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河南省安阳市2014届高三第一次调研考试数学文试题


安阳市 2014 届高三年级第一次调研考试

文科数学试卷
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自 己的姓名,考生号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.复数 z=

-1+2i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 i
B.第二象限
2

A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知集合 M={3+2x- x >0},N={x|x>a},若 M ? N,则实数 a 的取值范围是 A.[3,+∞) B. (3,+∞) C. (-∞,-1] 3.已知随机变量 x,y 的值如右表所示:如果 y 与 x 线 x 7 性相关且回归直线方程为 y=bx+ ,则实数 b= y D. (-∞,-1) 2 5 D. 3 4 4 6

2

A.-

1 2

B.

1 2

C.-

1 10

1 10

4.若椭圆 A.2

x 2 y2 + = 的右焦点与抛物线 y2 =2px 的焦点重合,则 p 的值为 1 6 2
B.-2 C.4 D.-4

? x≥0 ? 5.若实数 x,y 满足不等式组 ?y≥x (k 为常数) ,且 x+3y 的最大值为 12,则实 ? 2 x+y+k≤0 ?
数 k= A.9 B.-9 C.-12 6.执行右边的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的值为 A.13 B.4 C . 5 D.6 7.如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯 视图中曲线部分为半圆,尺寸如图,则该几何体的表面积 为
1 / 10

D.12

A.6+3π +2 3 B.2+2π +4 3 C.8+5π +2 3 D.2+3π +4 3 8.设 a,b 是不同的直线,α ,β 是不同的平面,则下 列命题: ①若 a⊥b,a⊥α ,则 b∥α ; ②若 a∥α ,α ⊥β 则 a⊥β ; ③若 a⊥β ,α ⊥β ,则 a∥α ; ④若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β 则 a⊥β . 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 9.等比数列{ an }满足 an >0,n=1,2,…. 且 a5· a2 n?5 = 2 (n≥3) ,则当 n≥1 时, log 2 a1 A. (n ? 1)2 B. (n+ 2 1)
2n

+ log 2 a3 +…+ log 2 a2 n ?1 = D. n
2

C.n(2n-1)

10.定义行列式运算

a1 a2 a3 a 4

2a1a4-a2a3.将函数 f(x)=

sin2 x cos2 x 1

3

的图象向左平移

? 个 6

单位得函数 g(x)的图象,则 g(x)图象的一个对称中心是 A. (

? ,0) 4
2

B. (

? ,0) 3

C. (

? ,0) 2

D. (

? ,0) 12

11.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足

uuur | | MN ∠AFB=90°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 uuu 的最 r | | AB
大值为 A.

2 2

B.

3 2

C.1

D. 3

12. 设函数 (x) ? f =

x, 0 , ? x-[ ] x ≥ 其中[x]表示不超过 x 的最大整数, 如[-1,1]=-2, [π ] x x 0 ? f ( +1), <.

=3.若直线 y=kx+k(k>0)与函数 f(x)的图象恰好有 3 个不同的交点,则实数 k 的取值范围是

2 / 10

A. (0,

1 ) 4

B.[

1 1 , ) 4 3

C. (

1 ,1) 3

D.[

1 ,1) 4

第Ⅱ卷
本卷包括,必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答.第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 个小题.每小题 5 分. 13. 已知向量 a= (λ , , (λ +2, , 1) b= 1) 若|a+b|=|a-b|, 则实数λ =_________. 14.已知函数 f(x)= 2x -x f ?(2) ,则函数 f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线方程
2

是_________. 15.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,已知 b=5c,cosA= _________. 16.若函数 y=4+ x ln( 则 M+m=____________. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,公差 d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13 成等比数 列. (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设{
2

4 ,则 sinB= 5

1+ x 1 1 )在区间[- , ]上的最大值与最小值分别为 M 和 m, 1- x 2 2

bn }是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . an

18. (本小题满分 12 分) 在某次高三考试成绩中, 随机抽取了九位同学的数学成绩进行统计. 下表是九位同学的 选择题和填空题的得分情况: (选择题满分 60 分,填空题满分 16 分. )

(Ⅰ)若这九位同学填空题得分的平均分为 12,试求表中 x 的值及他们填空题得分的标 准差; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,记这九位同学的选择题得分组成的集合为 A,填空题得分组 成的集合为 B.若同学甲的解答题的得分是 46,现分别从集合 A、B 中各任取一 个值当作其选择题和填空题的得分,求甲的数学成绩高于 100 分的概率.
3 / 10

19. (本小题满分 12 分) 如图,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形, ∠PAD=90°,且 PA=AD=2,E、F、G 分别是线 段 PA、PD、CD 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 EFG; (Ⅱ)求异面直线 EG 与 BD 所成角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1 2 ax +2x ,g(x)=lnx. 2 g ( x) 1 - f ?( x ) +(2a+1)在区间( ,e) e x

(Ⅰ)如果函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)是否存在正实数 a,使得函数 T(x)=

内有两个不同的零点(e=2.71828……是自然对数的底数)?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知圆 C1: ( x+

6 1 6 2 25 ) +y2= ,圆 C2: ( x- )2+y2= ,动圆 P 与已知两圆都外 2 8 2 8

切. (Ⅰ)求动圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)直线 l:y=kx+1 与点 P 的轨迹 E 交于不同的两点 A、B,AB 的中垂线与 y 轴交于 点 N,求点 N 的纵坐标的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:平面几何选讲 如图,点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点,AD⊥BC 于点 D,过点 B 作圆 O 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延长线相 交于点 P. (Ⅰ)求证:BF=EF; (Ⅱ)求证:PA 是圆 O 的切线.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x=2+t (t 为参数) ,以该直角坐标系的 1 ? y=t+

4 / 10

原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 P 的方程为 ? 2 -4 ? cosθ +3 =0. (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求|AB|. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-a|+5x,其中实数 a>0. (Ⅰ)当 a=3 时,求不等式 f(x)≥5x+1 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|≤-1},求 a 的值.

参考答案
一、选择题 1-5 ACBCB 6-10 ADADC 11-12 AB

二、填空题 14、 4 x ? y ? 8 ? 0

13、-1 三、解答题

15、

2 2

16、 8

17、 (Ⅰ)依题意得

3? 2 4?5 ? d ? 5a1 ? d ? 50 ?3a1 ? 2 2 ? ?(a ? 3d ) 2 ? a (a ? 12d ) 1 1 ? 1

解得 ?

?a1 ? 3 , ?d ? 2

?an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 即an ? 2n ? 1.……6 分 ,
(Ⅱ)

bn ? 3n?1 , bn ? an ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n?1 an

Tn ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1 3Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n

? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n?1 ? (2n ? 1)3n

5 / 10

3(1 ? 3 n ?1 ) ? 3? 2? ? (2n ? 1)3 n 1? 3 n ? ?2n ? 3
∴ Tn ? n ? 3n . ………12 分

18、解: (1)由填空题得分的平均分为 12 ,可得 12 ? 9 ? 96 ? x ? x ? 12 ………2 分

?填空题得分的标准差 s ?

(16 ? 12)2 ? (16 ? 12)2 ? (8 ? 12)2 ? (8 ? 12)2 9

?

64 8 ? . 9 3

………………4 分

(2) A ? {40 , 45 , 50 , 55 , 60} , B ? {8 , 12 , 16} .……6 分 分别从集合 A 、 B 中各任取一个值当作其选择题和填空题的得分,得分之和共有下列 15 个 值 48,53,58,63,68,52,57,62,67,72,56,61,66,71,76.………9 分 当同学甲的解答题的得分是 46 分时,其选择题和填空题的得分之和要大于 54 分,其数学成 绩成绩才高于 100 分。又选择题和填空题的得分之和要大于 54 分的共 12 个值,

?所求概率是 P ?

12 4 ? . 15 5

………12 分

19、(1) 作 AB 中点 M 连接 EM , MG

MG / / AD , AD / / EF ,? MG / / EF 从而 MGEF 在同一个平面内,……3 分
而在三角形 PAB 中, PB / / EM ? PB / / 平面 EMGF …………5 分 即得 PB / / 平面 EFG ……………6 分 (2)作 BC 中点 N ,连接 NG ,? BD / / NG 所以 ?EGN 就是异面直线 EG 和 BD 的夹角………9 分 取 NG 中点 O ,连接 AO , EO 由已知,可求得 EO ?
[

EA2 ? AO2 ?

11 ,……………10 分 2

OG ?

2 , EG ? EO2 ? OG2 ? 6 ………………11 分 2 3 为所求………………12 分 6

所以 cos ?EGN ? cos ?EGO ?

20、解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 上是单调增函数,符合题意. 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ?

2 , a

6 / 10

由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调函数,所以 ? 综上, a 的取值范围是 a ? 0 ,或 a ? ?2 . (2) T ? x ? ?

2 ? 1 ,解得 a ? ?2 或 a ? 0 , a
……………4 分

lnx ? (ax ? 2) ? (2a ? 1) , x 1 因 T ? x ? 在区间( , e )内有两个不同的零点,所以 T ? x ? ? 0 , e 1 即方程 ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ? 0 在区间( , e )内有两个不同的实根. …………5 分 e
设 H ( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ( x ? 0) ,

H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? x x x
1 (舍) 2a

………7 分

令 H ?( x) ? 0 ,因为 a 为正数,解得 x ? 1 或 x ? ? 当 x ? ( ,1) 时, H ?( x) ? 0 ,

1 e

H ( x ) 是减函数;
…………………………8 分

当 x ? (1, e) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 是增函数.

为满足题意,只需 H ( x ) 在( , e )内有两个不相等的零点, 故

1 e

? 1 ? H ( e ) ? 0, ? ? H ( x) min ? H ?1? ? 0, ? H (e) ? 0, ? ?
e2 ? e 解得 1 ? a ? 2e ? 1
……………………12 分

: 21.解: (1)已知两圆的圆心半径分别为 C1 (设动圆 P 的半径为 r , 由题意知 PC1 ? r ? 则 PC1 ? PC2 ?

6 5 2 6 2 , 0), r1 ? C2 ( , 0), r2 ? : 2 4 2 4

5 2 2 , PC2 ? r ? 4 4

2 ? C1C2 ? 6
2

则点 P 在以 C1 , C2 为焦点的双曲线右支上,其中 2a ? 2,2c ? 6 ,则 b ? 1 求得 E 的方程为 2x ? y2 ? 1( x ? 0)
2

7 / 10

(2)将直线 y ? kx ? 1 代入双曲线方程,并整理得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) 依题意,直线 l 与双曲线的右支交于不同两点,故

?k 2 ? 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? (2k ) ? 8(k ? 2) ? 0 ? 2 ? ?2 ? k ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 k ? 0 k ?2 ? ? 2 ?0 ? x1 x2 ? 2 k ?2 ? ?k ?2 且 x0 ? 2 , y0 ? kx0 ? 1 ? 2 k ?2 k ?2 2 1 k ? ? (x ? 2 ) 则 AB 的中垂线方程为 y ? 2 k ?2 k k ?2 3 3 ? ?2 ? k ? ? 2 ? yN ? ? 令 x ? 0 得 yN ? 2 2?k 2
22、 证明: (Ⅰ) ∵ BC 是圆 O 的直径, BE 是圆 O 的切线,

∴ EB ? BC .又∵ AD ? BC ,
∴ AD ∥ BE .
可 以 得 知

△B

∽△ C F

D ,

G

C

△F E C ∽△ G A. C



BF EF BF CF EF CF ? ? , ? .∴ . DG AG DG CG AG CG

∵ G 是 AD 的中点,∴ DG ? AG .∴ BF ? EF .
(Ⅱ)连结 AO,AB .

∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ?BAC ? 90° .
在 Rt△BAE 中,由(Ⅰ)得知 F 是斜边 BE 的中点,

∴ AF ? FB ? EF .∴ ?FBA ? ?FAB .
又∵ OA ? OB ,∴ ?ABO ? ?BAO .

∵ BE 是圆 O 的切线,∴ ?EBO ? 90°

∵ ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° ,
∴ PA 是圆 O 的切线.
23 、 解 : 1 ) 曲 线 C 的 普 通 方 程 为 x ? y ? 1 ? 0 , 曲 线 P 的 直 角 坐 标 方 程 为 (

8 / 10

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 . ……5 分
(2)曲线 P 可化为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ,表示圆心在 (2,0) ,半径 r ? 1 的圆,则圆心到直 线 C 的距离为 d ?

1 2
2

?

2 , 2

所以 AB ? 2 r ? d
2

? 2 .……10 分

24、解:(1)当 a ? 3 时, f ? x ? ? 5 x ? 1 可化为 2x ? 3 ? 1,由此可得 x ? 2 或 x ? 1 . 故不等式 f ? x ? ? 5 x ? 1 的解集为 x x ? 1或x ? 2 .………………………………5 分 (2).法 1: (从去绝对值角度讨论) 由 f ? x ? ? 0 ,得 2x ? a ? 5x ? 0 ,

?

?

a a ? ? ?x ? ?x ? 此不等式化为不等式组 ? 或? , 2 2 ? 2 x ? a ? 5 x ? 0 ??(2 x ? a) ? 5 x ? 0 ? ?
? ?x ? ? 解得 ? ?x ? ? ? a ? a ?x ? 2 2 ? 或? , a ? a x?? 7 ? 3 ?

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x x ? ? ? ,由题设可得 ?

? ?

a? 3?

a ? ?1 ,故 a ? 3 . 10 分 3

法 2: (从等价转化角度考虑) 由 f ? x ? ? 0 ,得 2x ? a ? ?5x ,此不等式化等价于 5 x ? 2 x ? a ? ?5 x ,

a ? ?x ? ? 3 ?5x ? 2 x ? a ? 即为不等式组 ? ,解得 ? , ?2 x ? a ? ?5 x ?x ? a ? 7 ?
因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x x ? ? ? ,由题设可得 ?

? ?

a? 3?

a ? ?1 ,故 a ? 3 . 3

法 3: (从不等式与方程的关系角度突破) 因为 x x ? ?1 是不等式 f ? x ? ? 0 的解集,所以 x ? ?1 是方程 f ? x ? ? 0 的根, 把 x ? ?1 代入 2x ? a ? 5x ? 0 得 a ? 3或a ? ?7 ,因为 a ? 0 ,所以 a ? 3 .

?

?

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