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高考数学分类专题复习之17 圆锥曲线的定义、性质和方程(二)



第十七讲
【例 5】已知椭圆

圆锥曲线的定义、性质和方程(二)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线, a2 b2

恰好通过椭圆的左焦点 F1,向量 AB 与 OM 是共线向量。 (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上

任意一点, F1、F2 分别是左、右焦点,求∠F1QF2 的取值范围; 解:(1)∵ F1 (?c,0),则x M ? ?c, y M ?

(2)设

b2 b2 ,∴ k OM ? ? 。 a ac b b2 b 2 , OM与 AB 是共线向量,∴ ? ? ? ,∴b=c,故 e ? ∵ k AB ? ? 。 a ac a 2 F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,
? r1 ? r2 ? 2a, F1F2 ? 2c,

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r1 ? r2 2 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( ) 2 ? 当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0, ] 。 2 cos ? ?

x2 y2 ? ? 1 右支上任一点. 【例 6】设 P 是双曲线 4 16
(1)过点 P 分别作两渐近线的垂线,垂足分别为 E,F,求

| PE | ? | PF | 的值;
(2)过点 P 的直线与两渐近线分别交于 A、B 两点,且

AP ? 2PB, 求?AOB的面积.
解:(I)设 P( x0 , y 0 ),则
2 x0 2 2 ? 1 ? 4 x0 ? y 0 ? 16 4

∵两渐近线方程为 2 x ? y ? 0 由点到直线的距离公式得
2 2 | 4 x0 ? y 0 | 16 ?| PF | ? | PF |? ? . 5 5

(II)设两渐近线的夹角为 ? ,

则 tan? ?|
? sin ? ?

2?2 4 1 3 |? , cos? ? ? , 2 1? 4 3 1 ? tan ? 5

4 5

? ?AOB ? ? ? ? , 设A( x1 ,?2 x1 ), B( x 2 ,2 x 2 ), ?| OA |? 5 x1 , | OB |? 5 x 2 , (? P是AB的内分点) ?| OA | ? | OB |? 5 x1 x 2 . 又 AP ? 2 PB, x1 ? 2 x 2 ? , ? x0 ? x2 y2 ? 3 ?? 代入 ? ? 1, 4 16 ? y ? 2 x1 ? 4 x 2 , ? 0 3 ? ( x1 ? 2 x 2 ) 2 ( x1 ? 2 x 2 ) 2 8x x 得 ? ? 1, 即 1 2 ? 1, 36 36 36
? x1 x 2 ? 9 2 1 1 9 4 ? | OA | ? | OB | sin(? ? ? ) ? ? 5 ? ? ? 9 2 2 2 5 8 , 11

S ?AOB

【例 7】如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点.求双曲线的离心率.

解:如图,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy,则

CD⊥y 轴.
因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称. 依题意,记 A(-c,0),C(

c 1 ,h),B(c,0),其中 c 为双曲线的半焦距,c= |AB|,h 是梯形的高. 2 2

由定比分点坐标公式,得点 E 的坐标为

xE ?

?c?

8 c 8 ? 0? ?h 8 11 2 ? ? 7 c , y ? 11 ? h. E 8 8 19 19 1? 1? 11 11
c x2 y2 ? 2 ? 1 ,则离心率 e ? . 2 a a b

设双曲线的方程为

由点 C、E 在双曲线上,得

?1 c 2 h2 ? ? 2 ? 2 ? 1, ?4 a b ? 2 2 ? 49 ? c ? 64 ? h ? 1. ? 361 a 2 361 b 2 ?

① ②

② h2 1 c2 c2 由①式得 2 ? ? 2 ? 1 代入②式得 2 ? 9 所以,离心率 e ? 4 a a b

c2 ?3 a2

【例 8】已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值 为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的 右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解:(I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

由已知得: a ? c ? 3 , a ? c ? 1 ,? a ? 2 , c ? 1 ,

?b ? a ? c ? 3
2 2 2

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x2 y 2 ?1 ? 椭圆的标准方程为 ? 4 3

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(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? 1. ? ? 3 ?4
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0,则 ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) x1 ? x2 ? . ? 3 ? 4k 2 ?
又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) , 3 ? 4k 2

0) 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, ,

? k AD kBD ? ?1 ,即

y1 y ? 2 ? ?1 , ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

?

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0 ,?7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k
2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 , 7

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解得: m1 ? ?2k , m2 ? ?

0) 当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, ,与已知矛盾;
当 m2 ? ?

2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? ,? 0 7 7? ? ?7 ?

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所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? ,? 0

?2 ?7

? ?

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★★★自我提升 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 2 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 3
(C)4 3 (D)12

BC 边上,则△ABC 的周长是(C ) (A)2 3 (B)6

2.如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为 y ? 准线间的距离是( C ) A. 6 3 B. 4 C. 2 D. 1 2 3.抛物线 y=4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( B) ( A )

2 x ,那么它的两条

17 16

( B )

15 16

( C )

7 8

( D ) 0

4.双曲线的虚轴长为4,离心率 e ?

6 ,F1、F2分别是它的左,右焦点,若过F1的直线与双曲线的左 2
D、8

支交于A、B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|为(A). A、 8 2 B、 4 2 C、 2 2 5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准 方程是
2 x 2 ? y ?1 16 4



6.过椭圆左焦点 F,倾斜角为 60?的直线交椭圆于 A、B 两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率为( B ) (A)

2 3
+

(B)

2 3

(C)

1 2

(D)

2 2

7.椭圆

=1 的离心率 e=
x2 a2 ? y2 b2

,则 m=___________m=8 或 2。

8. F1、F2 是椭圆
0

? 1 (a>b>0)的两焦点,过 F1 的弦 AB 与 F2 组成等腰直角三角形 ABF2,其

中∠BAF2=90 ,则椭圆的离心率是________ 6 ? 3 9.已知椭圆 E 的离心率为 e,左、右焦点为 F1、F2,抛物线 C 以 F2 为焦点,F1 为其顶点,若 P 为两曲 线的公共点,且 e|PF2|=|PF1|,则 e=__________。

3 3

10.如图,已知三点 A(-7, 0),B(7,0),C(2,-12). ① 若椭圆过 A、B 两点,且 C 为其一焦点, 求另一焦点 P 的轨迹方程; ② 若双曲线的两支分别过 A、B 两点,且 C 为其一 焦点,求另一焦点 Q 的轨迹方程。 解析:①由椭圆定义知,|AP|+|AC|=|BP|+|BC|, 即 | PB|?| PA| ?| AC|?| BC| ? 2 ?| AB| ? 14 故 P 的轨迹为 A(-7,0)、B(7,0)为焦点实轴长为 2 的双曲线的一支, 其方程为 x ?
2

y2 ? 1( x ? 0) ; 48

② 经讨论知,无论 A 在双曲线的哪一支上, 总有|QA|+|QB|=|AC|+|BC|=28>|AB|=14 故点 Q 的轨迹为以 A(-7,0)、B(7,0)为焦点长轴长为 28 的椭圆,

x2 y2 ? ? 1。 196 147 x2 y2 11.如图,A 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上的一个动点,弦 AB、AC 分别过焦点 F1、F2.当 AC 垂 a b
其方程为

直于 x 轴 时,恰好|AF1|:|AF2=3:1 (I)求该椭圆的离心率; (II)设 AF ? ?1 F1 B , AF2 ? ?2 F2 C ,试判断?????是否为定值?若是,则求出该定值;若不是, 1 请说明理由. 解:(I)当 A C 垂直于 x 轴时, y

AF1 : AF2 ? 3:1 由 AF1 ? AF2 ? 2a ,


A

3a a 得 AF1 ? , AF2 ? 2 2 2 2 2 在 Rt△ AF F2 中, AF1 ? AF2 ? (2c) 1
解得 e = ( II

2 . 2
) 由

F1 B

O

F2 C

x

e

=

2 2





b a2 ? c2 2 ,b ? c . ? ? 1 ? e2 ? a a 2

, , 焦点坐标为 F (?b 0),F2 (b 0) ,则椭圆方程为 1
化简有 x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 . 设 A( x0,y0 ) , B( x1,y1 ),C( x2,y2 ) , ①若直线 AC 的斜率存在,则直线 AC 方程为 y ?

x2 y2 ? 2 ? 1, 2b 2 b

y0 ( x ? b) x0 ? b
2

代入椭圆方程有 (3b 2 ? 2bx0 ) y 2 ? 2by0 ( x0 ? b) y ? b 2 y0 ? 0 .

b 2 y0 b2 y 由韦达定理得: y0 y 2 ? ? 2 0 ,∴ y 2 ? ? 2 3b ? 2bx0 3b ? 2bx0 AF2 ? 3b ? 2 x 0 3b ? 2 x 0 y 3b ? 2 x 0 ? 0 ? ? 所以 ? 2 ? ,同理可得 ?1 ? F2 C ? y 2 b ?b b
故?????=

2

6b ? 6. b

②若直线 AC ? x 轴, x0 ? b , ?2 ? 1 , ?1 ? ∴?????=6. 综上所述:?????是定值 6.

3b ? 2b ?5 b

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)上两点 A、B,直线 l : y ? x ? k 上有两点 C、D,且 ABCD 是正方形。 a 2 b2 2 2 此正方形外接圆为 x +y -2y-8=0,求椭圆方程和直线 l 的方程。
12.已知椭圆 解:圆方程 x +y -2y-8=0 即 x +(y-1) =9 的圆心 O'(0,1),半径 r=3。 设正方形的边长为 p,则 2 p ? 2r ,∴ p ? 3 2 ,又 O'是正方形 ABCD 的中心,∴O'到直线 y=x+k 的距离应等于正方形边长 p 的一半即 公式可知 k=-2 或 k=4。 (1)设 AB:y=x-2 CD:y=x+4
2 2 2 2

3 2 , 由点到直线的距离 2
C

D y A x

由 y=x-2 2 2 x +y -2y-8=0

O' O B

得 A(3,1)B(0,-2),又点 A、B 在椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 上,∴a2=12,b2=4,椭圆的方程为 ? ? 1。 a2 b 12 4

(2)设 AB:y=x+4,同理可得两交点的坐标分别为(0,4),(-3,1)代入椭圆方程得

a2 ?

48 2 , b ? 16 ,此时 b2>a2(舍去)。 5

综上所述,直线 l 方程为 y=x+4,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1。 12 4



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