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广东省东莞市东华高中2015届高考数学 重点临界辅导材料(7)理



理科数学重点临界辅导材料(7)
一、选择题 1.在 ?ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? , 则 cos 2 B ? ( )

A.

6 3

B.

3 3

C.

1 3

D. ?

1 3
)

2.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.2 B.

2 3

C.4

D.

4 3
)

3.执行如图所示的程序框图后,输出的值为 5,则 p 的取值范围(

7 15 ? p? 8 16 7 15 C. ? p ? 8 16
A.

B. p ? D.

15 16

3 7 ? p? 4 8

4.由直线 y ? x ? 1上的一点向圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1引切线,则切线长的 最小值为( A.1 ) B. 2 2 C. 7 D.3

5.已知函数 f ( x) ? 3? | x |, g ( x) ? x 2 ? 2 x, 函数 F ( x ) 定义如下:当 f ( x) ? g ( x) 时, F ( x) ? g ( x), 当

f ( x) ? g ( x) 时, F ( x) ? f ( x), 那么 F ( x) (
A.有最大值 3,最小值-1 C.有最大值 3,无最小值

)

B.有最大值 7 ? 2 7 , 无最小值 D.无最大值,也无最小值

6.称 d (a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a, b 间距离,若 a, b 满足 ① | b |? 1 ,② a ? b ,③对任意实数 t,恒有 d (a, t b) ? d (a, b) ,则( ) A. (a ? b) ? (a ? b) 二、填空题 B. b ? (a ? b) C. a ? b D. a ? (a ? b)

?x ? 0 ? 7.若关于 x, y 的不等式组 ? y ? x 表示的平面区域是一个锐角三角形, 则 k 的取值范围是_______. ?kx ? y ? 1 ? 0 ?
8.已知不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m 的解集是 R,则实数 m 的取值范围是__ __.

2 2 9.函数 y ? x ( x ? 0) 的图象在点 (an , an ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 an ?1 , n ? N *,

1

a1 ? 16, 则 a3 ? a5 ? __

__;数列 {an } 的通项公式为__
n

__. ___;

10.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, S n ? (?1) an ? (2) S1 ? S2 ? ? ? S100 ? __ 三、解答题

1 , n ? N *, 则(1) a3 ? _ 2n

_..,

11、设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图象的一条对称轴是直线 x ? (1)求 ? ; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图象 (不必写出作图步骤) .

?
8

.

12.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? 1 ? an (n ? N*). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 , cn ? log1 an
2

bnbn ?1 n ?1 ? n

, 记 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 证明: Tn ? 1.

2

13.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x, 其中 b 为常数.
2

(1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(2)若 b ? 0, 求 f ( x) 的极值点; (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n,不等式

1 ? ln( n ? 1) ? ln n 都成立. n2

3

参考答案
? 1、在 ?ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60 , 则 cos 2 B ? ( C )

A.

6 3

B.

3 3

C.

1 3

D. ?

1 3

2、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(D ) A.2 B.

2 3

C.4

D.

4 3

3、执行如图所示的程序框图后,输出的值为 5,则 p 的取值范围(A )

7 15 ? p? 8 16 7 15 C. ? p ? 8 16
A.

B. p ? D.

15 16

3 7 ? p? 4 8

2 2 4、由直线 y ? x ? 1上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1引切线,

4

则切线长的最小值为(C ) A.1 B. 2 2 C. 7 D.3

5.已知函数 f ( x) ? 3? | x |, g ( x) ? x 2 ? 2 x, 函数 F ( x ) 定义如下:当 f ( x) ? g ( x) 时, F ( x) ? g ( x), 当

f ( x) ? g ( x) 时, F ( x) ? f ( x), 那么 F ( x) ( B )
A.有最大值 3,最小值-1 C.有最大值 3,无最小值 B.有最大值 7 ? 2 7 , 无最小值 D.无最大值,也无最小值

6、称 d (a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a, b 间距离,若 a, b 满足 ① | b |? 1 ,② a ? b ,③对任意实数 t,恒有 d (a, t b) ? d (a, b) ,则( D ) A. (a ? b) ? (a ? b) B. b ? (a ? b) C. a ? b D. a ? (a ? b)

5

二、填空题:

?x ? 0 ? 7、若关于 x,y 的不等式组 ? y ? x 表示的平面区域是一个锐角三角形,则 k 的取值范围是_ (?1,0) ?kx ? y ? 1 ? 0 ?
______. 8.已知不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m 的解集是 R,则实数 m 的取值范围是____ (??,3] ___.
2 9.函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的图象在点 (an , an ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 an ?1 , n ? N *, 若 a1 ? 16, 则

a3 ? a5 ? ____;数列 {an } 的通项公式为____.5, 25 ? n
10.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, S n ? (?1) an ?
n

(1) a3 ? ____; (2) S1 ? S2 ? ? ? S100 三、解答题:

1 , n ? N *, 则 2n 1 1 1 ? ____.. ? , ( 100 ? 1) 16 3 2

11、设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图象的一条对称轴是直线 x ? (1)求 ? ; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图象 (不必写出作图步骤) . 解:(1)? x ?

?
8

.

?
8

是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,

? sin( 2 ?

?
8

? ? ) ? ?1, ? 3? 4

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z.

? ?? ? ? ? 0,?? ? ?
(2)由(1)知 ? ? ?

3? 3? , 因此 y ? sin( 2 x ? ) 4 4 ? 3? ? ? 2k? ? , k ? Z . 由题意得 2k? ? ? 2 x ? 2 4 2 3? ? 5? ) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z 所以函数 y ? sin( 2 x ? 4 8 8 3? ) (3)由 y ? sin( 2 x ? 4
知故函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上图像如右图

6

12.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? 1 ? an (n ? N*). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 , cn ? log1 an
2

bnbn ?1 n ?1 ? n

, 记 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 证明: Tn ? 1.

.解:(1)当 n ? 1 时,由 S1 ? 1 ? a1 , 得 a1 ?

1 , 2

当 n ? 2 时,? Sn ? 1 ? an , ① ? Sn ?1 ? 1 ? an ?1 , ②

1 a n ?1 , 2 1 1 1 所以数列 {an } 是以首项为 , 公比为 的等比数列,求得 an ? n (n ? N *) 2 2 2
上面两式相减,得 a n ? (2) bn ?

1 1 1 n ?1 ? n 1 1 ? ? , cn ? ? ? 1 log1 an log ( ) n n n(n ? 1) n n ?1 1 2 2 2

Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) 2 2 3 3 4 n n ?1

?1?

1 ? 1, n ?1

13.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x, 其中 b 为常数.
2

(1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(2)若 b ? 0, 求 f ( x) 的极值点; (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n,不等式 解:(1)由题意知, f ( x) 的定义域为 (0,??)

1 ? ln( n ? 1) ? ln n 都成立. n2

1 1 2( x ? )2 ? b ? b 2x2 ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ∴当 b ? 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2
(2) b ? 0 时, f ' ( x) ? 0 有两个不同解, x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? , x1 ? ? 2 2 2 2
7

x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??), 舍去,而 x2 ? ? ? 1 ? (0,??), 2 2 2 2

此时 f ' ( x), f ( x) 随 x 在定义域上的变化情况如下表: (表略)

由此表可知:? b ? 0 时, f ( x) 有惟一极小值点, x ? (3)由(2)可知当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? ln x, 此时 f ( x) 有惟一极小值点 x ?

1 1 ? 2b ? , 2 2

1 1 ? 2b 1 ? 3 1? 3 ) 时, 且 x ? (0, ? ? 2 2 2 2

f ' ( x) ? 0, f ( x) 在 (0,

1? 3 ) 为减函数 2 1 4 1? 3 ? ? , 2 n 3

∴当 n ? 3 时, 0 ? 1 ? 1 ? ∴恒有 f (1) ? f (1 ?

1 1 1 ), 即恒有 0 ? 2 ? ln(1 ? ) n n n 1 ∴当 n ? 3 时,恒有 ln( n ? 1) ? ln n ? 2 成立 n

8



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