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高考理科数学大一轮复习数列专题一 数列通项公式的求法


【博职教育】 内部资料

高考大一轮复习数列专题

专题一 数列通项公式的求法
求递推数列的通项公式的常用方法:
(1) 观察法 (2) 公式法 (3) 构造法 (4) 迭代法(累加和累乘) (5) 待定系数法

几种常见递推数列的递推公式
(1) an?1 ? an ? d (d 为常数)或 an?1 ? qan (q 为常数) ; (2) an?1 ? an ? f (n) 或 an?1 ? f (n) ? an (累加法、累乘法) (3) an?1 ? can ? d (c 、 d 是常数 ) ;待定系数法 (4) an?2 ? pan?1 ? qan ( p 、 q 是常数 ) ; (5) a n ?1 ?

Aan ? B ( A, B, C, D 为常数) 。 (加 ? 再取倒) Ca n ? D

【例 1】已知数列:1,3,6,10,15,…,写出此数列的一个通项公式。

【例 2】已知数列满足: a1 ? 1 , 2 n?1 an ? an?1 ( n ? N , n ? 2 ) ,求 an 。

【例 3】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an 。 方法一(等式排减法) : ? an?1 ? 2an ? 3 ① , ∴ an ? 2an?1 ? 3 ② 。 两 式 相 减 得

an?1 ? an ? 2?an ? an?1 ? , 即

an?1 ? an =2 ?n ? 2? 。 又 a1 ? 2 , a2 ? 2a1 ? 3 ? 7 , ∴ an ? an?1
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a2 ? a1 ? 5 。 ∴ ?an ? an?1 ? ?n ? 2? 是 以 2 为 公 比 , 首 项 为 5 的 等 比 数 列 。 ∴

an ? an?1 =5 ? 2 n?2 ?n ? 2? ③ 。 联 立 ② ③ 解 得 an ? 5 ? 2 n?2 -3 ?n ? 2? 。 又 当 n ? 1 时 , a1 ? 5 ? 21?1 ? 3 ? 2 成立。∴ an ? 5 ? 2 n?2 -3。
方法二(累加法)

方法三(待定系数法)

【例 4】在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 ,且 a n ?1 ?

2a n ,求其通项公式 an 。 an ? 2

【方法】一般地,对于 a n ?1 ?

Aan ? B 1 型的递推数列,利用待定系数法,求出 与 a n ?1 ? ? Ca n ? D

1 的递推关系,再进行求解。 an ? ?
【例 5】已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 。 (1) 若 a1 ? 5 , a n ?1 ? S n ,求 an 。 (2) 若 S n = (a n ? 1), ( n ? N *) ,求 an 。

1 3

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练习:
1、在数列 ?an ? 中, a61 ? 2000,且 an?1 ? an ? n ,则 a1 =( A.168 B.169 C.170 )

D.171 )

2、数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = A.2 (n 2 ? n ? 1)

3 a n ? 3 ,则这个数列的通项公式是( 2
n

B.3*2

C.3n+2

D.2*3

n

3、已知数列 ?an ? 满足 a0 ? 1 ,an ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1( n ? 1 ) ,则当 n ? 1 时,an ? A.2n B.

n( n ? 1) 2

C.2

n ?1

D.2

n

4、数列 ?an ? 满足 x1 ? 1, x 2 ?

2 1 1 2 ?n ? 2? ,则 xn ? _________ ,且 = ? 3 xn?1 xn?1 x n

5、 (累乘法)数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a n ?1 ?

n a n ,则 an = _________ n ?1

6、在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2n?1 ,求其通项公式 an 。

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专题二

数列的求和

常见的求和方法有: (1) 公式求和法:直接利用等差或等比数列的前 n 项公式求和。 (2) 倒序相加法: (3) 错位相减法:主要适用于求数列 ?an bn ?的前 n 项和,其中 ?an ? 、 ?bn ? 分别是等差、 等比数列。 (4) 裂项求和法:把一个数列的通项分解成两项或多项差的形式,从而在相加的过程消 去一些项,最终达到求和的目的。 常见的裂项公式有: ①

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ); ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k
1 n ? n?k ? 1 ( n ? k ? n ). k



(5) 分组求和法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列适当拆开,可 分成几个等差、等比或可直接求和的数列,即能分别求和,然后再合并。 【例 1】 (1)已知在数列 ?an ? 中, an ? 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n?1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 。 (2)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?2n ? 10,求数列{| an |}的前 n 项和。

【例 2】设 f ( x) ?

1 2 2006 2007 4x )+ f ( )+ … + f ( )+ f( )。 ,求和: S ? f ( x 2008 2008 2008 2008 4 ?2

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【例 3】 (错位相减法)求数列 1, 3 x , 5 x , 7 x ,… , (2n ? 1) x
2 3

n ?1

前 n 项的和。

【例 4】求和: S n ?

1 1 1 ? ??? 。 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2)(3n ? 1)

【例 5】 (分组求和法)求和: S n ? 12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? (?1) n?1 n 2 。

【例 6】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 设 an 是 S n 与 2 的等差中项, 数列 { bn } 中, b1 = bn ? 2 (1)求 an , bn ; (2)若数列{ bn }的前 n 项和为 Bn ,比较

1 1 1 ? ??? 与 2 的大小; B1 B2 Bn

(3)令 Tn =

b b1 b2 + + ?? n ,是否存在正整数 M,使得 Tn <M 对一切正整数 n 都成立? a1 a 2 an

若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由。

练习:
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1、设 f (n) ? 2 ? 2 4 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N*) ,则 f (n) ? ( A.



2 n 2 2 2 (8 ? 1) B. (8 n ?1 ? 1) C. (8 n ?3 ? 1) D. (8 n ? 4 ? 1) 7 7 7 7


2、设数列{ (?1) n?1 ? n }的前 n 项和为 S n ,则 S 2007 的值为( A.-2007 B. -1004 C.2007
2

D.1004 | a10 |的值 ( )

3、 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n = n ? 4n ? 1 , 则| a1 | +| a2 |+| a3 |+ … + A.65 B。67 C。61 D。56

1 1 1 1 4、数列 1 ,3 ,5 ,7 , ? 的前 n 项和 S n =___________。 2 4 8 16
5、设 f (n) ?

1 2 ? 2
x

,则 f (?5) ? f (?4) ? ? f (5) ? f (6) ? ________

6、正数数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 2 S n ? a n ? 1, (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 ,数列{ bn }的前 n 项和为 Bn ,求证: Bn < . 2 a n a n ?1

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