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y=ax^2+bx+c图像与系数之间的关系



二次函数
一、知识点讲解

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 图象及性质

1.掌握二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的图象与性质; 抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向 增减性 最值 2.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 中, a, b, c 的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ? ax2 中的 a 完全一样。 (2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的对称轴是直线 x ? ? ① b ? 0 时,对称轴为 y 轴;

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?

b ,故: 2a

b ? 0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴在 y 轴左侧; a b ③ ? 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧。 (左同右异) a
② (3) c 的大小决定抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴交点的位置。 当 x ? 0 时, y ? c ,∴抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ) : ① c ? 0 ,抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴; ③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半轴。 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立。 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则

b ? 0。 a

1

二、经典练习.
1.已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图 1 所示,则下列结论正确的是(

A. ab ? 0 , c ? 0

B. ab ? 0 , c ? 0

C. ab ? 0 , c ? 0

D. ab ? 0 , c ? 0

2 . 已 知 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 的 图 象 如 图 2 所 示 , 有 下 列 四 个 结 论 :

①b ? 0②c ? 0③b2 ? 4ac ? 0 ④ a ? b ? c ? 0 ,其中正确的个数有(
A.1 个 B.2 个 y x
?1 O



C.3 个 y

D.4 个

1

3 图1

O 1

1 x

图3 图4 图2 3.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,有以下结论:① a ? b ? c ? 0 ;② a ? b ? c ? 1 ;③

abc ? 0 ;④ 4a ? 2b ? c ? 0 ;⑤ c ? a ? 1 其中所有正确结论的序号是(
A.①② B. ①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤



4.在同一直角坐标系中,函数 y ? mx ? m 和函数 y ? ?mx2 ? 2x ? 2 ( m 是常数,且 m ? 0 )的图象可 . 能 是( . )

5.抛物线 y ? ax ? bx ? c 和直线 y ? ax ? b 在同一坐标系的图象为(
2



y

y

y

y

x

x

x

x

A

B

C

D
,

2 0 b ____ 0 , c ____ 0 , a ? b ? c ____ 0 6.如图是 y? ax ? bx ? 的 c图 象 , 则 a_ _ _ _ ,

a ? b ? c _____ 0 , b2 ? 4ac _____ 0 , 2a ? b _____ 0 (填“ ? ”,“ ? ”或“ ? ”)
7.抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图象如图 4,则下列结论:① abc ? 0 ;② a ? b ? c ? 2 ;③ a ?
2

1 ;④ b ? 1 2

其中正确的结论是(

)A.①②

B.②③
2

C.②④

D.③④ )

8.满足 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 的函数 y ? ax ? bx ? c 的图象是图中的(

2

9. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的对称轴是 x ? 2 ,且经过点 P ?3,0? ,则 a ? b ? c 的值为( A.-1 B.0 C .1 D.2



10. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图,则下列关于 a , b , c 间的函数关系判断正确的是( A. ab ? 0 B. bc ? 0 C. a ? b ? c ? 0 D. a ? b ? c ? 0



11. 如图二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象经过 A 、 B 、 C 三点, (1)观察图象,写出 A 、 B 、 C 三点的坐标,并求出抛物线解析式; (2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴; (3)观察图象,当 x 取何值时, y ? 0 ? y ? 0 ? y ? 0 ?
A -1 O B 4 x y 5

C

12.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: (1) y ?

1 2 x ? 2x ? 1 ; 2

(2) y ? ?3x ? 8x ? 2 ;
2

(3) y ? ?

1 2 x ? x?4 4

13.已知函数 y ? ?x ? 1? ? 4 。
2

3

(1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)若图象与 x 轴的交点为 A 、 B 和与 y 轴的交点 C ,求 ?ABC 的面积; (3)指出该函数的最值和增减性; (4)若将该抛物线先向右平移 2 个单位,在向上平移 4 个单位,求得到的抛物线的解析式; (5)该抛物线经过怎样的平移能经过原点,画出该函数图象,并根据图象回答:当 x 取何值时,函数值 大于 0。

14. 已知二次函数 y ? x 2 ? bx ? 1 的图象经过点 ? 3, 2 ? 。 (1)求这个二次函数的关系式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当 x ? 0 时,求使 y ? 2 的 x 的取值范围.

4

三、课外练习 (一)选择题
1. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图 1,则下列关于 a , b , c 间的函数关系判断正确的是( A. ab ? 0 B. bc ? 0 C. a ? b ? c ? 0 y D. a ? b ? c ? 0 )

y

O
图1 图2

A

x

O 图3
2

x 图4 ) D. y 轴上 图5

2.不论 k 为任何数,抛物线 y ? a ? x ? k ? ? k 的顶点总在( A.直线 y ? x 上 B.直线 y ? ? x 上
2

C. x 轴上

3.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象过点 A ?1, 2 ? , B ?3,2? , C ?5,7? 。若点 M ? ?2, y1 ? ,

N ? ?1, y2 ? , K ?8, y3 ? 也在二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象上,则下列结论正确的是(
A. y1 ? y2 ? y3 B. y2 ? y1 ? y3 C. y3 ? y1 ? y2 ) y 、 D. y1 ? y3 ? y2



4.二次函数 y ? kx2 ? 2x ? 1? k ? 0? 的图象可能是( y 、 y 、 y 、

O 、

x 、

O 、

x 、

O 、

x 、

O 、

x 、

A B C D 2 2 . . 5.若二次函数 2 所示,则 a. 的值为( y ? ax ? bx ? a.? 2 ( a, b 为常数)的图象 A. ? 2 B. ? 2 C. D. 2



2 6. 已知二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图 4 所示, 有下列 5 个结论: ① abc ? 0 ; ② b ? a ? c;

③ 4a ? 2b ? c ? 0 ;④ 2c ? 3b ;⑤ a ? b ? m(am ? b) , ( m ? 1 的实数)其中正确的结论有( A. 2 个 B. 3 个
2



C. 4 个

D. 5 个

7. 如图 5 是二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 图象的一部分, 图象过点 A ? ?3,0? , 对称轴为直线 x ? ?1 。 给出四个结论:① b ? 4ac ;② 2a ? b ? 0 ;③ a ? b ? c ? 0 ;④ 5a ? b 。其中正确结论是(
2

) .

A. ②④

B. ①④
2 2

C. ②③

D.①③ )

8.已知:二次函数 y ? ax ? bx ? a ? b ? a ? 0? 的图像为下列图像之一,则 a 的值为(

5

A.-1

B . 1

C. -3

D. -4 )

9.函数 y ? ax ? b和y ? ax 2 ? bx ? c 在同一直角坐标系内的图象大致是(

(二)填空题
10.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图 3 所示,则点 ? a ? b, c ? 在第 11.如图 6 为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象,在下列说法中: ① ac ? 0 ; ③a?b?c ? 0 ②方程 ax ? bx ? c ? 0 的根是 x1 ? ?1 , x2 ? 3 ;
2

象限。

④当 x ? 1 时, y 随 x 的增大而增大。

正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上) 图6

6



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