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数学必修2空间几何体 点、直线、平面之间的位置关系复习提纲



数学必修( 数学必修(二)知识梳理与解题方法分析 知识梳理与解题方法分析
空间几何体》 第一章 《空间几何体》
一、本章总知识结构

二、各节内容分析 1.1 空间几何体的结构

1.2 空间几何体三视图和直观图 1、本节知识结构 本节知识结构

重点:画出简单几何体的三视图,用斜二测法画空间几何体的直观图。 重点:画出简单几何体的三视图,用斜二测法画空间几何体的直观图。 难点:识别三视图所表示的空间几何体。 难点:识别三视图所表示的空间几何体。 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1、本节知识结构 本节知识结构

三、高考考点解析 本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容: 本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容: 考查以下两个方面的内容
1.多面体的体积(表面积)问题; 1.多面体的体积(表面积)问题; 多面体的体积 2.点到平面的距离(多面体的一个顶点到多面体一个面的距离)问题—“等体 点到平面的距离(多面体的一个顶点到多面体一个面的距离)问题— 个顶点到多面体一个面的距离 积代换法” 。 积代换法” (一)多面体的体积(表面积)问题 多面体的体积(表面积)
1. 06 上海·理】 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相 【 上海· 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得 【解】 ∴PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,∴PBO=60°. 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1,由 PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60°= 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 . ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=

1 ×2 3 × 3 =2. 3

2. 06 上海·文】 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ∠ABC = 90 , AB = BC = 1 . 【 上海· (2)若 A1C 与平面 ABC 所成角为 45 ,求三棱锥 A1 ? ABC 的体积。 【解】 (2)∵AA1⊥平面 ABC, ∴ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角,∴ACA1=45°. ∵∴ABC=90°,AB=BC=1,AC= 2 ∴AA1= 2 。

∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V=

1 2 S△ABC×AA1= 。 3 6

点到平面的距离问题— 等体积代换法” “ 。 (二 ) 点到平面的距离问题— 等体积代换法”
1. 06 福建·理】 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中 【 福建· 点,

CA = CB = CD = BD = 2, AB = AD = 2.
(III)求点 E 到平面 ACD 的距离。 【解】 (III) 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.

A

∵VE ? ACD = VA?CDE ,
∴ 在

D O B E C

1 1 hi S ?ACD = i AOi S ?CDE . 3 3
?ACD
中 ,

CA = CD = 2, AD = 2,

1 2 7 ∴ S ?ACD = × 2 × 2 2 ? ( ) 2 = . 2 2 2
而 AO = 1, S ?CDE =

1 3 2 3 × ×2 = , 2 4 2

3 AO.S ?CDE 1× 2 21 ∴h = = = . S ?ACD 7 7 2
∴ 点 E 到平面 ACD 的距离为

21 . 7

2. 06 湖北·文】 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长为 1, M 是底面 BC 边上的 【 湖北· 中点, N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN=2C1 N 。 (Ⅱ)求点 B1 到平面 AMN 的距离。 (Ⅱ)过 B1 在面 BCC1 B1 内作直线 【解】

B1 H ⊥ MN , H 为垂足。又 AM ⊥ 平面 BCC1 B1 ,所以 AM ⊥ B1 H 。于是 B1 H ⊥ 平
面 AMN , 故 B1 H 即 为 B1 到 平 面 AMN 的 距 离 。 在 R1?B1 HM 中 , B1 H =

B1M sin B1MH =

5 1 × 1? = 1。 故点 B1 到平面 AMN 的距离为 1。 2 5

3. 06 湖南·理】 如图 4, 已知两个正四棱锥 【 湖南·

P ? ABCD与Q ? ABCD 的高分别为 1 和 2, AB = 4 。
(III)求点 P 到平面 QAD 的距离。 (Ⅲ) (Ⅰ) AD⊥平面 PQM, 由 知, 所以平面 QAD⊥平面 PQM 。 【解】

过点 P 作 PH⊥QM 于 H,则 PH⊥QAD,所以 PH 的长为点 P 到平面 QAD 的距离。 连结 OM。因为 OM=

1 AB=2=OQ,所以∠MQP=45°。 2

又 PQ=PO+QO=3,于是 PH=PQsin45°=

3 2 。 2

即点 P 到平面 QAD 的距离是

3 2 。 2

4. 06 江西·文】 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,且 OA=1,OB=OC=2, 【 江西· E 是 OC 的中点。 (1)求 O 点到面 ABC 的距离;

(1)取 BC 的中点 D,连 AD、OD。 【解】 ∵ OB = OC ,则 OD ⊥ BC、AD ⊥ BC, ∴BC⊥面 OAD。过 O 点作 OH⊥AD 于 H, 则 OH⊥面 ABC,OH 的长就是所要求的距离。

BC = 2 2 , OD = OC 2 ? CD 2 = 2 。
∵ OA ⊥ OB,OA ⊥ OC,
∴ OA ⊥ 面 OBC,则 OA ⊥ OD 。

AD = OA2 + OD 2 = 3 ,在直角三角形 OAD 中,有 OH =

OA ? OD 2 6 = = 。 3 AD 3

(另解 另解:由 VO ??ABC = 另解

1 1 2 6 S ?ABC ? OH = OA ? OB ? OC = 知: OH = ) 3 6 3 3

5. 06 山东·理】 如图,已知平面 A1 B1C1 平行于三棱锥 V ? ABC 的底面 ABC,等边△ AB1C 所在的平 【 山东· 面与底面 ABC 垂直,且∴ACB=90°,设 AC = 2a, BC = a (Ⅱ)求点 A 到平面 VBC 的距离; ( 【解】 Ⅱ)解法 1:过 A 作 AD ⊥ B1C 于 D, ∵△ AB1C 为正三角形, ∵BC⊥平面 AB1C 又 B1C ∩ BC = C , ∴D 为 B1C 的中点. A ∴ BC ⊥ AD , B ∴AD⊥平面 VBC , A1 B1 C C1 V

∴线段 AD 的长即为点 A 到平面 VBC 的距离. 在正△ AB1C 中, AD =

3 3 ? AC = × 2a = 3a . 2 2

∴点 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 解法 2:取 AC 中点 O 连结 B1O ,则 B1O ⊥平面 ABC ,且 B1O = 3a . 由(Ⅰ)知 BC ⊥ B1C ,设 A 到平面 VBC 的距离为 x, 即 ×

∴VB1 ? ABC = VA? BB1C ,

1 1 1 1 BC ? AC ? B1O = × BC ? B1C ? x ,解得 x = 3a . 3 2 3 2

即 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 所以, A 到平面 VBC 的距离为 3a .

直线、平面之间的位置关系》 位置关系 第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》

二、各节内容分析 空间中 直线、 2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系 1、本节知识结构

2、教学重点和难点 重点:空间直线、平面的位置关系。 重点:空间直线、平面的位置关系。 难点:三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换。 难点:三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换。 3.内容归纳总结 3.内容归纳总结 内容归纳

(1)四个公理
公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 符号语言: A ∈ l , B ∈ l , 且A ∈ α , B ∈ α ? l ∈ α 。 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 三个推论:① ② ③ 它给出了确定一个平面的依据。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交 线) 。 符号语言: P ∈ α , 且P ∈ β ? α ∩ β = l , P ∈ l 。 (平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 公理 4: 符号语言: a // l , 且b // l ? a // b 。

(2)空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念 概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 异面直线。 异面直线及夹角 异面直线 已知两条异面直线 a, b ,经过空间任意一点 O 作直线 a′ // a, b′ // b ,我们把 a′ 与 b′ 所成的角(或直角) 叫异面直线 a, b 所成的夹角 (易知:夹角范围 0 < θ ≤ 90° ) 异面直线 所成的夹角。 定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 (注意: 定理 会画两个角互补的图形)

? ?相交直线:_______________________________; ?共面直线 ? 2.位置关系 ? 位置关系: 位置关系 ?平行直线:_______________________________; ? ?异面直线:_________________________________________.

(3)空间中直线与平面之间的位置关系
?1.直线在平面内:l ? α ? 直线与平面的位置关系有三种: 直线与平面的位置关系有三种: ? ?2.直线与平面相交:l ∩ α = A ?直线在平面外 ?3.直线与平面平行:l // α ? ?

(4)空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种: 平面与平面之间的位置关系有两种 ?

?1.两个平面平行:α // β ?2.两个平面相交:α ∩ β = l

2.2 直线、平面平行 平行的 2.2 直线、平面平行的判定及其性质
1、本节知识结构 本节知识结构 2 、 教学重点 和难点 重点: 通 重点:

过直观感知、操作确认, 过直观感知、操作确认,归纳出判断定理和性质 。 难点:性质定理的证明。 难点:性质定理的证明。 3.内容归纳总结 3.内容归纳总结 (1)四个定理 四个定
定理 定理内容 平面外的一条直 线与平面内的一条直 线平行,则该直线与 此平面平行。 一个平面内的两 条相交直线与另一个 平面平行,则这两个 平面平行。 一条直线与一个 平面平行,则过这条 直线的任一平面与此 平面的交线与该直线 平行。 如果两个平行平 面同时和第三个平面 相交,那么它们的交 线平行。 符号表示 分析解决问题的常用方法 在已知平面内“找出” 一条直线与已知直线平行 就可以判定直线与平面平 行。即将“空间问题”转化 为“平面问题” 判定的关键: 在一个已 知平面内 “找出” 两条相交 直线与另一平面平行。 即将 “面面平行问题”转化为 “线面平行问题”

直线与平面 平行的判定

a ? α , b ? α , 且a // b ? a // α

a ? β ,b ? β , a ∩ b = P, a // α , b // α ? β // α

平面与平面 平行的判定

直线与平面 平行的性质

a // α , a ? β , α ∩ β = b ? a // b

平面与平面 平行的性质

α // β , α ∩ γ = a, β ∩ γ = b ? a // b

(2)定理之间的关系及其转化
两平面平行问题常转化为直线与直线平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以在解题时 应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是:将“高维问题”转化为“低维问题” ,将“空间问题”转化 为“平面问题” 。

2.3 直线、平面平垂直 平垂直的 2.3 直线、平面平垂直的判定及其性质
1、本节知识结构 教学重 2、 点和难点 重 点:通过直观感知、操作确认,概括出判断定理和性质 。 通过直观感知、操作确认,

难点:性质定理的证明。 难点:性质定理的证明。 3.内容归纳总结 3.内容归纳总结

(一)基本概念 1.直线与平面垂直: 内的任意一条直线都垂直, 1.直线与平面垂直:如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,我们 直线与平面垂直 垂直, 的垂线, 就说直线 l 与平面 α 垂直,记作 l ⊥ α 。直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直 的垂面。 叫做垂足。 线 l 的垂面。直线与平面的公共点 P 叫做垂足。 直线与平面所成的角: 2. 直线与平面所成的角: 角的取值范围: 角的取值范围: 0 < θ < 90° 。 3.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 3.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这 二面角 条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的记法: 二面角的记法: 二面角的取值范围: 二面角的取值范围: 0 < θ < 180° 两个平面垂直:直二面角。 两个平面垂直:直二面角。 垂直

(二)四个定理
定理 定理内容 一条直线与一个 平面内的两条相交直 线垂直,则该直线与 此平面垂直。 符号表示 符号表示 分析解决问题的常用方法 在已知平面内“找出” 两条相交直线与已知直线 垂直就可以判定直线与平 面垂直。即将“线面垂直” 转化为“线线垂直” 判定的关键: 在一个已 知平面内 “找出” 两条相交 直线与另一平面平行。 即将 “面面平行问题”转化为 “线面平行问题”

直线与平面 垂直的判定

m、n ∈ α , m ∩ n = P, 且a ⊥ m, a ⊥ n ? a ⊥α
a ? β,a ⊥α ? β ⊥α
(满足条件与 α 垂直 的平面 β 有无数个)

平面与平面 垂直的判定

一个平面过另一 平面的垂线,则这两 个平面垂直。 同垂直与一个平 面的两条直线平行。 两个平面垂直, 则一个平面内垂直与 交线的直线与另一个 平面垂直。

直线与平面 垂直的性质 平面与平面 垂直的性质

a ⊥ α , b ⊥ α ? a // b

α ⊥ β ,α ∩ β = l, a ? β , 解决问题时, 常添加的 辅助线是在一个平面内作 a ⊥ l ? a ⊥α
两平面交线的垂线

(三)定理之间的关系及其转化: 定理之间的关系及其转化:
两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直,而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直,所以在解题时 应注意从“高维”到“低维” 的转化,即“空间问题”到“平面问题”的转化。

三、高考考点解析 第一部分、三类角(异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、 第一部分、三类角(异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面 角)的求解问题 (一)异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线 异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线 1.异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。 异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。 重点和难点更是高考的考点
异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量,掌握好概念是解题的关键,其思 维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角” ,然后证明这个角就是所求的角,再利用三 角形解出所求的角(简言之:①“转化角” 、②“证明” 、③“求角”。以上三个步骤“转化角”是求解的关键, ) 因为转化的过程往往就是求解的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题 1. 06 广东】 如图所示,AF 、DE 分别是 ⊙O 、⊙O1 的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,AD = 8 . BC 【 广东】 是 ⊙O 的直径,

AB = AC = 6 , OE // AD 。 (II)求直线 BD 与 EF 所成的角。 (II)第一步:将“问题”转化为求“平面角”问题 第一步: 问题”转化为求“平面角” 【解】 第一步 根据定义和题设, 我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一 条直线的平行线,此题我们只能从点 D 作符合条件的直线。 连结 DO,则∠ODB 即为所求的角。 第二步:证明∠ODB 就是所求的角 第二步:证明∠ 在平面 ADEF 中,DE//AF,且 DE=AF,所以四边形 ODEF 为平行四 边形 所以 DO//EF 所以根据定义,∠ODB 就是所求的角。 第三步: 第三步:求角 由题设可知:底面 ABCD 为正方形 ∵ DA⊥平面 ABCD BC ? 平面 ABCD ∴ DA⊥BC 又 ∵AF⊥BC ∴ BC⊥平面 ADO ∴ DO⊥BC ∴ △DOB 为直角三角形
∴ 在 Rt△ODB, BD = 10 ∴ cos ∠ODB =

DO = 82

82 82 (或用反三角函数表示为: arccos ) 10 10

2. 06 山东·文】 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形, AB // DC , 【 山东·

AC ⊥ BD, AC 与 BD 相交于点 O , 且顶点 P 在底面上的射
又 BO = 2, PO =

影恰为 O 点,

2, PB ⊥ PD .

(Ⅰ)求异面直接 PD 与 BC 所成角的余弦值. 【解】∵ PO ⊥ 平面 ABCD , ∴ PO ⊥ BD 又 PB ⊥ PD, BO = 2, PO =

2, 3, PB = 6

由平面几何知识得: OD = 1, PD =

(Ⅰ)过 D 做 DE // BC 交于 AB 于 E ,连结 PE ,则 ∠PDE 或其补角为异面直线 PD 与 BC 所成的角, ∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形,

∴ OC = OD = 1, OB = OA = 2, OA ⊥ OB ∴ BC = 5, AB = 2 2, CD = 2
又 AB // DC

∴ 四边形 EBCD 是平行四边形。

∴ ED = BC = 5, BE = CD = 2 ∴ E 是 AB 的中点,且 AE = 2
又 PA = PB =

6,

∴?PEA 为直角三角形,

∴ PE = PA2 ? AE 2 = 6 ? 2 = 2
在 ?PED 中,由余弦定理得: cos ∠PDE =

PD 2 + DE 2 ? PE 2 3+ 5? 4 2 15 = = 2 PD ? DE 15 2? 3 ? 5

故异面直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为

2 15 。 15

3. 06 上海·理】 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相 【 上海· 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的 大小 (结果用反 三角函数值表示) . (2)取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 【解】 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA, ∴∴FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角(或它的补角) 。 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 3 =OP,

于是,在等腰 Rt△POA 中,PA= 6 ,则 EF=

6 . 2
1 6 EF 2 cos∴FED= 2 = 4 = DE 3 4 2 . 4

在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF= 3 .

∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos

4. 06 重庆·文】 如图(上右图) 【 重庆· ,在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, (上右图)

AB = 1, BB1 = 3 + 1 , E 为 BB1 上使 B1 E = 1 的点。平
DD1 于 F ,交 A1 D1 的延长线于 G ,求:
(Ⅰ)异面直线 AD 与 C1G 所成角的大小; 【 解 】 解 法 一 : 由 AD // D1G知∠C1GD1 为 异 面 直 线 成的角。连接 C1 F .因为 AE 和 C1 F 分别是平行平面



AEC1 交

AD与C1G



ABB1 A1和CC1 D1 D 与 平 面 AEC1G 的 交 线 , 所 以
此 可 得 D1 F = BE = 3 , 再 由 △FD1G ∽ △FDA 得 在 Rt△C1 D1G中,由C1 D1 =1,D1G = 3,得∠C1GD1 = 解法二: 解法二:由 AD // D1G知∠C1GD1 为异面直线

AE // C1 F , 由
D1G = 3

π
6



AD与C1G 所成的角。因为 EC1 和 AF 分别是平行平面 BB1C1C 和AA1 D1 D 与 平 面 AEC1G 的 交 线 , 所 以
可得

EC1 // AF ,由此

∠AGA1 = ∠EC1 B1 =

π
4

从而 A1G = AA1 = 3 + 1 ,于是 D1G = 3

在 Rt△C1 D1G中,由C1 D1 =1,D1G = 3,得∠C1GD1 =

π
6

直线与平面所成 与平面所成夹角 (二) 直线与平面所成夹角
11. 06 浙江·理】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC , 【 浙江·

∠BAD = 90 , PA ⊥ 底面 ABCD ,且 PA = AD = AB = 2 BC , M 、N 分别为 PC 、 PB 的中点。 (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角。 【解】 (II)取 AD 的中点 G ,连结 BG 、 NG , 则 BG // CD , 所以 BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等. 因为 PB ⊥ 平面 ADMN , 所以 ∠BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角.
在 Rt ?BNG 中, ∠BGN = sin

BN 10 = 。 BG 5
A E
E A1

故 CD 与 平 面 ADMN 所 成 的 角 是

arcsin

10 。 5

18. 06 江苏】 在正三角形 ABC 中, 【 江苏】 E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,

F
B P

F

C

B
图1

P

C
图2

满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图 1) 。将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A1-EF-B 成 直二面角,连结 A1B、A1P(如图 2) (Ⅱ)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; 【解】不妨设正三角形的边长为 3,则 (II)在图 2 中,∵A1E 不垂直于 A1B,∴A1E 是面 A1BP 的斜线,又 A1E⊥面 BEP, ∴A1E⊥BP,∴BP 垂直于 A1E 在面 A1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理) 设 A1E 在面 A1BP 内的射影为 A1Q,且 A1Q 交 BP 于 Q, 则∠EA1Q 就是 A1E 与面 A1BP 所成的角,且 BP⊥A1Q。 在△EBP 中,∵BE=BP=2,∠EBP=60o,∴△EBP 为正三角形,∴BE=EP。 又 A1E⊥面 BEP,∴A1B=A1P,∴Q 为 BP 的中点,且 EQ= 3 ,而 A1E=1, ∴在 Rt△A1EQ 中, tan ∠A1 EQ = 60o。 22. 06 全国Ⅰ·理】 如图, l1 、 l 2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的 【 全国Ⅰ· Ⅰ·理 公垂线段。点 A、B 在 l1 上,C 在 l 2 上,AM=MB=MN。 (Ⅱ)若 ∠ACB = 60° ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值. (Ⅱ)∵ Rt ?CNA ? Rt ?CNB. 【解】

EQ = 3 ,即直线 A1E 与面 A1BP 所成角为 A1 E

∴ AC = BC , 又已知 ∠ACB = 600 ,因此 ?ABC 为正三角形. ∵ Rt ?ANB ? Rt ?CNB, ∴ NC = NA = NB ,因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三角形 ABC 的中心,连结 BH, ∠NBH 为 NB 与平
面 ABC 所成的角.

3 AB HB 6 = 3 = . 在 Rt ?NHB 中, cos ∠NBH = NB 3 2 AB 2

二面角与二面角的平面角问题 (三) 二面角与二面角的平面角问题
1. 06 广东】 如图所示, AF 、 DE 分别是 ⊙O 、 ⊙O1 的 【 广东】 所在的平面均垂直, AD = 8 . BC 是 ⊙O 的直径, 直径, AD 与两圆

AB = AC = 6 , OE // AD 。 (I)求二面角 B ? AD ? F 的大小; (I)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, 【解】 ∴AD⊥AB,AD⊥AF, 故∠BAF 是二面角 B—AD—F 的平面角, 依题意可知,ABFC 是正方形,所以∠BAF=450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450;
2. 06 安徽·理】如图,P 是边长为 1 的正六 【 安徽· 边形 ABCDEF

所在平面外一点, PA = 1 ,P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。 (Ⅱ)求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。 【解】连结 AD,则易知 AD 与 BF 的交点为 O。 (II)设 M 为 PB 的中点,连结 AM,MD。

∵在?ABP中PA = AB,∴ PB ⊥ AM ,
∵ 斜线 PB 在平面 ABC 内的射影为 OB, BF ⊥ AD 。

∴由三垂线定理得PB ⊥ AD.
又∵ AM ∩ AD = A,

∴ PB ⊥ 平面AMD.
∴ PR ⊥ MD.

∵ MD ? 平面AMD,

因此, ∠AMD 为所求二面角的平面角。 在正六边形 ABCDEF 中, BD = BF = 2OB = 在 Rt ?AOP中,PA = 1, OA =

3, AD = 2.

1 , 2

∴ PO = PA2 ? OA2 =

3 . 2 6 1 6 ,则 BM = PB = , 2 2 4

在 Rt ?BOP中,PB =

PO 2 + OB 2 =

AM = AB 2 ? BM 2 =

10 42 , MD = BD 2 ? BM 2 = . 4 4

MA2 + MD 2 ? AD 2 105 =? 在 ?AMD 中,由余弦定理得 cos ∠AMD = 2 ? MA ? MD 35
因此,所求二面角的大小为 arccos( ?

105 ). 35

3. 06 北京·理】 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ⊥ AC , PA ⊥ 平面 ABCD , 【 北京· 且 PA = AB ,点 E 是 PD 的中点. (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的大小. ( 如图, AD 的中点 F, EF, 则 EF 是△PAD 的中位线, ∴EF // PA 又 PA ⊥ 平面 ABCD , 取 连 FO, 【解】Ⅲ) ∴EF⊥平面 ABCD 同 理 FO 是 △ ADC 的 中 位 线 , ∴FO // AB∴FO⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是 AC-D 的平面角. 二面角 E- EF。 - AC - D

1 1 AB= PA= 2 2 ∴∠EOF=45°而二面角 E ? AC ? B 与二面角 E
又 FO=

互补, 故所求二面角 E ? AC ? B 的大小为 135°. 4. 06 山东·文】 如图,已知四棱锥 P-ABCD 【 山东· ABCD 为等腰梯形, AB // DC ,

的 底 面

AC ⊥ BD, AC 与 BD 相交于点 O ,且顶点 P 在底面上的

射影恰为 O 点,

又 BO = 2, PO =

2, PB ⊥ PD .

(Ⅱ)求二面角 P ? AB ? C 的大小; ∴ PO ⊥ BD 【解】 ∵ PO ⊥ 平面 ABCD , 又 PB ⊥ PD, BO = 2, PO =

2, 3, PB = 6

由平面几何知识得: OD = 1, PD =

(Ⅱ)连结 OE ,由(Ⅰ)及三垂线定理知, ∠PEO 为二面角 P ? AB ? C 的平面角

∴ sin ∠PEO =

PO 2 = , PE 2

∴∠PEO = 450

∴ 二面角 P ? AB ? C 的大小为 450
5. 06 陕西· 】 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点 A 在直线 l 上 【 陕西· 理 的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求: (II)二面角 A1-AB-B1 的大小。 ∴平面 ABB1⊥α。 【解】 (Ⅱ)∵BB1⊥α, 在平面α内过 A1 作 A1E⊥AB1 交 AB1 于 E,则 A1E⊥平面 AB1B。过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F,连接 A1F,则由三垂线定理得 A1F⊥AB, ∴∠A1FE 就是所求二面角的平面角. 在 Rt△ABB1 中,∠BAB1=45°, ∴Rt△AA1B 中, A1B= AB2-AA12 = 4-1 = 由 AA1·A1B=A1F·AB 得 A1F= 3。 ∴AB1=B1B= 2.

AA1·A1B 1× 3 3 = = , AB 2 2 A 1E 6 = , A 1F 3 6 . 3

∴在 Rt△A1EF 中,sin∠A1FE =

∴二面角 A1-AB-B1 的大小为 arcsin

6. 06 四川·理】 如图,长方体 ABCD- A 1 B1 C1 D1 中,E、P 分别是 BC、 A1D1 的中点,M、N 分别是 AE、 【 四川·

CD1 的中点, AD=AA1 = a, AB=2a,
(Ⅱ)求二面角 P ? AE ? D 的大小; (Ⅱ)设 F 为 AD 的中点 【解】 ∵ P 为 A1 D1 的 中 点 ∴ PF // D1 D ∴ PF ⊥ 面

ABCD 作 FH ⊥ AE ,交 AE 于 H ,连结 PH ,则由三垂线定理得 AE ⊥ PH 从而 ∠PHF 为二面角 P ? AE ? D 的平面角。
在 Rt ?AEF 中, AF =

a 17 , EF = 2a, AE = a, 2 2

a ? 2a 2a 从而 FH = AF ? EF = 2 = AE 17 17 a 2

在 Rt ?PFH 中, tan ∠PFH =

PF DD1 17 = = FH FH 2

故:二面角 P ? AE ? D 的大小为 arctan 17 。 2

空间直线 平面的平行问题 直线、 问题》 第二部分 《空间直线、平面的平行问题》 , 现利用高考题举例说明将“高维问题”转化为“低维问题” 将“空间问 利用高考题举例说明将 高维问题”转化为“低维问题” 举例说明 题”转化为“平面问题”的“转化思想”的运用。 转化为“平面问题” 转化思想”的运用。 (一) 线线平行”与“线面平行”的转化问题 “线线平行” 线面平行”的转化问题
1. 06 北京·理】 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ⊥ AC , PA ⊥ 平面 ABCD , 【 北京· 且 PA = AB ,点 E 是 PD 的中点. (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC ; PB 平行的 【解】 证明本题的关键:在平面 EAC 中“找”一条与 直线,由于点 E 在平面 PBD 中,所以可以在平面 PBD 中过点 E 的交线 ) 。 “找” (显然, “找” 要 的直线就是平面 PBD 与平面 EAC

线面平行”问题转化为“线线平行” 最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问 题。 (Ⅱ)连接 BD,与 AC 相交与 O,连接 EO, ∵ ABCD 是平行四边形 ∴ O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点, ∴ EO//PB. 又 PB ? 平面 AEC,EO ? 平面 AEC, ∴ PB // 平面 AEC。 10. 06 天津·理】 如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边 【 天津·
三角形,棱 EF //

=2

1

BC .

(1)证明 FO //平面 CDE ; (2)设 BC = 3CD ,证明 EO ⊥ 平面 CDF . 【解】分析通上题。 分析通上题。 (Ⅰ)证明:取 CD 中点 M,连结 OM. 在 矩 形 ABCD 中 。

1 OM // BC , 又 2

1 EF // BC , 2
则 EF //OM ,连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形.

∴ FO // EM

又∵ FO ? 平面 CDE,且 EM ? 平面 CDE,∵FO∥平面 CDE 21. 06 辽宁·理】 已知正方形 ABCD 。 E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,将 ?ADE 沿 DE 折起,如图所 【 辽宁· 示。记二面角 A ? DE ? C 的大小为 θ (0 < θ < π ) 。 (I) 证明 BF // 平面 ADE ; 【解】 分析同上 (I) 证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点, ∴ EB//FD,且 EB=FD, ∴ 四边形 EBFD 为平行四边形。 ∴ BF//ED

∵ EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED

∴ BF // 平面 ADE .

空间直线 平面的垂直问题 直线、 问题》 第三部分 《 空间直线、平面的垂直问题》 现利用高考题举例详细说明空间直线、平面的垂直问题中将“高维问题” 利用高考题举例详细说明空间直线、平面的垂直问题中将 高维问题” 举例详细说明空间直线 的垂直问题中 转化为“低维问题” , 转化为“低维问题” 将“空间问题”转化为“平面问题”转化思想的运用。 空间问题”转化为“平面问题”转化思想的运用。 的运用 “线线垂直” (一) 线线垂直”到“线面垂直” 线面垂直”
1. 06 北京·文】如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是正四棱柱。 【 北京· (I)求证:BD⊥平面 ACC1 A1 ; 【解】 根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条 A1A 与 BD 垂直。 (Ⅰ)∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是正四棱柱, ∴ CC1⊥平面 ABCD, ∴ BD⊥CC1, ∵ ABCD 是正方形, ∴ BD⊥AC 又 ∵AC,CC1 ? 平面 ACC1 A1 ,且 AC∩CC1=C, ∴ BD⊥平面 ACC1 A1 。 相交的直线 AC、



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