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高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式(4课时)教案 新人教A选修4-5



第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式(一) 教学要求:认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义, 并会证明二维柯西不等式 及向量形式. 教学重点:会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点:理解几何意义. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: 二元均值不等式有哪几种形式?

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 及几种变式. 2 2. 练习:已知 a、b、c、d 为实数,求证 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2
答案: 证法: (比较法) (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 =….= (ad ? bc)2 ? 0 二、讲授新课: 1. 教学柯西不等式: ① 提出定理 1:若 a、b、c、d 为实数,则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 . → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号? ② 讨论:二维形式的柯西不等式的其它证明方法? 证法二: (综合法) (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? a2c2 ? a2 d 2 ? b2c2 ? b2 d 2

? (ac ? bd )2 ? (ad ? bc)2 ? (ac ? bd )2 . (要点:展开→配方) ?? ? ?? ? 证法三: (向量法)设向量 m ? (a, b) , n ? (c, d ) ,则 | m |? a2 ? b2 , | n |? c2 ? d 2 . ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ∵ m ? n ? ac ? bd ,且 m? ?| m |? n |? ? m, n ? ,则 | m? |?| m |? n | . ∴ ….. n | cos n |
证法四: (函数法)设 f ( x) ? (a2 ? b2 ) x2 ? 2(ac ? bd ) x ? c2 ? d 2 ,则

f ( x) ? (ax ? c)2 ? (bx ? d )2 ≥0 恒成立.
∴ ? ? [?2(ac ? bd )]2 ? 4(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ≤0,即….. ③ 讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式? 变式: a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ?| ac ? bd | 或 或 a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ac ? bd .

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ?| ac | ? | bd |
? ? ? ?

④ 提出定理 2:设 ? , ? 是两个向量,则 | ? ?? |?| ? || ? | . 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 )

? ?? ?

? ? ? ?

→ 讨论:上面时候等号成立?( ? 是零向量,或者 ? , ? 共线) ⑤ 练习:已知 a、b、c、d 为实数,求证 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c)2 ? (b ? d )2 . 证法: (分析法)平方 → 应用柯西不等式 2. 教学三角不等式: → 讨论:其几何意义?(构造三角形)

??

? ?? ?

① 出示定理 3:设 x1 , y1 , x2 , y2 ? R ,则 x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式:若 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 ? R ,则结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式? 3. 小结:二维柯西不等式的代数形式、向量形式;三角不等式的两种形式(两点、三点) 三、巩固练习: 1. 练习:试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 作业:教材 P37 4、5 题. 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式(二)

教学要求:会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题,体会运用经典不等式的一般方法— —发现具体问题与经典不等式之间的关系,经过适当变形,依据经典不等式得到不等关系. 教学重点:利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点:如何变形,套用已知不等式的形式. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:二维形式的柯西不等式、三角不等式? 几何意义? 答案: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ; x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 2. 讨论:如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式,拓广到三维、四维? 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y ? x ? 1 ? 2 ? x 的最大值? 要点:利用变式 | ac ? bd |? a2 ? b2 ? c2 ? d 2 . 二、讲授新课: 1. 教学最大(小)值: ① 出示例 1:求函数 y ? 3 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值? 分析:如何变形? → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式: y ? 3x ? 1 ? 10 ? 2 x
2 2

→ 推广: y ? a bx ? c ? d e ? fx ,(a, b, c, d , e, f ? R? )

② 练习:已知 3x ? 2 y ? 1 ,求 x ? y 的最小值. 解答要点: (凑配法) x2 ? y 2 ?

1 2 1 1 ( x ? y 2 )(32 ? 22 ) ? (3x ? 2 y)2 ? . 13 13 13

讨论:其它方法 (数形结合法) 2. 教学不等式的证明:

1 1 ? ? 2. x y 分析:如何变形后利用柯西不等式? (注意对比 → 构造) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ) ?( ) ]? … 要点: ? ? ( x ? y)( ? ) ? [( x ) 2 ? ( y ) 2 ][( x y 2 x y 2 x y 讨论:其它证法(利用基本不等式) 1 1 ② 练习:已知 a 、 b ? R? ,求证: (a ? b)( ? ) ? 4 . a b 3. 练习: a b ① 已知 x, y, a, b ? R ? ,且 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值. x y
① 出示例 2:若 x, y ? R? , x ? y ? 2 ,求证:

a b 要点: x ? y ? ( ? )( x ? y ) ? …. x y

→ 其它证法

② 若 x, y, z ? R? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值. (要点:利用三维柯西不等式) 变式:若 x, y, z ? R? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求 x ? y ? z 的最大值. 3. 小结:比较柯西不等式的形式,将目标式进行变形,注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P37 8、9 题 2. 作业:教材 P37 1、6、7 题 第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式 教学要求:认识一般形式的柯西不等式,会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式,并应

用其解决一些不等式的问题. 教学重点:会证明一般形式的柯西不等式,并能应用. 教学难点:理解证明中的函数思想. 教学过程: 一、复习准备: 1. 练习: 2. 提问:二维形式的柯西不等式?如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维? 答案: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ; (a2 ? b2 ? c2 )(d 2 ? e2 ? f 2 ) ? (ad ? be ? cf )2 二、讲授新课: 1. 教学一般形式的柯西不等式: ① 提问:由平面向量的柯西不等式 | ? ?? |?| ? || ? | ,如果得到空间向量的柯西不等式及代数形 式? ② 猜想:n 维向量的坐标?n 维向量的柯西不等式及代数形式? 结论:设 a1 , a2 ,?, an , b1 , b2 ,?, bn ? R ,则

? ? ? ?

? ? ? ?

(a12 ? a22 ? ?an 2 )(b12 ? b22 ? ? ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbn )2 a a a 讨论:什么时候取等号?(当且仅当 1 ? 2 ? ? ? n 时取等号,假设 bi ? 0 ) b1 b2 bn

C 联想: B ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ,A ? a12 ? a22 ??an 2 , ? b12 ? b22 ? ? ? bn2 , 设 则有 B 2 ? AC ? 0 , 可联想到一些什么? ③ 讨论:如何构造二次函数证明 n 维形式的柯西不等式? (注意分类) 2 2 2 2 要点:令 (x)(a12 ? a2 ? ??? ? an ) x2 ? 2(a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ) x ?(b12 ? b2 ? ??? ? bn ) ,则 f ?
f ( x) ? (a1 x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ? ???+(an x ? bn )2 ? 0 .
又 a12 ? a22 ? ??? ? an 2 ? 0 ,从而结合二次函数的图像可知,

? ? ?2(a1b1 ? a2b2 ? ?anbn )? ? 4(a12 ? a22 ??an2 )? (b12 ? b22 ? ? ? bn2 ) ≤0
2

即有要证明的结论成立. (注意:分析什么时候等号成立.) ④ 变式: a12 ? a22 ? ?an2 ? (a1 ? a2 ? ??? ? an )2 .

1 n

(讨论如何证明)

2. 教学柯西不等式的应用: ① 出示例 1:已知 3x ? 2 y ? z ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值. 分析:如何变形后构造柯西不等式? → 板演 → 变式: 1 1 1 y z ② 练习:若 x, y, z ? R? ,且 ? ? ? 1 ,求 x ? ? 的最小值. x y z 2 3 ③ 出示例 2:若 a > b > c ,求证: 要点: (a ? c)(

1 1 4 ? ? . a?b b?c a?c

1 1 1 1 ? ) ? [(a ? b) ? (b ? c)]( ? ) ? (1 ? 1)2 ? 4 a ?b b ?c a ?b b ?c

3. 小结:柯西不等式的一般形式及应用;等号成立的条件;根据结构特点构造证明. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P41 4 题 2. 作业:教材 P41 5、6 题 第四课时 3.3 排序不等式 教学要求:了解排序不等式的基本形式,会运用排序不等式分析解决一些简单问题,体会运用 经典不等式的一般方法.

教学重点:应用排序不等式证明不等式. 教学难点:排序不等式的证明思路. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: 前面所学习的一些经典不等式? (柯西不等式、三角不等式) 2. 举例:说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课: 1. 教学排序不等式: ① 看书:P42~P44. ② 提出排序不等式(即排序原理) : 设有两个有序实数组: a1 ? a2 ? ·· ? an ; b1 ? b2 ? ·· ? bn . c1 , c2 , ·· c n 是 b1 , b2 ,· , bn 的 · · · ·· 任一排列,则有 a1b1 ? a2b2 ? ··+ an bn (同序和) ·

? a1c1 ? a2c2 +··+ an cn (乱序和) · ? a1bn ? a2bn ?1 +··+ an b1 (反序和) · 当且仅当 a1 ? a2 ? ··= an 或 b1 ? b2 ? ··= bn 时,反序和等于同序和. · · (要点:理解其思想,记住其形式) 2. 教学排序不等式的应用: ① 出示例 1:设 a1 , a2 , ???, an 是 n 个互不相同的正整数,求证: a a a3 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? a1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n . 2 2 3 n 2 3 n2 分析:如何构造有序排列? 如何运用套用排序不等式? 证明过程: 设 b1 , b2 , ???, bn 是 a1 , a2 , ???, an 的一个排列,且 b1 ? b2 ? ??? ? bn ,则 b1 ? 1, b2 ? 2, ???, bn ? n . 1 1 1 又 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ,由排序不等式,得 2 3 n an b a2 a3 b b a1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? b1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? … 2 2 2 3 n 2 3 n2 小结:分析目标,构造有序排列. ② 练习: 已知 a , b, c 为正数,求证: 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a2 (b ? c) ? b2 (a ? c) ? c2 (a ? b) .
解答要点:由对称性,假设 a ? b ? c ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 , 于是 a 2 a ? b2b ? c 2 c ? a 2c ? b 2 a ? c 2b , a 2 a ? b2b ? c 2 c ? a 2b ? b 2c ? c 2 a , 两式相加即得. 3. 小结:排序不等式的基本形式. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P45 1 题 2. 作业:教材 P45 3、4 题



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