
k 在第一象限内的交点, PB ? x 轴,垂足 x 1 2

为点 B, ?APB的面积为 4。求点 P 的坐标;

一次函数、反比例函数的图象和性质 一、选择题
2 的图象上的一个点的坐标是( ) x 1 1 A. (2,1) B. (-2,1) C. (2, ) D. ( ,2) 2 2 a 2.函数 y=(a-1)x 是反比例函数,则此函数图象位于( ) A.第一、三象限; B.第二、四象限; C.第一、四象限; D.第二、 三象限 3. 已知正比例函数 y= (3k-1) x, y 随着 x 的增大而增大, 则 k 的取值范围是 ( ) 1 1 A.k<0 B.k>0 C.k< D.k> 3 3 4. 直线 y=x-1 与坐标轴交于 A、 B 两点, 点 C 在坐标轴上, △ABC 为等腰三角形, 则满足条件的点 C 最多有( )个 A.4 B.5 C.7 D.8 k 5.在函数 y= (k>0)的图象上有三点 A1(x1,y1) ,A2(x2,y2) ,A3(x3,y3) , x 已知 x1<x2<0<x3,则下列各式中,正确的是( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 6.下列说法不正确的是( ) A. 一次函数不一定是正比例函数 B.不是一次函数就一定不是正比例函数 C. 正比例函数是特殊的一次函数 D.不是正比例函数就一定不是一次函数 7.在同一平面直角坐标系中,对于函数①y=-x-1,②y=x+1,③y=-x+1,④y=-2 (x+1)的图象,下列说法正确的是( ) A.通过点(-1,0)的是①③ B.交点在 y 轴上的是②④ C.相互平行的是①③ D.关于 x 轴对称的是②④

1.在反比例函数 y=

3

1 1 x+ 上,到 x 轴或 y 轴的距离为 1 的点有( )个 2 2 A.1 B.2 C.3 D.4 9.无论 m、n 为何实数,直线 y=-3x+1 与 y=mx+n 的交点不可能在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.一次函数 y=kx+(k-3)的函数图象不可能是( )

8.在直线 y=



二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 11.一次函数 y=kx+b 中,y 随 x 的增大而减小,且 kb>0,则这个函数的图象一 定不经过第______象限. k 12.如图 6-2,点 A 在反比例函数 y= 的图象上,AB 垂直于 x 轴,若 S△AOB=4,? x 那么这个反比例函数的解析式为________.

13.如图 6-3,弹簧总长 y(cm)与所挂质量 x(kg)之间是一次函数关系,则 该弹簧不挂物体时的长度为________. 14.已知函数 y=(k+1)x+k2-1,当 k_______时,它是一次函数;当 k______时, 它是正比例函数. 15.一次函数图象与 y=6-x 交于点 A(5,k) ,且与直线 y=2x-3 无交点,则这个 一次函数的解析式为 y=________. 16.已知函数 y=3x+m 与函数 y=-3x+n 交于点(a,16) ,则 m+n=________. 17.已知直线 L:y=-3x+2,现有命题:①点 P(-1,1)在直线 L 上;②若直线 2 1 10 ;③若点 M( ,1) L 与 x 轴、? y 轴分别交于 A、B 两点,则 AB= ,N(a, 3 3 1 b)都在直线 L 上, 且 a> ,则 b>1;?④若点 Q 到两坐标轴的距离相等,且 3 Q 在 L 上,则点 Q 在第一或第四象限.?其中正确的命题是_________. 18.老师给出一个函数,甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质. 甲:函数的图象经过了第一象限; 乙:函数的图象也经过了第三象限; 丙:在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。请你写出一个满足这三个条件的 函数: ____.

4

三、解答题(本大题共 46 分,19~23 题每题 6 分,24 题、25 题每题 8 分.解 答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) m ?1 19.已知一次函数 y=x+m 与反比例函数 y= 的图象在第一象限内的交点为 P x (x0,3) . (1)求 x0 的值; (2)求一次函数和反比例函数的解析式.

20.如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=

m 的图象交于 A(-2,1) , x

B(?1,n)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围.

21.已知 y+a 与 x+b 成正比例,且当 x=1,-2 时,y 的值分别为 7,4.求 y 与 x 的函数关系式.

22.图中的直线的交点可看作是方程组的解,?请用你所学的知识求出这个方程 组.

5

3.如图,一次函数 y=-

3 x+1 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,以线 3

段 AB?为边在第一象限内作等边△ABC. (1)求△ABC 的面积. 1 (2)如果在第二象限内有一点 P(a, ) ,请用含 a 的式子表示四边形 ABPO 的 2 面积,?并求出当△ABP 的面积与△ABC 的面积相等时 a 的值.

24.某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售价 x(元)?与产品的日销 售量 y(件)之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 … y(件) 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. (1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的函数关系式. (2) 要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元??此时每 日销售利润是多少元?

25.已知:如图,函数 y=-x+2 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,一直线 L 经过点 C(1,0)将△AOB 的面积分成相等的两部分. (1)求直线 L 的函数解析式; (2)若直线 L 将△AOB 的面积分成 1:3 两部分,求直线 L 的函数解析式.

6



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