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【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.5平面上两点间的距离课件 苏教版必修2



2.1.5 .

平面上两点间的距离

学习目标 1.掌握两点间的距离公式及其简单的应用; 掌握两点间的距离公式及其简单的应用; 掌握两点间的距离公式及其简单的应用 2.掌握中点坐标公式,并能用中点坐标公式解决 .掌握中点坐标公式, 一些简单的问题. 一些简单的问题.

2.1.5 课前自主学案 平 面 上 两 点

间 的 距 离

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.直线 1:A1x+B1y+C1=0与直线 2:A2x+B2y+ .直线l 与直线l + + 与直线 + + C2=0相交的条件为:_____________. 相交的条件为: A1B2≠A2B1 相交的条件为 2. 三条直线能构成三角形的条件为 : __________ . 三条直线能构成三角形的条件为: 两两相交 且不共点 . ___________.

知新益能 1.平面上两点 1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离 1P2= .平面上两点P 间的距离P , 间的距离

(x2-x1)2+(y2-y1)2, 特别地 , O(0,0)与 P(x, y)的距 _________________, 特别地, 与 , 的距

x2+y2 离|OP|=__________. =

思考感悟 1.两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式是 . , 之间的距离公式是 否可以写成|P = 的形式? 否可以写成 1P2|= (x1-x2)2+(y1-y2)2的形式?

提示:可以.原因是
2 2

(x2-x1)2+(y2-y1)2 =

(x1-x2) +(y1-y2) ,也就是说公式中 P1,P2 两点 的位置没有先后之分. 的位置没有先后之分.

2.中点坐标公式 . 对于平面上的两点P 对于平面上的两点 1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段 , ,

x1+x2 y1+y2 ( ) , 2 2 P1P2的中点为:_________________. 的中点为: .

思考感悟 2.如何求点(x,y)关于 ,b)的对称点的坐标?点 .如何求点 , 关于 关于(a, 的对称点的坐标 的对称点的坐标? (x,y)关于 轴、y轴、原点、直线 =x,直线 =- , 关于 关于x轴 轴 原点、直线y= ,直线y=- =-x 的对称点分别是什么? 的对称点分别是什么?
提示:设点 , 关于 关于(a, 的对称点为 的对称点为(x 提示:设点(x,y)关于 ,b)的对称点为 ′,y′), ,
?x+x′ ? + =a ? 2 则? y+y′ ? + ? 2 =b ? ?x′=2a-x - . ,解得? ′ - ?y =2b-y

∴对称点坐标为(2a-x,2b-y). 对称点坐标为 - - . 类似可求点(x, 关于 关于x轴 轴 原点、直线y= 类似可求点 ,y)关于 轴、y轴、原点、直线 =x, 直线y=- 的对称点分别为 直线 =-x的对称点分别为 : (x, - y), (- x, =- 的对称点分别为: , , - , y),(-x,-y),(y,x),(-y,-x). - , , , ,- , .

课堂互动讲练

考点突破 两点间距离公式的应用 这类问题主要考查利用两点间距离公式求线段的 长度,使用公式时,应注意横、 长度,使用公式时,应注意横、纵坐标的顺序要 一致. 一致.

例1 本题满分 分 )已知 △ ABC三顶点坐标 - 本题满分14分 已知 已知△ 三顶点坐标A(- 三顶点坐标

3,1)、B(3,-3)、C(1,7),试判断△ABC的形状. 、 的形状. , 、 ,试判断△ 的形状 思路点拨】 【思路点拨】 可先在直角坐标系中画出△ 可先在直角坐标系中画出△ABC, ,

估计其形状,以寻找解题的方向,然后去验证. 估计其形状,以寻找解题的方向,然后去验证.

【规范解答】 法一: AB= (3+3)2+(-3-1)2= 规范解答】 法一: ∵ = + ) - ) 52,AC= (1+3)2+(7-1)2= 52, , = + ) - ) , 又 BC= (1-3)2+(7+3)2= 104,8 分 = - ) + ) , ∴AB2+AC2=BC2,且 AB=AC,12 分 = , ∴△ABC 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形.14 分 ∴△

7-1 - 3 法二: 法二:∵kAC= = , 1-(-3) 2 - ) -3-1 - 2 kAB= =- , 3 3-(-3) - ) =-1. 则 kAC·kAB=- ∴AC⊥AB.6 分 ⊥ 又 AC= (1+3)2+(7-1)2= 52, = + ) - ) , AB= (3+3)2+(-3-1)2= 52,14 分 = + ) - ) , ∴AC=AB. = ∴△ABC 是等腰直角三角形. 是等腰直角三角形. ∴△

名师点评】 【 名师点评 】

(1)判断三角形的形状 , 要采用数 判断三角形的形状, 判断三角形的形状

形结合的方法, 大致明确三角形的形状, 形结合的方法 , 大致明确三角形的形状 , 以确定 证明的方向. 证明的方向. (2)在分析三角形的形状时 要从两个方面来考虑 , 在分析三角形的形状时,要从两个方面来考虑 在分析三角形的形状时 要从两个方面来考虑, 一是考虑角的特征, 如本例的法二, 一是考虑角的特征 , 如本例的法二 , 主要考查是 否为直角或等角,在解析几何中一般借助于斜率, 否为直角或等角 在解析几何中一般借助于斜率, 在解析几何中一般借助于斜率 二是要考虑三角形边的长度特征, 二是要考虑三角形边的长度特征 , 要用到勾股定 理,如本例的法一. 如本例的法一.

变式训练1 变式训练

试在直线x- + = 上求一点 上求一点P, 试在直线 -y+4=0上求一点 ,使

到点M(- , 的距离相等. 点P到点 -2,-4),N(4,6)的距离相等. 到点 , 的距离相等 法一: 解:法一:由直线 x-y+4=0 得 y=x+4, - + = = + , 在该直线上, 点的坐标为(a, 因为点 P 在该直线上,所以可设 P 点的坐标为 ,a +4). . 因为 PM=PN, = ,

所以 [a-(-2)]2+[a+4-(-4)]2 - ) + - ) = (a-4)2+(a+4-6)2, - ) + - ) 即 (a+2)2+(a+8)2= (a-4)2+(a-2)2, + ) + ) - ) - ) 所以(a+ 所以 +2)2+(a+8)2=(a-4)2+(a-2)2, + - -

3 3 5 解得 a=- ,从而 a+4=- +4= , =- + =- = 2 2 2 3 5 的坐标为(- 所以点 P 的坐标为 - , ). . 2 2 法二: 法二: 因为 PM=PN, = , 所以点 P 在线段 MN 的垂直平 分线上. 分线上. 6-(-4) 10 5 - ) 因为 kMN= = = , 4-(-2) 6 3 - ) 3 所以线段 MN 的垂直平分线的斜率 k=- . =- 5

的中点为(1,1), 又 MN 的中点为 , 所以线段 MN 的垂直平分线 3 3 8 的方程为 y-1=- (x-1),即 y=- x+ . - =- - , =- + 5 5 5 又因为点 P 在直线 x-y+4=0 上, - + = 3 8 所以点 P 为直线 x-y+4=0 与 y=- x+ 的交点 - + = =- + 5 5 ? ?x=-3, ?x-y+4=0 - + = =- ? ? 2 由? 3 8 ,得? 5 ? ?y=- x+ =- + 5 5 ? = ?y=2. ? 3 5 的坐标为(- 所以点 P 的坐标为 - , ). . 2 2

线段中点坐标公式的应用 中点坐标公式的应用与数形结合法相联系, 中点坐标公式的应用与数形结合法相联系 , 是解题 的好途径. 的好途径.
例2

一条直线在两直线l 一条直线在两直线 1:3x+y-2=0与l2:x+ + - = 与 +

5y+10=0间的线段被点 ,-3)平分,求这条直 + = 间的线段被点 间的线段被点P(2, 平分, 平分 线l的方程. 的方程. 的方程

思路点拨】 【思路点拨】

可由P(2, 设出l的点斜式方程 可由 ,-3)设出 的点斜式方程 设出 的点斜式方程(

要考虑斜率不存在的情况),也可先设出直线l与 要考虑斜率不存在的情况 ,也可先设出直线 与l1, l2的交点坐标,然后利用中点坐标公式求解. 的交点坐标,然后利用中点坐标公式求解. 法一:当所求直线的斜率不存在时, 【解】 法一:当所求直线的斜率不存在时,方程 ?x=2, = , ,-4); 应为 x=2.由? = 由 得交点 M(2,- ; ,- + - = , ?3x+y-2=0,
? ?x=2, = , 12? ? ? ? ,- 由 得交点 N?2,- 5 ?. ? ? + + = , ?x+5y+10=0,

12 -4- - 5 因为 ≠-3, , 2

所以点(2,- 不是线段 的中点, 所以点 ,-3)不是线段 MN 的中点, ,- 故直线 x=2 不合题意. = 不合题意. 的斜率存在, 所以直线 l 的斜率存在,设方程为 y+3=k(x-2), + = - , ?y+3=k(x-2), + = ( - ) 2k+5 + 得 x= = 由方程组? ; k+3 + + - = , ?3x+y-2=0,
?y+3=k(x-2), + = ( - ) 10k+5 + . 由方程组? 得 x= = 5k+1 + + + = , ?x+5y+10=0, + + 1 ?10k+5 2k+5? ?=2, + 根据中点坐标公式得 ·? , 2 ? 5k+1 k+3 ? + +

解得 k=4. = 所以所求直线的方程为 y+3=4(x-2),即 4x-y- + = - , - - 11=0. =

法二: 法二:设直线 l 与 l1,l2 的交点分别为 A,B. , 设 A(x0,y0),B(x1,y1),由中点坐标公式,得 , ,由中点坐标公式,
?x0+x1 ? =2, , ? 2 ? ?y0+y1 =-3, ? 2 =- , ? ?x1=4-x0, - 所以? =- - ?y1=-6-y0.

因为 A(x0,y0)在 l1 上,B(x1,y1)在 l2 上, 在 在
?3x0+y0-2=0, = , 所以? ( - = , - ?(4-x0)+5(-6-y0)+10=0,

? ?x =13, ? 0 7 解得? 25 ? ?y0=- 7 . ?

25 - +3 7 (x-2), 所以直线 l 的方程为 y+3= + = - , 13 -2 7 即 4x-y-11=0. - - =
名师点评】 法一为一般法, 【名师点评】 法一为一般法, 法二能避免求直 线的交点,是一种非常简便的方法. 线的交点,是一种非常简便的方法.

对称问题 求曲线关于点(中心 的对称问题的一般思想是用代 求曲线关于点 中心)的对称问题的一般思想是用代 中心 入法.一般地,曲线f(x, = 关于点 关于点A(a,b)的对 入法.一般地,曲线 ,y)=0关于点 , 的对 称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0;求点关于直线 - 称曲线的方程是 - = ; 对称问题关键是列出“垂直、平分”的方程组. 对称问题关键是列出“垂直、平分”的方程组.
例3 求直线 - y- 2= 0关于直线 : 3x- y+ 3= 0 求直线x- - = 关于直线 关于直线l: - + =

对称的直线方程. 对称的直线方程.

思路点拨】 本题属于轴对称问题, 【 思路点拨 】 本题属于轴对称问题 , 解决本题有 两种方法, 一是转化为点的对称, 两种方法 , 一是转化为点的对称 , 二是利用轴对称 的条件, 即应用中点公式与直线垂直的条件, 的条件 , 即应用中点公式与直线垂直的条件 , 代入 可得. 可得. ?x-y-2=0 - - = 法一: 【解】 法一:由? , 3x-y+3= ?3x-y+3=0 5 9 得交点 P(- ,- ). - . 2 2 ,-2), 取直线 x-y-2=0 上一点 A(0,- , - - = ,- 3x- + = y . 设 A 点关于直线 l: -y+3=0 的对称点为 A′(x0, 0). : ′

=-1 则根据 kAA′·kl=- 且线段 AA′中点在直线 l:3x ′ : -y+3=0 上. + =
? y0+2 ? =-1 ×3=- =- ?x0-0 有? ? x0 y0-2 × = ?3× 2 - 2 +3=0 ? ?x0=- =-3 . ,解得? =-1 ?y0=-

5 9 故所求直线过点(- ,-1), 故所求直线过点 - ,- )与(-3,- , 与 - ,- 2 2 9 5 所以所求直线方程为 y+ =- + ), + =-7(x+ , 2 2 即 7x+y+22=0. + + =

法二: 法二:设 P(x,y)为所求直线上不同于与直线 l 的交 , 为所求直线上不同于与直线 点的任一点, 点的任一点,点 P 关于直线 l:3x-y+3=0 的对称 : - + = 点为 P′(x′,y′). ′ ′ ′. PP′ PP′ 根据 PP′⊥l 且线段 PP′的中点在直线 l 上.
? y′-y ? ′ =-1 ×3=- =- ?x′-x ′ 可得? ′ ′ ? x′+x y′+y - +3=0 = ?3· 2 2 ?



? + - ?x′=-8x+6y-18 ′ ? 10 解得? 6x+8y+6 + + ? ′ ?y′= 10 ?

.

又因为 P′(x′,y′)在直线 x-y-2=0 上, ′ ′ ′ 在直线 - - = -8x+6y-18 6x+8y+6 + - + + 所以, 所以, - -2=0, = , 10 10 即 7x+y+22=0, + + = , 故所求直线方程为 7x+y+22=0. + + =

名师点评】 【名师点评】

(1)由于点关于点对称的几何模型是 由于点关于点对称的几何模型是

线段中点问题,所以这类题按中点坐标公式求解; 线段中点问题 所以这类题按中点坐标公式求解; 所以这类题按中点坐标公式求解 (2)求点关于直线的对称,则利用中点关系和斜率关 求点关于直线的对称, 求点关于直线的对称 系求解; 系求解; (3)求直线关于直线对称,在一条直线上找一点关于 求直线关于直线对称, 求直线关于直线对称 另一条直线的对称点即可. 另一条直线的对称点即可.

变式训练2 一束平行光线从原点 一束平行光线从原点O(0,0)出发, 经 出发, 变式训练 出发 过直线l: + = 反射后通过点 反射后通过点P(- 过直线 : 8x+ 6y= 25反射后通过点 - 4,3), 求 , 反射光线的方程. 反射光线的方程.
的坐标为(a, , 解:如图,设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为 ,b), 如图, 由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得
?b ? ·(-4)=- =-1 ( ?a 3 ? a b ? × × ?8×2+6×2=25 ? ?a=4 = ,解得? , = ?b=3

的坐标为(4,3). ∴A 的坐标为 . ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3),又由反射光线 , 过 P(-4,3),两点纵坐标相等,故反射光线所在 - , ,两点纵坐标相等, 直线方程为 y=3. =
? 7 ?y=3 ?x= = x= 8 由方程组? ,解得? + = ? ?8x+6y=25 = ?y=3



由于反射光线为射线, 由于反射光线为射线, 7 故反射光线的方程为 y=3(x≤ ). = ≤ . 8

方法感悟 1.坐标平面内两点间的距离公式 , 是解析几何中 . 坐标平面内两点间的距离公式, 的最基本最重要的公式之一, 的最基本最重要的公式之一,利用它可以求平面上 任意两个已知点间的距离.反过来, 任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的 距离也可以根据条件求其中一个点的坐标. 距离也可以根据条件求其中一个点的坐标. 2.平面几何中与线段长有关的定理和重要结论 , . 平面几何中与线段长有关的定理和重要结论, 可以通过建立适当的坐标系,并设出相关点的坐标 可以通过建立适当的坐标系 并设出相关点的坐标, 并设出相关点的坐标 利用两点间的距离公式证明. 利用两点间的距离公式证明.



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