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正弦定理第二课时 2


一. 复习提问
1. 说出正弦定理的内容,它的作用是什么?
正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦值 的比相等. 即:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
(1)已知两角和任一边,求其它两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而可 求出其他的边和角.

一、三角形解的判定方法

已知两边和其中一边的对角解三角形的讨论 在? ABC中,已知两边a、b 和其中边 a 的对角 A 解三角形,有以下几种情况:
C
b

a

B
C b a

A

1. A为锐角时:
A

(1) a < b sinA,无解;

C b A a
b A C a

B

B

(2) a = b sinA,一个解;

(4) a ≥ b,一个解.
C b a a

A

B1

B2

(3) b sinA < a < b,两个解;

已知两边和其中一边的对角解三角形的讨论
在三角形ABC中,已知 两边a、b 和其中边 a 的 对角 A 解三角形,有以 下几种情况:
A C b a

B

1. A为锐角时:
C b A a

(2) a = b sinA,一个解;
C b A B1 a a

B2

(1) a < b sinA,无解; (3) b sinA < a < b,两个解;

2. A为直角或钝角时:
C a b

?ABC中:大角对大边
B

A

(1) a > b ,一个解.
C a b

A

(2) a ≤ b ,无解;

例4:在?ABC中 (1)已知A ? 45 ,a ? 2,b ? 2求B。
0

(2)已知A ? 60 ,a ? 6,b ? 4求B。
0

(3)已知A ? 45 ,B ? 60 ,c ? 3求b 0 答:( 1 )B ? 30 (2 )无解
0 0

3 ( 3 )b ? ( 6 ? 2 ) 2

二、判断三角形的形状:给出三角形中的 三角关系式,判断此三角形的形状.
2

a tan A ,试判断 在△ABC中,若 2 ? b tan B △ABC的形状
解:由正弦定理,得

sin A tan A ? 2 sin B tan B

2

sin A sin A cos B ? · ,∵ sin A ? 0 , sin B ? 0 2 sin B cos A sin B

2

∴sin A cos A ? sin B cos B, 即sin 2 A ? sin 2 B

? 2 A ? 2k? ? 2B



0 ? A ? ?, 0 ? B ? ?,∴k ? 0,则A ? B



2 A ? 2k? ? ? ? 2 B(k ? Z )
A?

?
2

?B

故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

三、已知△ABC的内角A,B及其 对边a,b满足a+b=acotA+ bcotB,求内角C.
答案:C ?

?
2

变式训练

在?ABC中,角A、B、C的对边分别 ??? ??? ??? ??? 为a、b、c,若AB ? AC ? BA ? BC ? 1,c= 2.
(1)判断?ABC的形状; ??? ? ???? (2)若 AB ? AC ? 6,求?ABC的面积
答案:等腰三角形

3 2


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